Topoloģiska telpa
Topoloģiskā telpa ir telpa, kas tiek pētīta topoloģijā, matemātikā, kas nodarbojas ar figūru struktūru. Aptuveni tā ir lietu kopa (ko sauc par punktiem) un veids, kā noteikt, kuras lietas atrodas tuvu viena otrai.
Precīzāk, topoloģiskai telpai ir noteikta veida kopas, ko sauc par atvērtām kopām. Atvērtās kopas ir svarīgas, jo tās ļauj runāt par punktiem cita punkta tuvumā, ko sauc par punkta apkārtni. Punkta apkārtne ir vienkārši atvērta kopa, kurā atrodas šis punkts. Ja nebūtu jēdziena "atvērtā kopa", nebūtu iespējams labi definēt apkārtni. Ja mēģina definēt punkta apkārtni kā jebkuru kopu, kurā ir šis punkts, tad tā var ietvert tikai šo punktu un tikai šo punktu, bet ne punktus tā tuvumā vai tālu no tā. Mums ir arī slēgto kopu jēdziens, kas ir atvērto kopu papildinājums. Tas nozīmē, ka visi punkti, kas neietilpst noteiktā atvērtā kopā, veido slēgtu kopu.
Atvērtajām kopām ir jāievēro noteikti noteikumi, lai tās atbilstu mūsu priekšstatiem par tuvumu. Jebkura skaita atvērto kopu savienībai jābūt atvērtai, bet galīga skaita slēgto kopu savienībai jābūt slēgtai. (Otrais noteikums darbojas tikai galīgam noslēgto kopu skaitam. Tas ir tāpēc, ka daudzos gadījumos kopa, kas satur vienu punktu, ir slēgta. Jebkura kopa sastāv no punktiem. Ja otrais noteikums attiektos uz bezgalīgi daudzām slēgtām kopām, tad katra kopa būtu slēgta.) Īpašs gadījums ir tāds, ka kopa, kurā ir katrs punkts, ir gan atvērta, gan slēgta. Arī kopa, kurā nav neviena punkta, ir gan atvērta, gan slēgta.
Punktu kopai var būt dažādas definīcijas, kas ir atvērta kopa. Par atvērtām var uzskatīt tikai noteiktas kopas vai arī vairākas kopas. Var pat uzskatīt, ka katra kopa ir atvērta. Viena un tā pati kopa ar dažādām atvērto kopu definīcijām veido dažādas topoloģiskās telpas.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir topoloģiskā telpa?
A: Topoloģiskā telpa ir punktu kopums un veids, kā noteikt, kuras lietas atrodas tuvu viena otrai. To pēta figūru struktūras matemātikā.
J: Kas ir atvērtās kopas?
A: Atvērtās kopas ir svarīgas, jo tās ļauj runāt par punktiem cita punkta tuvumā, ko sauc par punkta apkārtni. Tās ir definētas kā noteikta veida kopas, kuras var izmantot, lai labi definētu apkārtnes.
J: Pēc kā jāseko atklātajām kopām?
A: Atvērtajām kopām ir jāievēro noteikti noteikumi, lai tās atbilstu mūsu priekšstatiem par tuvumu. Jebkura skaita atvērto kopu savienībai jābūt atvērtai, un galīga skaita slēgto kopu savienībai jābūt slēgtai.
J: Kāds ir īpašais gadījums atklātām un slēgtām kopām?
A: Īpašais gadījums gan atvērtām, gan slēgtām kopām ir tāds, ka kopa, kurā ir katrs punkts, ir gan atvērta, gan slēgta, kā arī kopa, kurā nav punktu, ir gan atvērta, gan slēgta.
J: Kā dažādas definīcijas ietekmē topoloģiskās telpas?
A: Atšķirīgas definīcijas tam, kas ir atvērta kopa, var ietekmēt topoloģiskās telpas, uzskatot tikai dažas kopas par atvērtām vai vairāk nekā parasti, vai pat uzskatot katru kopu par atvērtu.
J: Vai bezgalīgs skaits slēgtu kopu var veidot jebkuru kopu?
A: Nē, ja būtu pieļaujams bezgalīgs skaits slēgtu kopu, tad katru kopu uzskatītu par slēgtu, jo jebkura kopa sastāv tikai no punktiem.
