Topoloģiskā telpa — definīcija, atvērtās un slēgtās kopas
Topoloģiskā telpa — skaidra definīcija un piemēri: atvērtās un slēgtās kopas, punkta apkārtne un to īpašības studentiem un matemātiķiem.
Topoloģiskā telpa ir matemātisks konstrukts, ko pētī topoloģija, zars matemātikā, kas analizē formu un tuvinājumu (kā elementu savstarpējo tuvumu un saistību). Vienkāršoti — topoloģiskā telpa ir kopas (parasti sauktas par punktiem) un noteikta veida apakškopu kolekcija, kas nosaka, kuras vietas šajā kopā tiek uzskatītas par tuva cita citai.
Precīza definīcija un atvērtās kopas
Formāli topoloģiskā telpa ir pāris (X, T), kur X ir kāda kopā, bet T ir šo kopu apakškopu kolekcija, kuras elementi saucas atvērtās kopas. Kolekcijai T jāizpilda trīs aksiomas:
- 1) ∅ (tukšā kopa) un pati X ir atvērtas kopas (pieder T).
- 2) Jebkuras skaita (tātad arī bezgalīgas) atvērto kopu savienībai jābūt atvērtai.
- 3) Galīga skaita atvērto kopu krusts (kopa, kas iegūta no dažādu atvērto kopu šķēluma) jābūt atvērtam.
Šīs aksiomas ļauj runāt par punkta apkārtni: punkta apkārtne ir atvērta kopa, kurā tas punkts atrodas. Atvērtās kopas ir pamatjēdziens, pēc kura tiek definēti citi svarīgi termini.
Slēgtās kopas
Slēgtās kopas ir atvērtās kopas papildinājumi relatīvi pret X: kopa A ir slēgta, ja tās komplementa (X \ A) ir atvērta. Ar slēgtajām kopām saistītās aksiomas ir ekvivalentas atvērto kopu aksiomām:
- 1) ∅ un X ir slēgtas.
- 2) Jebkura skaita slēgto kopu krustam jābūt slēgtam (jebkuras ģimenes slēgto kopu kopējai preimagei pieder slēgtajām kopām).
- 3) Galīga skaita slēgto kopu savienībai jābūt slēgtai.
Ir vērts atzīmēt, ka gan tukšā kopa, gan visa telpa X ir vienlaikus gan atvērtas, gan slēgtas.
Papildu fundamentāli jēdzieni
- Iekšiens (int(A)) — lielākā atvērto kopu kopa, kas pilnībā ietilpst A; tas ir A atvērtais kodols.
- Aizklājums (cl(A)) — mazākā slēgtā kopa, kas satur A; to iegūst, pievienojot A visus tās ierobežojošos punktus (limitpunktus).
- Robeža (∂A) — cl(A) \ int(A): tie ir punkti, kas nav 'skaidri' iekšā vai ārā no A.
- Akumulācijas (ierobežojošie) punkti — punkti, kurās katrai apkārtnei pieder vismaz vēl viens A punkts (nevis tikai pats punkts).
Aksiomu skaidrojums ar piemēriem
Atvērtu kopu aksiomas izskaidro, kā var salikt un šķēlēt apgabalus, saglabājot tuvuma īpašības. Piemēram:
- Jebkura atvērto intervālu savienība R (reālo skaitļu taisnē) parasti ir atvērta — tāpēc parastā lineārā taisne ar atvērtiem intervāliem ir topoloģiskā telpa.
- Ja uzskatām, ka katradiskrētu topoloģiju (visas kopas ir atvērtas un slēgtas).
- Ja tikai ∅ un X ir atvērtas, tad tā ir triviālā (indiskrētā) topoloģija.
Topoloģijas rašanās no metrikas
Daudzas topoloģijas rodas no metriskām telpām: ja X ir metriskā telpa ar attāluma funkciju d, tad par atvērtām var ņemt kopas, kuras katram punktam satur atvērtu atvērumu (bumbu) ap šo punktu: {y ∈ X | d(x,y) < r}. Šādā veidā metriskas telpas dod parasto topoloģiju. Tomēr ne visas topoloģijas nāk no metrikas.
Vēl svarīgi jēdzieni
- Bāze (basis) — apakškopa B no T, no kuras ar savienību palīdzību var iegūt visas atvērtās kopas; bāze bieži lietota, lai ērti uzbūvētu topoloģiju.
- Apakštelpas topoloģija — ja A ⊆ X, tad A manto topoloģiju, ņemot atvērtās kopas kā X atvērtās kopas šķēlumus ar A (t.i., U ∩ A, kur U atvērta X).
- Produktu topoloģija — divu (vai daudzu) topoloģisko telpu kartējumam; bāze veidota no karteziāniem atvērtiem apgabaliem.
- Nepārtrauktas funkcijas — f: X → Y tiek uzskatīta par nepārtrauktu tad, ja katra atvērta kopa V ⊆ Y preimage f^{-1}(V) ir atvērta X. Tas ir topoloģiski būtiskais nepārtrauktības formulējums.
Kopsavilkums
Topoloģiskā telpa ir vispārīgs rāmjis, kas ļauj formalizēt jēdzienus kā tuvums, nepārtrauktība, robeža un ierobežošana bez nepieciešamības pēc attāluma funkcijas. Mainot to, kuras kopas uzskatām par atvērtām, vienai un tai pašai punktu kopai var būt ļoti atšķirīgas topoloģijas — un līdz ar to ļoti atšķirīgas ģeometriskas un analītiskas īpašības.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir topoloģiskā telpa?
A: Topoloģiskā telpa ir punktu kopums un veids, kā noteikt, kuras lietas atrodas tuvu viena otrai. To pēta figūru struktūras matemātikā.
J: Kas ir atvērtās kopas?
A: Atvērtās kopas ir svarīgas, jo tās ļauj runāt par punktiem cita punkta tuvumā, ko sauc par punkta apkārtni. Tās ir definētas kā noteikta veida kopas, kuras var izmantot, lai labi definētu apkārtnes.
J: Pēc kā jāseko atklātajām kopām?
A: Atvērtajām kopām ir jāievēro noteikti noteikumi, lai tās atbilstu mūsu priekšstatiem par tuvumu. Jebkura skaita atvērto kopu savienībai jābūt atvērtai, un galīga skaita slēgto kopu savienībai jābūt slēgtai.
J: Kāds ir īpašais gadījums atklātām un slēgtām kopām?
A: Īpašais gadījums gan atvērtām, gan slēgtām kopām ir tāds, ka kopa, kurā ir katrs punkts, ir gan atvērta, gan slēgta, kā arī kopa, kurā nav punktu, ir gan atvērta, gan slēgta.
J: Kā dažādas definīcijas ietekmē topoloģiskās telpas?
A: Atšķirīgas definīcijas tam, kas ir atvērta kopa, var ietekmēt topoloģiskās telpas, uzskatot tikai dažas kopas par atvērtām vai vairāk nekā parasti, vai pat uzskatot katru kopu par atvērtu.
J: Vai bezgalīgs skaits slēgtu kopu var veidot jebkuru kopu?
A: Nē, ja būtu pieļaujams bezgalīgs skaits slēgtu kopu, tad katru kopu uzskatītu par slēgtu, jo jebkura kopa sastāv tikai no punktiem.
Meklēt