Ņūtona binoms — definīcija, formulas, binomiālā izvēršana un piemēri

Binomiālā izvēršana izmanto izteiksmi, lai izveidotu virkni. Tā izmanto šādu iekavās izteiktu izteiksmi: ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}}. $(x+y)^{n}$ . Ir trīs binomiālie izvērsumi.

Definīcija

Ņūtona binoms (jeb binomiālā formula) izsaka izteiksmi (x + y)^n kā polinomu vai sēriju, kur n var būt vesels, negatīvs vai pat reāls/frakcionāls. Visvienkāršākajā gadījumā, ja n ir nevēlams vesels skaitlis (n ≥ 0), rezultāts ir galīgs polinoms ar (n+1) locekļiem.

Binomiālais koeficients

Binomiālā izvēršanā parādās binomiālie koeficienti, kas apzīmējas ar C(n, k) vai (n choose k). Tie ir definēti kā:

C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) — ja n ir naturāls skaitlis un 0 ≤ k ≤ n.
Binomiālie koeficienti skaitliski rāda, cik veidos var izvēlēties k elementus no n elementu kopas (kombinācijas).
Koeficienti veido Pazela (Pascal) trijstūri: katrs skaitlis = divu iepriekšējā rindā esošo skaitļu summa.

Galvenā formula (veseli pozitīvi n)

Ja n ir nenegtīvs vesels skaitlis, tad

(x + y)^n = Σ (k=0→n) C(n, k) x^{n−k} y^{k},

t.i.,

(x + y)^n = C(n,0) x^n + C(n,1) x^{n−1} y + C(n,2) x^{n−2} y^2 + ... + C(n,n) y^n.

Vienkārši piemēri

(x + y)^0 = 1.
(x + y)^1 = x + y.
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 (koeficienti 1, 2, 1).
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3 (koeficienti 1, 3, 3, 1).
Piemērs ar skaitļiem: (2 + 1)^3 = 8 + 12 + 6 + 1 = 27; tas sakrīt ar parasto reizināšanu 3^3 = 27.

Īpašie gadījumi un vispārinājumi

Simetrija: C(n, k) = C(n, n − k). Tā rezultātā polinomā koeficienti ir simetriski.
Rindu summas: Summa no k=0 līdz n C(n,k) = 2^n.
Negatīvi un frakcionāli eksponenti (binomiālā sērija): ja n ir reāls vai kompleks skaitlis α un |y/x| < 1 (vai, biežāk, ja pieraksta kā (1 + z)^α un |z| < 1), tad

(1 + z)^α = Σ (k=0→∞) C(α, k) z^k, kur

C(α, k) = α(α − 1)(α − 2)...(α − k + 1) / k! (generalizētais binomiālais koeficients).

Tas dod konverģentu nebeidzamu sēriju, piemēram:

(1 + x)^{−1} = 1 − x + x^2 − x^3 + ... , ja |x| < 1.
(1 + x)^{1/2} = 1 + (1/2)x − (1/8)x^2 + ... , ja |x| < 1.

Pielietojumi

Algebrā un kombinatorikā: aprēķini, kombinācijas, probabilities aprēķini (piem., Binomiālā sadalījuma pamats).
Analīzē: sēriju attīstīšana, tuvākā pieeja funkcijām, lineāro un nelineāro izteiksmju linearizācija.
Skaitļošanā un fizikā: izteiksmju paplašināšana, aprēķinu vienkāršošana līdz noteiktam pakāpes termiņam.

Papildus piezīmes

Pascal trijstūris sniedz ātru veidu binomiālo koeficientu atrašanai bez faktoriāļu rēķināšanas.
Binomiālā formula ir viena no pamatlietām skolā un augstskolā, tā savieno algebru, kombinatoriku un analīzi.

Formulas

Pamatā ir trīs binomiskās izvēršanas formulas:

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}}. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$		1. (Plus)
( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}}. $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$		2. (mīnus)
( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}} $(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$		3. vieta (Plus mīnuss)

Mēs varam izskaidrot, kāpēc ir šādas 3 formulas, izmantojot vienkāršu reizinājuma paplašinājumu:

( a + b ) 2 = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}} $(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

( a - b ) 2 = ( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 - 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}} $(a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}}. $(a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}$

Izmantojot Paskala trīsstūri

Ja n {\displaystyle n} ir vesels skaitlis ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } $n\in \mathbb {Z}$ ), mēs izmantojam Paskāla trīsstūri.

Lai paplašinātu ( x + y ) 2 {\displaystyle (x+y)^{2}} $(x+y)^{2}$ :

atrast Paskāla trīsstūra 2. rindu (1, 2, 1)
paplašiniet x {\displaystyle x} un y {\displaystyle y} , lai x {\displaystyle x} jauda samazinātos par 1 katru reizi no n {\displaystyle n} līdz 0 un y {\displaystyle y} jauda palielinātos par 1 katru reizi no 0 līdz n {\displaystyle n}.
reizina skaitļus no Paskāla trīsstūra ar pareizajiem locekļiem.

Tātad ( x + y ) 2 = 1 x 2 y 0 + 2 x 1 y 1 + 1 x 0 y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}}. $(x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}$

Piemēram:

( 3 + 2 x ) 2 = 1 ⋅ 3 2 ⋅ ( 2 x ) 0 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ ( 2 x ) 1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ ( 2 x ) 2 = 9 + 12 x + 4 x 2 {\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}} $(3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}$

Tātad parasti:

( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n - 1 y 1 + a 2 x n - 2 y 2 + ⋯ + a n - 1 x 1 y n - 1 + a n x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} $(x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}$

kur a i {\displaystyle a_{i}} $a_{i}$ ir skaitlis n {\displaystyle n} rindā un i {\displaystyle i} $i$ pozīcijā Paskāla trīsstūrī.

Piemēri

( 5 + 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( 3 x ) 3 {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}} $(5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}$

= 125 + 75 ⋅ 3 x + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ 27 x 3 = 125 + 225 x + 135 x 2 + 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}} $=125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}$

( 5 - 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( - 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( - 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( - 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( - 3 x ) 3 {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}} $(5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}$

= 125 + 75 ⋅ ( - 3 x ) + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ ( - 27 x 3 ) = 125 - 223 x + 135 x 2 - 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}}. $=125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}$

( 7 + 4 x 2 ) 5 = 1 ⋅ 7 5 ⋅ ( 4 x 2 ) 0 + 5 ⋅ 7 4 ⋅ ( 4 x 2 ) 1 + 10 ⋅ 7 3 ⋅ ( 4 x 2 ) 2 + 10 ⋅ 7 2 ⋅ ( 4 x 2 ) 3 + 5 ⋅ 7 1 ⋅ ( 4 x 2 ) 4 + 1 ⋅ 7 0 ⋅ ( 4 x 2 ) 5 {\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}}. $(7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}$

= 16807 + 12005 ⋅ 4 x 2 + 3430 ⋅ 16 x 4 + 490 ⋅ 64 x 6 + 35 ⋅ 256 x 8 + 1 ⋅ 1024 x 10 {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}} $=16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}$

= 16807 + 48020 x 2 + 54880 x 4 + 31360 x 6 + 8960 x 8 + 1024 x 10 {\displaystyle \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}. $\,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}$

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir binomiālais paplašinājums?

A: Binomiālais izvērsums ir matemātiska metode, kas izmanto izteiksmi, lai izveidotu virkni, izmantojot iekavās izteiktu (x+y)^n.

J: Kāda ir binomiskā izvērsuma pamatkoncepcija?

A: Binomiālās izvēršanas pamatjēdziens ir binomiskās izteiksmes jaudas izvēršana virknē.

J: Kas ir binomiskā izteiksme?

A: Binomiskā izteiksme ir algebriska izteiksme, kurā ir divi locekļi, kas savienoti ar plusa vai mīnusa zīmi.

J: Kāda ir binomiskā izteikuma paplašināšanas formula?

A: Binomiālā izteikuma formula ir (x+y)^n, kur n ir eksponents.

J: Cik ir binomisko izvērsumu veidu?

A: Ir trīs binomisko izvērsumu veidi.

J: Kādi ir trīs binomiskā izvērsuma veidi?

A: Ir trīs binomiālo izvērsumu veidi - pirmais binomiālais izvērsums, otrais binomiālais izvērsums un trešais binomiālais izvērsums.

J: Kā binomiālais izvērsums ir noderīgs matemātiskos aprēķinos?

A: Binomiālais izvērsums ir noderīgs matemātiskajos aprēķinos, jo tas palīdz vienkāršot sarežģītas izteiksmes un atrisināt sarežģītas problēmas.