AlegsaOnline.com

Elastīga sadursme: definīcija, likumi, impulss un kinētiskā enerģija

Uzzini elastīgas sadursmes likumus, impulsa un kinētiskās enerģijas saglabāšanu — skaidrojums ar piemēriem un formulām saprotamā latviešu valodā.

Autors: Leandro Alegsa Izveides datums: 2022. gada 17. septembris Pēdējā atjaunināšana: 2025. gada 25. decembris

en.wikipedia.org · Public domain

Elastīga sadursme ir tad, ja divi objekti saduras un atlec atpakaļ ar nelielu deformāciju vai bez tās. Piemēram, divas gumijas bumbiņas, kas atsitīsies kopā, būs elastīgas. Divas automašīnas, kas saduras viena pret otru, ir neelastīgas, jo automašīnas saspiežas un neatsaka atpakaļ. Pilnīgi elastīgā sadursmē (visvienkāršākais gadījums) kinētiskā enerģija netiek zaudēta, tāpēc abu objektu kinētiskā enerģija pēc sadursmes ir vienāda ar to kopējo kinētisko enerģiju pirms sadursmes. Elastīgas sadursmes notiek tikai tad, ja nenotiek kinētiskās enerģijas pārveidošana citās formās (siltums, skaņa). Otrs noteikums, kas jāatceras, strādājot ar elastīgām sadursmēm, ir tas, ka impulss saglabājas.

Galvenie principii

Impulsa saglabāšanās: kopējais impulss pirms un pēc sadursmes nemainās. Matēmiski divu ķermeņu sadursmei vienā dimensijā:
m1·u1 + m2·u2 = m1·v1 + m2·v2 (kur m1,m2 — masas; u1,u2 — sākuma ātrumi; v1,v2 — ātrumi pēc sadursmes).
Kinetiskās enerģijas saglabāšanās: perfektā elastībā kopējā kinētiskā enerģija ir konstanta:
½ m1·u1² + ½ m2·u2² = ½ m1·v1² + ½ m2·v2².
Impulss (J): impulss ir momentāna spēka iedarbības rezultāts un vienāds ar kustības daudzuma izmaiņu:
J = Δp = m·(v − u) = ∫F dt.
Elastības koeficients (atgriezeniskums) e: definēts kā relatīvā ātruma attiecība pēc un pirms sadursmes gar sadursmes līniju:
e = (ārējā relatīvā ātruma lielums pēc sadursmes) / (relatīvā ātruma lielums pirms sadursmes). Pilnīgi elastīgai sadursmei e = 1.

One-dimensionālas (1D) elastīgas sadursmes — formulas

Diviem ķermeņiem, kas kustas pa vienu taisni, var atrast galīgos ātrumus v1 un v2, risinot impulsa un kinētiskās enerģijas vienādojumus. Rezultāts:

v1 = ((m1 − m2)/(m1 + m2))·u1 + (2·m2/(m1 + m2))·u2
v2 = (2·m1/(m1 + m2))·u1 + ((m2 − m1)/(m1 + m2))·u2

Piemērs: ja m1 = m2 un u2 = 0, tad v1 = 0 un v2 = u1 — sākotnējā kustība tiek pilnībā nodota otrajam objektam (tas notiek, piemēram, biljarda stātos, kur izmanto gandrīz elastīgas bumbiņas).

2D sadursmes un komponentes

Divdimensiju sadursmēs sadursmes analīze parasti sadala ātruma komponentes uz divām asīm: uznorma (uz līnijas, kas savieno saskaršanās punktus) un tangenciāla (perpendikulāra normai). Ja nav berzes un sadursme ir ideāli elastīga, tangenciālā komponente saglabājas nemainīga, bet normālā komponente mainās kā 1D elastīgā sadursmē (var lietot e = 1). Tādējādi 2D problēmas bieži reducē uz 1D problēmu normālajā virzienā.

Centra masas koordinātu sistēma

Darbs centra masas (CM) sistēmā bieži vien nosaka risinājumu vienkāršāku: elastīgā sadursmē impulsu CM sistēmā saglabā, un, ja e = 1, ātrumu komponentes pēc sadursmes attiecīgajā virzienā parasti tiek vienkārši apgrieztas (virziens mainās, modulis saglabājas). Tas ļauj ātrāk atrast gala ātrumus, pēc tam pārnesot rezultātu atpakaļ laboratorijas sistēmā.

Reāli piemēri un ierobežojumi

Īsti pilnīgi elastiskas sadursmes retāk sastopamas makroskopiskā mērogā, jo daļa kinētiskās enerģijas parasti pārvēršas siltumā, skaņā vai deformācijās. Tomēr labu tuvinājumu sniedz gaisa molekulas gāzēs (ideālā gāze modeļos) un biljarda bumbiņas.
Dažkārt sadursme tiek modelēta ar elastības koeficientu e < 1 (daļēji neelastiska), kas norāda cik liela daļa relatīvā ātruma tiek saglabāta.
Elastīga sadursme pieņem, ka masas ir nenoraujami stingras, saskare notiek īsā laika mirklī, un nav ārēju spēku, kas mainītu kopējo impulsa summu tajā laikā.

Kā risināt uzdevumu par elastīgu sadursmi — īss ceļvedis

Uzraksti impulsa saglabāšanas vienādojumu.
Uzraksti kinētiskās enerģijas saglabāšanas vienādojumu (vai izmanto e = 1, ja piemērojams).
Ja nepieciešams, sadali ātrumus komponentēs (2D gadījumā) uz normālajām un tangenciālajām virzienām.
Risini vienlaikus, izmantojot algebru vai, ja ērtāk, pārej uz CM sistēmu un pēc tam atgriezies atpakaļ.

Šie principi palīdz saprast, kā darbojas impulss un kinētiskā enerģija elastīgās sadursmēs, kā arī sniedz matemātisku pamatu praktiskiem uzdevumiem un fizikas modeļiem.

Nevienādu masu elastīgas sadursmes paraugs

Viendimensiju Ņūtona

Aplūkojiet divas daļiņas, kas apzīmētas ar indeksu 1 un 2. Lai m₁ un m₂ ir masas, u₁ un u₂ ir ātrumi pirms sadursmes un v₁ un v₂ ir ātrumi pēc sadursmes.

Izmantojot momenta saglabāšanu, lai uzrakstītu vienu formulu

Tā kā tā ir elastīga sadursme, kopējais impulss pirms sadursmes ir vienāds ar kopējo impulsu pēc sadursmes. Ņemot vērā, ka impulsu (p) aprēķina kā

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Mēs varam aprēķināt, ka pirms sadursmes impulss ir:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

un impulss pēc sadursmes ir šāds:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Nosakot abus vienādus, iegūstam mūsu pirmo vienādojumu:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Izmantojot enerģijas saglabāšanu, lai uzrakstītu otro formulu

Otrs noteikums, ko mēs izmantojam, ir tāds, ka kopējā kinētiskā enerģija paliek nemainīga, t. i., sākotnējā kinētiskā enerģija ir vienāda ar galīgo kinētisko enerģiju.

Kinētiskās enerģijas formula ir šāda:

m v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}}{2}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Tātad, izmantojot tos pašus mainīgos lielumus kā iepriekš: Sākotnējā kinētiskā enerģija ir:

m 1 u 1 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Gala kinētiskā enerģija ir:

m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Nosakot, ka abas vērtības ir vienādas (jo kopējā kinētiskā enerģija paliek nemainīga):

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Saliekot šos divus vienādojumus kopā

Šos vienādojumus var atrisināt tieši, lai atrastu v_i , ja ir zināms u_i , vai otrādi. Šeit ir paraugs uzdevumam, ko var atrisināt, izmantojot vai nu impulsa saglabāšanu, vai enerģijas saglabāšanu:

Piemēram:

1. bumba: masa = 3 kg, v = 4 m/s

2. bumba: masa = 5 kg, v = -6 m/s

Pēc sadursmes:

1. bumba: v = -8,5 m/s

2. bumbiņa: v = nezināms ( Mēs to attēlosim ar v )

Momenta saglabāšanas izmantošana:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Pēc reizināšanas un atņemšanas 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} $3*(-8.5)$ no abām pusēm iegūstam:

12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Saskaitot kreiso pusi un pēc tam dalot ar 5 {\displaystyle 5} $5$ , iegūstam:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}}=v} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , un, veicot pēdējo dalījumu, iegūstam: 1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v}. $\ 1.5=v$

Šo problēmu varēja atrisināt arī ar enerģijas saglabāšanas principu:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}}^{2}}{2}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}}{2}}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}{2}}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}{2}}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Abas malas reizinot ar 2 {\displaystyle 2} $2$ , un pēc tam veicot visus vajadzīgos reizinājumus, iegūstam:

48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Saskaitot skaitļus kreisajā pusē, atņemot no abām pusēm 216,75 {\displaystyle 216,75} $216.75$ un dalot ar 5 {\displaystyle 5} $5$ , iegūstam:

2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

No abām malām atņemot kvadrātsakni, iegūstam atbildi v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5}. $v=\pm 1.5$ .

Diemžēl mums joprojām būtu jāizmanto impulsa saglabāšanas likums, lai noskaidrotu, vai v {\displaystyle v} $v$ ir pozitīvs vai negatīvs.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir elastīga sadursme?

A: Elastīga sadursme ir tad, kad divi objekti saduras un atlec atpakaļ ar nelielu deformāciju vai bez tās.

J: Kāds ir elastīgas sadursmes piemērs?

A: Elastīgas sadursmes piemērs ir divas gumijas bumbiņas, kas atsitās viena pret otru.

J: Kas ir neelastīga sadursme?

A: Neelastīga sadursme ir tad, ja divi objekti saduras un saspiežas, un neatsaka atpakaļ.

Kāds ir neelastīgas sadursmes piemērs?

A: Divas automašīnas, kas ietriecas viena otrā, būtu neelastīgas sadursmes piemērs.

J: Kas notiek pilnīgi elastīgā sadursmē?

A: Pilnīgi elastīgā sadursmē kinētiskā enerģija netiek zaudēta, tāpēc abu objektu kinētiskā enerģija pēc sadursmes ir vienāda ar to kopējo kinētisko enerģiju pirms sadursmes.

J: Kā notiek elastīgas sadursmes?

A: Elastīgas sadursmes notiek tikai tad, ja nenotiek kinētiskās enerģijas pārvēršanās citās formās, piemēram, siltumā vai skaņā.

J: Kas saglabājas elastīgās sadursmēs?

A: Elastīgā sadursmē saglabājas impulss.