Elastīga sadursme

Viendimensiju Ņūtona

Aplūkojiet divas daļiņas, kas apzīmētas ar indeksu 1 un 2. Lai m₁ un m₂ ir masas, u₁ un u₂ ir ātrumi pirms sadursmes un v₁ un v₂ ir ātrumi pēc sadursmes.

Izmantojot momenta saglabāšanu, lai uzrakstītu vienu formulu

Tā kā tā ir elastīga sadursme, kopējais impulss pirms sadursmes ir vienāds ar kopējo impulsu pēc sadursmes. Ņemot vērā, ka impulsu (p) aprēķina kā

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Mēs varam aprēķināt, ka pirms sadursmes impulss ir:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}}

un impulss pēc sadursmes ir šāds:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Nosakot abus vienādus, iegūstam mūsu pirmo vienādojumu:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}}

Izmantojot enerģijas saglabāšanu, lai uzrakstītu otro formulu

Otrs noteikums, ko mēs izmantojam, ir tāds, ka kopējā kinētiskā enerģija paliek nemainīga, t. i., sākotnējā kinētiskā enerģija ir vienāda ar galīgo kinētisko enerģiju.

Kinētiskās enerģijas formula ir šāda:

m v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}}{2}}}

Tātad, izmantojot tos pašus mainīgos lielumus kā iepriekš: Sākotnējā kinētiskā enerģija ir:

m 1 u 1 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}}}}

Gala kinētiskā enerģija ir:

m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. }

Nosakot, ka abas vērtības ir vienādas (jo kopējā kinētiskā enerģija paliek nemainīga):

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. }

Saliekot šos divus vienādojumus kopā

Šos vienādojumus var atrisināt tieši, lai atrastu v_i , ja ir zināms u_i , vai otrādi. Šeit ir paraugs uzdevumam, ko var atrisināt, izmantojot vai nu impulsa saglabāšanu, vai enerģijas saglabāšanu:

Piemēram:

1. bumba: masa = 3 kg, v = 4 m/s

2. bumba: masa = 5 kg, v = -6 m/s

Pēc sadursmes:

1. bumba: v = -8,5 m/s

2. bumbiņa: v = nezināms ( Mēs to attēlosim ar v )

Momenta saglabāšanas izmantošana:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Pēc reizināšanas un atņemšanas 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} no abām pusēm iegūstam:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v}

Saskaitot kreiso pusi un pēc tam dalot ar 5 {\displaystyle 5} , iegūstam:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}}=v} , un, veicot pēdējo dalījumu, iegūstam:   1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v}.

Šo problēmu varēja atrisināt arī ar enerģijas saglabāšanas principu:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}}^{2}}{2}}}}

3 ∗ 4 2 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}}{2}}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}{2}}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}{2}}}}

Abas malas reizinot ar 2 {\displaystyle 2} , un pēc tam veicot visus vajadzīgos reizinājumus, iegūstam:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}}

Saskaitot skaitļus kreisajā pusē, atņemot no abām pusēm 216,75 {\displaystyle 216,75} un dalot ar 5 {\displaystyle 5} , iegūstam:

  2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}}

No abām malām atņemot kvadrātsakni, iegūstam atbildi v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5}. .

Diemžēl mums joprojām būtu jāizmanto impulsa saglabāšanas likums, lai noskaidrotu, vai v {\displaystyle v} ir pozitīvs vai negatīvs.