Matemātiskā indukcija

Matemātiskā indukcija ir īpašs veids, kā pierādīt matemātisku patiesību. To var izmantot, lai pierādītu, ka kaut kas ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem (visiem veseliem pozitīvajiem skaitļiem). Ideja ir tāda, ka

Kaut kas attiecas uz pirmo gadījumu
Tas pats vienmēr attiecas arī uz nākamo gadījumu.

tad

Tas pats attiecas uz visiem gadījumiem.

Rūpīgā matemātikas valodā:

Norādiet, ka pierādījums tiks veikts ar indukciju pār n {\displaystyle n} . ( n {\displaystyle n} ir indukcijas mainīgais.)
Pierādiet, ka apgalvojums ir patiess, ja n {\displaystyle n} ir 1.
Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess jebkuram dabiskajam skaitlim n {\displaystyle n} . (To sauc par indukcijas soli.)

Tad parādiet, ka šis apgalvojums ir patiess arī nākamajam n + 1 skaitlim {\displaystyle n+1} $n+1$ .

Tā kā tas ir taisnība attiecībā uz 1, tad tas ir taisnība attiecībā uz 1+1 (=2, pēc indukcijas soļa), tad tas ir taisnība attiecībā uz 2+1 (=3), tad tas ir taisnība attiecībā uz 3+1 (=4) un tā tālāk.

Indukcijas pierādījuma piemērs:

Pierādiet, ka visiem dabiskajiem skaitļiem n:

1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)} $1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)$

Pierādījums:

Pirmkārt, apgalvojumu var rakstīt šādi: visiem dabiskajiem skaitļiem n

2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)} $2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)$

Pēc indukcijas uz n,

Pirmkārt, n=1:

2 ∑ k = 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)} $2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)$ ,

tāpēc tas ir taisnība.

Tālāk pieņemsim, ka kādam n=n0 apgalvojums ir patiess. Tas ir,:

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)} $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)$

Tad, ja n=n0+1:

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{{n_{0}}}+1}k}} $2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k$

var pārrakstīt

2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)} $2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)$

Tā kā 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),} $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),$

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)} $2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)$

Tādējādi pierādījums ir pareizs.

Līdzīgi pierādījumi

Matemātiskā indukcija bieži tiek izteikta ar sākuma vērtību 0 (nevis 1). Patiesībā tā tikpat labi darbojas ar dažādām sākuma vērtībām. Lūk, piemērs, kad sākuma vērtība ir 3. Daudzstūra ar n {\displaystyle n} malām iekšējo leņķu summa ir ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} $(n-2)180$ grādu.

Sākotnējā sākuma vērtība ir 3, un trīsstūra iekšējie leņķi ir ( 3 - 2 ) 180 {\displaystyle (3-2)180} $(3-2)180$ grādi. Pieņemsim, ka n {\displaystyle n} -stūru daudzstūra iekšējie leņķi ir ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} $(n-2)180$ grādi. Pievienojiet trīsstūri, kas figūru padara par n + 1 {\displaystyle n+1} grādu. $n+1$ daudzstūri, un tas palielina leņķu skaitu par 180 grādiem ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180} $(n-2)180+180=(n+1-2)180$ grādi. Pierādīts.

Ir ļoti daudz matemātisku objektu, kuriem darbojas matemātiskās indukcijas pierādījumi. Tehniskais termins ir labi sakārtota kopa.

Induktīvā definīcija

Šo pašu ideju var izmantot gan definēšanai, gan pierādīšanai.

Nosakiet n {\displaystyle n}tās pakāpes brālēnu:

1 {\displaystyle 1} $1$ 1. pakāpes brālēns vai māsīca ir vecāka brāļa vai māsas bērns.
N + 1 {\displaystyle n+1} $n+1$ pirmās pakāpes brālēns ir vecāka n {\displaystyle n} trešās pakāpes brālēna bērns.

Dabisko skaitļu aritmētikai ir aksiomu kopums, kura pamatā ir matemātiskā indukcija. To sauc par "Peano aksiomām". Nenoteiktie simboli ir | un =. Aksiomas ir šādas.

| ir dabiskais skaitlis
Ja n {\displaystyle n} ir naturāls skaitlis, tad n | {\displaystyle n|} $n|$ ir naturāls skaitlis
Ja n | = m | {\displaystyle n|=m|}, $n|=m|$ tad n = m {\displaystyle n=m} $n=m$

Pēc tam, izmantojot matemātisko indukciju, var definēt saskaitīšanas, reizināšanas un citas darbības. Piemēram:

m + | = m | {\displaystyle m+|=m|} $m+|=m|$
m + n | = ( m + n ) | {\displaystyle m+n|=(m+n)|} $m+n|=(m+n)|$

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir matemātiskā indukcija?

A: Matemātiskā indukcija ir īpašs matemātiskās patiesības pierādīšanas veids, ko var izmantot, lai pierādītu, ka kaut kas ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem vai pozitīvajiem skaitļiem, sākot ar noteiktu punktu.

J: Kā notiek pierādīšana ar indukciju?

A: Pierādījums ar indukciju parasti notiek, nosakot, ka pierādījums tiks veikts pār n, parādot, ka apgalvojums ir patiess, kad n ir 1, pieņemot, ka apgalvojums ir patiess jebkuram naturālajam skaitlim n, un tad parādot, ka tas ir patiess nākamajam skaitlim (n+1).

Jautājums: Ko nozīmē pieņemt kaut ko induktīvajā solī?

A: Pieņemt kaut ko induktīvajā solī nozīmē pieņemt to par patiesu, nesniedzot pierādījumus vai pierādījumus. Tas kalpo kā sākumpunkts tālākai izpētei.

J: Kādus skaitļus izmanto matemātiskajā indukcijā?

A.: Matemātiskajā indukcijā parasti izmanto naturālos skaitļus vai pozitīvos skaitļus, sākot no noteikta punkta.

J: Kā var pierādīt, ka kaut kas ir patiess nākamajam skaitlim (n+1)?

A: Lai pierādītu, ka kaut kas ir patiess nākamajam skaitlim (n+1), vispirms ir jāpierāda, ka tas ir patiess, kad n=1, un pēc tam jāizmanto indukcijas posmā izdarītais pieņēmums, lai pierādītu, ka tas ir patiess arī n+1 gadījumā.