Torsija — vērpes deformācija, griezes spriegums un rotācijas leņķis

Cietvielu mehānikā vērpes deformācija ir objekta savērpšanās, ko izraisa pielikts griezes moments. Apļveida šķērsgriezumos iegūtais griezes spriegums ir perpendikulārs rādiusam.

Bīdes spriegums kādā vārpstas punktā ir:

τ θ z = T r J {\displaystyle \tau _{\theta _{z}}={Tr \over J}}

T ir pieliktais griezes moments, r ir attālums no rotācijas centra, bet J ir polārais inerces moments.

Pagrieziena leņķi var noteikt, izmantojot:

θ = T L J G {\displaystyle \theta _{}={TL \over JG}}

Kur:

Paskaidrojums un papildinformācija

Griezes moments T mēra ņūtonmetros (N·m) un izraisa vārpstas rotāciju ap tās asi. Polārais inerces moments J raksturo šķērsgriezuma formu un mēra pretestību vērpei; tā vienībai ir m4. G ir materiāla griezes modulus (šķērsvirziena moduļa), mērvienība paskālos (Pa). θ ir kopējais pagrieziena leņķis (radiānos) visā vārpstas garumā L.

Sprieguma un deformācijas sakarība

Sakarībā τ = T r / J redzams, ka bīdes spriegums pieaug lineāri ar attālumu r no ass. Tādēļ maksimālais spriegums apļveida cietā vārpstā rodas uz ārējā rādiusa r = R:

• τmax = T R / J

Griezes leņķa sadalījumu pa garumu var arī izteikt kā stiepuma ātrumu (pagrieziena leņķis uz vienību garuma):

• φ' = dθ/dz = T/(J G)

Un bīdes deformācija (šķērsgriezuma šķēluma bīdes izstiepums) pie attāluma r ir γ(r) = r φ', kas kombinācijā ar Hooke likumu dod τ(r) = G γ(r) = G r φ' = T r / J.

Izteiksmes apļa un doba vārpstām

Populāri izteikumi apļveida šķērsgriezumiem:

• Solidas apaļas vārpstas polārais inerces moments: J = π R4 / 2 = π d4 / 32, kur R ir rādiuss, d — diametrs.
• Dobbla (caurulētas) šķērsgriezuma gadījumā: J = π (Ro4 − Ri4) / 2, kur Ro un Ri ir ārējais un iekšējais rādiuss.

Šīs formulas ļauj aprēķināt τmax un nepieciešamo diametru, ja zināms pieļaujamais spriegums. Piemēram, no τmax = (16 T)/(π d3) (izvedot J = π d4 /32 un r = d/2) iegūst diametra izteiksmi:

• d = [16 T / (π τallow)]1/3 — aptuvenais diametra novērtējums, ja dots maksimālais pieļaujamais bīdes spriegums τallow.

Vārpstu stingrība, enerģija, jaudas pārnese

• Torsionālā stīvuma konstante: k = G J / L. Tad θ = T / k.
• Glabātā elastiskā enerģija vārpstā: U = 1/2 · T · θ.
• Jauda, kas tiek pārnesta rotācijas procesā: P = T · ω, kur ω ir leņķiskais ātrums (rad/s).

Neapļveida šķērsgriezumi un Saint‑Venant teorija

Augstāk minētie tiešie izteicieni der ideālam apļveida šķērsgriezumam bez virpuļošanas (warping). Neapļveida šķērsgriezumiem (piem., taisnstūrveida, T‑veida u. tml.) spriegumu sadalījums un rotācijas raksturo arī torsionālais konstants (dažkārt apzīmēts Jt vai Ct), kas nav vienāds ar polāro inerces momentu. Tādos gadījumos parasti izmanto Saint‑Venant risinājumu vai numeriskas metodes (FEM), jo šķērsgriezums var warpot (lokāli izvirzīties) un spriegumu sadalījums nav vienkārši lineārs.

Pielietojumi un dizaina piezīmes

• Vārpstas, asis, pārvades elementi, skrūves un instrumentu kāti bieži tiek projektēti, izmantojot šīs formulas.
• Drošības koeficients un noguruma faktori ir svarīgi — statiskais aprēķins ar pieļaujamo τ jāpapildina ar noguruma analīzi, ja slodzes ir svārstīgas.
• Pie lielām vērpēm vai materiāla nelinearitātēm lineārie sakari vairs nav spēkā; jāizmanto plastiskās deformācijas teorijas vai eksperimenti.

Šie skaidrojumi papildina sākotnējo formulējumu un sniedz praktisku pamatu vārpstu un griezes problēmu analīzei. Ja vēlaties, varu pievienot piemēru aprēķinu (soli pa solim) konkrētam momentam un materiālam.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir vērpes?

J: Kā bīdes spriegums ir saistīts ar vērpes deformāciju?

J: Kādu vienādojumu var izmantot, lai aprēķinātu bīdes spriegumu kādā vārpstas punktā?

J: Kādu vienādojumu var izmantot, lai atrastu vērpes leņķi?

J: Ko apzīmē "T" bīdes sprieguma un vērpes leņķa vienādojumos?

J: Ko apzīmē "r" bīdes sprieguma vienādojumā?

J: Ko abos vienādojumos apzīmē "J"?

Meklēt pēc burta