Polārais (inerces) moments: definīcija, formula un piemēri

Uzzini polāro (inerces) momentu: skaidra definīcija, formulas, ilustratīvi piemēri un praktiski pielietojumi vērpes pretestības aprēķinos inženierzinātnēs.

Piezīme: Dažādās disciplīnās terminu "inerces moments" lieto, lai apzīmētu dažādus momentus. Fizikā inerces moments ir masas otrais moments attiecībā pret attālumu no ass, kas raksturo objekta leņķisko paātrinājumu, ko rada pieliktais griezes moments. Inženierzinātnēs (jo īpaši mašīnbūvē un civilajā celtniecībā) inerces moments parasti attiecas uz laukuma otro momentu. Lasot polāro inerces momentu, pārliecinieties, vai tas attiecas uz "polāro otro laukuma momentu", nevis uz inerces momentu. Polārā otrā laukuma momenta vienības ir garums līdz ceturtajai varai (piem., m 4 {\displaystyle m^{4}} vai i n 4 {\displaystyle in^{4}} ), bet inerces moments ir masa, reizināta ar garuma kvadrātu (piemēram, k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} vai l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). ).

Polārais otrais laukuma moments (saukts arī par "polāro inerces momentu") ir objekta spējas pretoties vērpes spējai atkarībā no tā formas. Tas ir viens no otrā laukuma momenta aspektiem, kas saistīts ar perpendikulārās ass teorēmu, kur plakanais otrais laukuma moments izmanto sijas šķērsgriezuma formu, lai aprakstītu tās pretestību deformācijai (saliekumam), ja uz to iedarbojas spēks, kas pielikts tās neitrālajai asij paralēlā plaknē, bet polārais otrais laukuma moments izmanto sijas šķērsgriezuma formu, lai aprakstītu tās pretestību deformācijai (vērpei), ja momentu (griezes momentu) pievada plaknē, kas ir perpendikulāra sijas neitrālajai asij. Ja plakanais otrais laukuma moments visbiežāk tiek apzīmēts ar burtu I {\displaystyle I} , tad polārais otrais laukuma moments visbiežāk tiek apzīmēts ar I z {\displaystyle I_{z}}. vai ar burtu J {\displaystyle J}. , inženierzinātņu mācību grāmatās.

Aprēķinātās polārā otrā laukuma momenta vērtības visbiežāk izmanto, lai aprakstītu cietas vai dobas cilindriskas vārpstas pretestību vērpei, piemēram, transportlīdzekļa asij vai piedziņas vārpstai. Piemērojot necilindriskām sijām vai vārpstām, polārā otrā laukuma momenta aprēķini kļūst kļūdaini vārpstas/sijas deformācijas dēļ. Šādos gadījumos jāizmanto vērpes konstante, kur vērtības aprēķinam pievieno korekcijas konstanti.

Platības polārais otrais moments ir garuma vienības līdz ceturtajai varai ( L 4 {\displaystyle L^{4}} ), metriskās mērvienību sistēmas metri līdz ceturtajai varai ( m 4 {\displaystyle m^{4}} ), bet impēriskās mērvienību sistēmas - collas līdz ceturtajai varai ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} ). Matemātiskā formula tiešajam aprēķinam ir dota kā daudzkārtējs integrāls formas laukumam, R {\displaystyle R}. attālumā ρ {\displaystyle \rho} no jebkuras ass O {\displaystyle O} .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

Visvienkāršākajā formā polārais platības otrais moments ir divu plakano platības otro momentu, I x {\displaystyle I_{x}} un I y {\displaystyle I_{y}}, summa. . Izmantojot Pitagora teorēmu, attālums no ass O {\displaystyle O} , ρ {\displaystyle \rho } , var sadalīt x {\displaystyle x} un y {\displaystyle y} komponentēs, un laukuma izmaiņas, d A {\displaystyle dA} , sadalot tās x {\displaystyle x} un y {\displaystyle y} komponentēs, d x {\displaystyle dx} un d y {\displaystyle dy} .

Ir dotas divas formulas platuma plakanu otrajiem momentiem:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} un I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

Saistību ar polārā apgabala otro momentu var parādīt šādi:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \tātad J=I_{x}+I_{y}}}

Būtībā, palielinoties polārā otrā laukuma momenta lielumam (t. i., liela objekta šķērsgriezuma forma), būs nepieciešams lielāks griezes moments, lai izraisītu objekta vērpes deformāciju. Tomēr jāatzīmē, ka tas nekādi neietekmē vērpes stingrību, ko objektam nodrošina tā sastāvā esošie materiāli; polārais otrais laukuma moments ir vienkārši stingrība, ko objektam nodrošina tikai tā forma. Griezes stingrību, ko nodrošina materiālu īpašības, sauc par bīdes moduli G {\displaystyle G} . Sasaistot šīs divas stingrības sastāvdaļas, var aprēķināt sijas vērpes leņķi θ {\displaystyle \theta}. , izmantojot:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}}

Kur T {\displaystyle T} ir pieliktais moments (griezes moments) un l {\displaystyle l} ir sijas garums. Kā redzams, lielāki griezes momenti un sijas garums rada lielākas leņķiskās novirzes, kur lielākas ir polārā otrā laukuma momenta J {\displaystyle J} vērtības. un materiāla bīdes moduļa, G {\displaystyle G}, vērtības. , samazina leņķisko noviržu potenciālu.

Galvenās formulas un to pielietojums

Svarīgākās formulēšanas, ko lieto inženierpraktikā:

• Definīcija integrāļa formā: J_O = ∬_R ρ^2 dA, kur ρ ir attālums no ass O līdz elementam dA.
• Perpendikulārās ass teorēma (polārais moments centrā): J = I_x + I_y (ja I_x un I_y ir plakano momentu vērtības ap asīm x un y, kas atrodas vienā plaknē un z ass ir perpendikulāra).
• Paralēlā ass teorēma (pārvietojot polāro momentu no smaguma centra): J_O = J_G + A·d^2, kur J_G ir polārais moments ap centrālo (smaguma) asi, A ir laukums un d ir attālums starp asīm.
• Torsijas leņķis taisnām vārpstām: θ = T·l / (G·J), kur T — griezes moments, l — vārpstas garums, G — materiāla bīdes modulis, J — polārais laukuma moments.

Bieži izmantotas formulas klasiskām formām

• Pilna apaļa šķērsgriezuma (rādiuss R, diametrs d):
  I_x = I_y = π R^4 / 4, tāpēc J = I_x + I_y = π R^4 / 2 = π d^4 / 32.
• Dobā apaļa (cauruļveida) šķērsgriezuma (iekšējais rādiuss R_i, ārējais R_o):
  J = π (R_o^4 − R_i^4) / 2 = π (d_o^4 − d_i^4) / 32.
• Taisnstūra šķērsgriezuma, centrs kā atsauce (platums b, augstums h):
  I_x = b h^3 / 12, I_y = h b^3 / 12, tāpēc J = I_x + I_y = b h (h^2 + b^2) / 12.

Kad polārais J nav pietiekams

Nekilinikisku (piem., taisnstūrveida vai šķērsgriezumos ar atverēm un neviendabīgu sieniņu) vārpstu gadījumos polārais laukuma moments J neparedz ķermeņa warping (vārpes formu izmaiņas gar šķērsgriezuma plakni). Tādēļ teorijas, kas balstītas tikai uz J, var dot kļūdainus spriegumu un nobīdes rezultātus. Šādos gadījumos lieto vērpes konstanti (torsional constant) un/vai pilnu teorētisko risinājumu, kas ņem vērā sienu tievumu, uzbūvi un warping efektus.

Praktisks piemērs

Aprēķināsim vērpes leņķi piemēram solidai apaļai vārpstai:

• Dotais: diametrs d = 0,05 m (50 mm), garums l = 1,0 m, griezes moments T = 1000 N·m, materiāla bīdes modulis G = 79·10^9 Pa (tērauds).
• Polārais moments: J = π d^4 / 32 = π · (0,05^4) / 32 ≈ 6,136·10^−7 m^4.
• Vērpes leņķis: θ = T·l / (G·J) = 1000·1 / (79·10^9 · 6,136·10^−7) ≈ 0,0206 rad ≈ 1,18°.

Šis piemērs ilustrē, kā lielāks diametrs (tātad lielāks J) samazina vērpes leņķi pie dotā momenta un garuma. Ja vārpsta būtu doba ar tādu pašu masa/veiktspēju, J aprēķinātu pēc doba caurules formulas un rezultāts var atšķirties būtiski.

Kopsavilkums

• Polārais otrais laukuma moments J raksturo šķērsgriezuma ģeometrijas spēju pretoties vērpei; to nosaka tikai forma (laukums), nevis materiāla masa.
• Vienmēr pārliecinieties, vai runājat par laukuma polāro momentu (vienības L^4), nevis par masu inerces momentu (vienības M·L^2).
• Praktiskajiem aprēķiniem izmantojiet piemērotas formulas konkrētām formām; sarežģītām vai necilindriskām vārpstām nepieciešami precīzāki analītiskie vai skaitliski risinājumi (piem., FEA).

Ja vēlaties, varu pievienot vairāk konkrētu aprēķinu par noteiktām šķērsgriezuma formām (piem., T-veida, U-veida, tievsienu profili) vai sagatavot Excel/Calc tabulu standarta formulu aprēķiniem.

Jautājumi un atbildes

J: Kas fizikā ir inerces moments?

J: Ko inženierzinātnēs apzīmē polārais otrais laukuma moments?

J: Kā aprēķināt polāro otro laukuma momentu?

Meklēt pēc burta