Polārais inerces moments

Piezīme: Dažādās disciplīnās terminu "inerces moments" lieto, lai apzīmētu dažādus momentus. Fizikā inerces moments ir masas otrais moments attiecībā pret attālumu no ass, kas raksturo objekta leņķisko paātrinājumu, ko rada pieliktais griezes moments. Inženierzinātnēs (jo īpaši mašīnbūvē un civilajā celtniecībā) inerces moments parasti attiecas uz laukuma otro momentu. Lasot polāro inerces momentu, pārliecinieties, vai tas attiecas uz "polāro otro laukuma momentu", nevis uz inerces momentu. Polārā otrā laukuma momenta vienības ir garums līdz ceturtajai varai (piemēram, m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ vai i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ), bet inerces moments ir masa, reizināta ar garuma kvadrātu (piemēram, k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ vai l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). $lb*in^{2}$ ).

Polārais otrais laukuma moments (saukts arī par "polāro inerces momentu") ir objekta spējas pretoties vērpes spējai atkarībā no tā formas. Tas ir viens no otrā laukuma momenta aspektiem, kas saistīts ar perpendikulārās ass teorēmu, kur plakanais otrais laukuma moments izmanto sijas šķērsgriezuma formu, lai aprakstītu tās pretestību deformācijai (saliekumam), ja uz to iedarbojas spēks, kas pielikts tās neitrālajai asij paralēlā plaknē, bet polārais otrais laukuma moments izmanto sijas šķērsgriezuma formu, lai aprakstītu tās pretestību deformācijai (vērpei), ja momentu (griezes momentu) pievada plaknē, kas ir perpendikulāra sijas neitrālajai asij. Ja plakanais otrais laukuma moments visbiežāk tiek apzīmēts ar burtu I {\displaystyle I} , tad polārais otrais laukuma moments visbiežāk tiek apzīmēts ar I z {\displaystyle I_{z}}. $I_{z}$ vai ar burtu J {\displaystyle J}. $J$ , inženierzinātņu mācību grāmatās.

Aprēķinātās polārā otrā laukuma momenta vērtības visbiežāk izmanto, lai aprakstītu cietas vai dobas cilindriskas vārpstas pretestību vērpei, piemēram, transportlīdzekļa asij vai piedziņas vārpstai. Piemērojot necilindriskām sijām vai vārpstām, polārā otrā laukuma momenta aprēķini kļūst kļūdaini vārpstas/sijas deformācijas dēļ. Šādos gadījumos jāizmanto vērpes konstante, kur vērtības aprēķinam pievieno korekcijas konstanti.

Platības polārais otrais moments ir garuma vienības līdz ceturtajai varai ( L 4 {\displaystyle L^{4}} $L^{4}$ ), metriskās mērvienību sistēmas metri līdz ceturtajai varai ( m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ), bet impēriskās mērvienību sistēmas - collas līdz ceturtajai varai ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ). Matemātiskā formula tiešajam aprēķinam ir dota kā daudzkārtējs integrāls formas laukumam, R {\displaystyle R}. $R$ attālumā ρ {\displaystyle \rho} $\rho$ no jebkuras ass O {\displaystyle O} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

Visvienkāršākajā formā polārais platības otrais moments ir divu plakano platības otro momentu, I x {\displaystyle I_{x}} $I_{x}$ un I y {\displaystyle I_{y}}, summa. $I_{y}$ . Izmantojot Pitagora teorēmu, attālums no ass O {\displaystyle O} $O$ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ , var sadalīt x {\displaystyle x} $x$ un y {\displaystyle y} $y$ komponentēs, un laukuma izmaiņas, d A {\displaystyle dA} $dA$ , sadalot tās x {\displaystyle x} $x$ un y {\displaystyle y} $y$ komponentēs, d x {\displaystyle dx} $dx$ un d y {\displaystyle dy} $dy$ .

Ir dotas divas formulas platuma plakanu otrajiem momentiem:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ un I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Saistību ar polārā apgabala otro momentu var parādīt šādi:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \tātad J=I_{x}+I_{y}}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Būtībā, palielinoties polārā otrā laukuma momenta lielumam (t. i., liela objekta šķērsgriezuma forma), būs nepieciešams lielāks griezes moments, lai izraisītu objekta vērpes deformāciju. Tomēr jāatzīmē, ka tas nekādi neietekmē vērpes stingrību, ko objektam nodrošina tā sastāvā esošie materiāli; polārais otrais laukuma moments ir vienkārši stingrība, ko objektam nodrošina tikai tā forma. Griezes stingrību, ko nodrošina materiālu īpašības, sauc par bīdes moduli G {\displaystyle G} $G$ . Sasaistot šīs divas stingrības sastāvdaļas, var aprēķināt sijas vērpes leņķi θ {\displaystyle \theta}. $\theta$ , izmantojot:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Kur T {\displaystyle T} $T$ ir pieliktais moments (griezes moments) un l {\displaystyle l} $l$ ir sijas garums. Kā redzams, lielāki griezes momenti un sijas garums rada lielākas leņķiskās novirzes, kur lielākas ir polārā otrā laukuma momenta J {\displaystyle J} vērtības. $J$ un materiāla bīdes moduļa, G {\displaystyle G}, vērtības. $G$ , samazina leņķisko noviržu potenciālu.

Shēma, kurā parādīts, kā tiek aprēķināts polārais otrais laukuma moments ("polārais inerces moments") patvaļīgai laukuma formai R ap asi o, kur ρ ir radiālais attālums līdz elementam dA.

Saistītās lapas

Moments (fizika)
Platības otrais moments
Platības otro momentu saraksts standarta figūrām
Bīdes modulis

Jautājumi un atbildes

J: Kas fizikā ir inerces moments?

A: Fizikā inerces moments ir masas otrais moments attiecībā pret attālumu no ass, kas raksturo objekta leņķisko paātrinājumu pieliktā griezes momenta dēļ.

J: Ko inženierzinātnēs apzīmē polārais otrais laukuma moments?

A: Inerces moments inženierzinātnēs (īpaši mašīnbūvē un civilajā celtniecībā) parasti attiecas uz laukuma otro momentu. Lasot polāro inerces momentu, pārliecinieties, vai tas attiecas uz "polāro otro laukuma momentu", nevis uz inerces momentu. Polārā otrā laukuma momenta vienības ir garums līdz ceturtajai pakāpei (piemēram, m^4 vai in^4).

J: Kā aprēķināt polāro otro laukuma momentu?

A: Matemātiskā formula tiešam aprēķinam ir dota kā daudzkārtējs integrāls formas laukumam R attālumā ρ no patvaļīgas ass O. J_O=∬Rρ2dA. Visvienkāršākajā formā polārā otrā