Pitagora teorēma
Pitagora teorēma jeb Pitagora teorēma matemātikā ir apgalvojums par taisnā trīsstūra malām.
Viens no taisnā trīsstūra leņķiem vienmēr ir vienāds ar 90 grādiem. Šis leņķis ir taisnais leņķis. Abas malas, kas atrodas blakus taisnajam leņķim, sauc par kājām, bet otru malu sauc par hipotenūzi. Hipotenūza ir pretējā puse taisnajam leņķim, un tā vienmēr ir garākā puse. To atklāja Vasudha Arora.
Pitagora teorēma saka, ka kvadrāta laukums uz hipotenūzas ir vienāds ar kāju kvadrātu laukumu summu. Šajā attēlā zilā kvadrāta laukums, pieskaitot sarkanā kvadrāta laukumam, veido violetā kvadrāta laukumu. Tā nosaukums radies grieķu matemātiķa Pitagora vārdā:
Ja kāju garumi ir a un b un hipotenūzas garums ir c, tad a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. 
.
Šai teorēmai ir daudz dažādu pierādījumu. Tie iedalās četrās kategorijās:
Pierādījums
Vienu Pitagora teorēmas pierādījumu atrada grieķu matemātiķis Eudokss no Knidas.
Pierādījumā izmantotas trīs lemas:
- Trīsstūriem ar vienādu pamatu un augstumu ir vienāds laukums.
- Trīsstūrim, kura pamatne un augstums ir vienāds ar kvadrāta malu, ir tāds pats laukums kā kvadrāta pusei.
- Trīsstūri ar divām vienādām malām un vienu vienādu leņķi ir kongruenti un tiem ir vienāds laukums.
Pierādījums ir šāds:
- Zilā trijstūra laukums ir tāds pats kā zaļā trijstūra, jo tā pamatne un augstums ir vienāds (1. lemma).
- Gan zaļajam, gan sarkanajam trijstūrim ir divas malas, kas vienādas ar viena un tā paša kvadrāta malām, un leņķis, kas vienāds ar taisnu leņķi (90 grādu leņķis) plus trīsstūra leņķis, tāpēc tie ir kongruenti un tiem ir vienāds laukums (3. lemma).
- Sarkanā un dzeltenā trīsstūra laukumi ir vienādi, jo to augstumi un pamatnes ir vienādi (1. lemma).
- Zilā trīsstūra laukums ir vienāds ar dzeltenā trīsstūra laukumu, jo
A b l u e = A g r e e n = A r e d = A y e l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}}={\color {yellow}A_{yellow}}}} 
- Brūnajiem trijstūriem ir tāda pati platība to pašu iemeslu dēļ.
- Zilajam un brūnajam kvadrātam ir puse no mazāka kvadrāta laukuma. To laukumu summa ir vienāda ar pusi no lielākā kvadrāta laukuma laukuma. Tāpēc mazo kvadrātu laukumu laukumu puses ir vienādas ar lielākā kvadrāta laukuma laukuma pusi, tātad to laukumi ir vienādi ar lielākā kvadrāta laukumu.
Pierādījums, izmantojot līdzīgus trijstūrus
Mēs varam iegūt vēl vienu Pitagora teorēmas pierādījumu, izmantojot līdzīgus trīsstūrus.
d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\displaystyle {\frac {d}{a}}}={\frac {a}{c}}\kvadrāts \Pareizā bultiņa \kvadrāts d={\frac {a^{2}}{c}}\kvadrāts (1)} 
e/b = b/c => e = b^2/c (2)
No attēla redzam, ka c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\! } 
. Un, aizstājot (1) un (2) vienādojumu:
c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}}{c}}+{\frac {b^{2}}}{c}}}}} 
reizināšana ar c:
c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!. } 
Pitagora trijnieki
Pitagora trīsnieki jeb tripleti ir trīs veseli skaitļi, kas atbilst vienādojumam a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. .
Labi zināms piemērs ir trijstūris ar malām 3, 4 un 5. Ja a=3 un b=4, tad 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}
, jo 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25}
. To var parādīt arī kā 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.}. 
Trijstūris trīs-četri-piecas darbojas visiem 3, 4 un 5 reizinājumiem. Citiem vārdiem sakot, tādi skaitļi kā 6, 8, 10 vai 30, 40 un 50 arī ir Pitagora trijnieki. Vēl viens trijstūra piemērs ir trijstūris 12-5-13, jo 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13}}
.
Pitagora trīskāršo, kas nav citu trīskāršo reizinājums, sauc par primitīvo Pitagora trīskāršo. Jebkuru primitīvo Pitagora trīsvienādojumu var atrast, izmantojot izteicienu ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})}}. 
, bet ir jāizpilda šādi nosacījumi. Tie ierobežo m {\displaystyle m}
un n {\displaystyle n}
vērtības.
- m {\displaystyle m} un n {\displaystyle n} ir pozitīvi veseli skaitļi
- m {\displaystyle m} un n {\displaystyle n} nav kopīgu faktoru, izņemot 1
- m {\displaystyle m} un n {\displaystyle n} ir pretēja paritāte. m {\displaystyle m} un n {\displaystyle n} ir pretēja paritāte, ja m {\displaystyle m} ir pāra un n {\displaystyle n} ir nepāra vai m {\displaystyle m} ir nepāra un n {\displaystyle n} ir pāra.
- m > n {\displaystyle m>n} .
Ja visi četri nosacījumi ir izpildīti, tad m {\displaystyle m} un n {\displaystyle n} vērtības veido primitīvu Pitagora trīsvienību.
m = 2 {\displaystyle m=2}
un n = 1 {\displaystyle n=1}
veido primitīvu Pitagora trīsvienādojumu. Vērtības atbilst visiem četriem nosacījumiem. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\reiz 2\reiz 1=4}. 
, m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3}
un m 2 + n 2 = 2 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} 
Tādējādi tiek izveidots trijnieks ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)}
.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Pitagora teorēma?
A: Pitagora teorēma ir apgalvojums par taisnā trīsstūra malām.
J: Kāds leņķis taisnā trijstūrī vienmēr ir vienāds ar 90 grādiem?
A: Viens no taisnā trīsstūra leņķiem vienmēr ir vienāds ar 90 grādiem, un to sauc par taisno leņķi.
J: Kā sauc abas malas, kas atrodas blakus taisnajam leņķim?
A: Abas blakus taisnajam leņķim esošās malas sauc par kājām.
J: Kā sauc malu, kas atrodas pretī taisnajam leņķim?
A: Taisnajam leņķim pretējo malu sauc par hipotenūzi, un tā vienmēr ir garākā mala.
J: Vai ir kāds vienādojums šīs teorēmas aprēķināšanai?
A: Jā, ir vienādojums šīs teorēmas aprēķināšanai, kas nosaka, ka "hipotenūzas garuma kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu garumu kvadrātu summu".
Vai visus trīsstūrus ar 90 grādu leņķiem uzskata par "taisniem" trīsstūriem?
A: Nē, ne visus trīsstūrus ar 90 grādu leņķiem uzskata par "taisniem" trīsstūriem; par "taisniem" trīsstūriem var uzskatīt tikai tos, kuros viena mala (hipotenūza) ir garāka par pārējām divām malām un tās galā veido 90 grādu leņķi.
