Ģeometrijā divi objekti tiek saukti par kongruentiem, ja tiem ir vienāda forma un izmērs. Tas attiecas gan uz plaknes figūrām, gan telpiskām figūrām — viena figūra tiek uzskatīta par kongruentu otrai, ja to var pārvietot, pagriezt vai atspoguļot tā, ka tā pilnīgi sakrīt ar otru. Arī tad, ja viena figūra ir otra spoguļattēls (atspoguļojums), tā var būt kongruenta otrai.

Formālā definīcija

Formālāk divas punktu kopas sauc par kongruentām tikai tad, ja vienu no tām var pārveidot par otru, izmantojot izometriju — t.i., pārvietojumu, pagriezienu vai atspoguļojumu bez mēroga maiņas. Izometrijas citreiz sauc par nekustīgām kustībām, jo tās nemaina attālumus starp punktiem.

Izometrijas un transformācijas

  • Tulkošana (pārvietošana) — objekts tiek pārvietots paralēli bez pagriešanas.
  • Pagriešana (rotācija) — objekts tiek pagriezts ap punktu par noteiktu leņķi.
  • Atspoguļojums (refleksija) — objekts tiek spoguļattēlots attiecībā pret taisni vai plakni.
  • Sastāvējas izometrijas — bieži izmanto šo transformāciju kombinācijas (piem., pagriešana + atspoguļojums).

Ja ir nepieciešama mēroga maiņa (palielināšana vai samazināšana), figūras vairs nav kongruentas, tās ir tikai līdzīgas (tām ir vienādas formas attiecības, bet dažādi izmēri).

Kongruences īpašības un atbilstība

Ja divas figūras ir kongruentas, tad:

  • attiecīgie leņķi ir vienādi,
  • attiecīgās malas ir vienāda garuma,
  • pastāv viennozīmīga atbilstība starp figūru punktiem (ko sauc par korepondu).

Lai pārbaudītu kongruenci, svarīgi ir pareizi salīdzināt atbilstošos elementus (piem., malas ar malām un leņķus ar leņķiem).

Kongruence trijstūros — standarta kritēriji

Trijsturiem ir vairāki praktiski lietojami kongruences kritēriji. Ja vienmēr ir skaidra atbilstība starp virsotnēm, pietiek ar vienu no šiem apgalvojumiem, lai trijsturi būtu kongruenti:

  • SSS (mala–mala–mala) — visas trīs attiecīgās malas vienādas;
  • SAS (mala–leņķis–mala) — divas malas un iekļautais leņķis vienādi;
  • ASA (leņķis–mala–leņķis) — divi leņķi un starpsienas mala vienādi;
  • AAS (leņķis–leņķis–mala) — divi leņķi un kāda blakus mala vienādi;
  • RHS (Taisnleņķa trijstūra hipotenuze–katete) — taisnleņķa trijstūri ar vienādām hipotenuzēm un kādu atbilstošu kateti.

Šie kritēriji balstās uz to, ka, ja attiecīgās daļas sakrīt, pārējās figūras daļas ir noteiktas un līdz ar to trijsturi pilnīgi sakritīs.

Kongruence daudzstūros un telpiskās figūrās

Daudzstūri ir kongruenti, ja tiem ir vienāds virsotņu skaits un visas attiecīgās malas un leņķi pa pāriem sakrīt pēc kādas izometrijas. Parasti, lai pierādītu daudzstūru kongruenci, nosaka atbilstību starp to rindām vai malu secību.

Telpiskām figūrām (piemēram, kubiem, prizmiem, piramīdām) kongruenci nosaka tāpat: ja to malas, virsmas un leņķi atbilst pēc kādas rigidās kustības telpā, figūras ir kongruentas.

Notation un praktiski piemēri

Kongruenci parasti apzīmē ar simbolu ≅ (piem., ΔABC ≅ ΔDEF nozīmē: trijstūris ABC ir kongruents trijstūrim DEF). Praktiski piemēri:

  • Ja divi taisnstūri ir identiski pēc garuma un platuma, tos var pārklāt, izmantojot tikai pārvietošanu vai pagriešanu — tie ir kongruenti.
  • Ja izgriež divas vienādas formas no papīra un pārvieto vienu tā, lai tā pilnībā sakristu ar otru (papīru drīkst arī apgriezt), tad tās ir kongruentas.
  • Diviem trijstūriem ar malas garumiem 3, 4 un 5 vienādos secībās būs SSS kongruence — tie sakrīt bez mēroga maiņas.

Kongruence vs līdzība

Galvenā atšķirība: kongruence prasa gan vienādu formu, gan izmēru; līdzība prasa tikai proporcionālu formu (attiecīgās malas ir proporcijas, leņķi ir vienādi), bet izmēri var atšķirties. Ja vienam objektam jāmaina izmērs, tas nav kongruents ar otru — tas ir līdzīgs.

Kongruence koordinātu ģeometrijā

Kongruenci var pārbaudīt arī koordinātu ģeometrijā, izmantojot vektoru un attāluma aprēķinus. Izometrija koordinātu plaknē ir lineāra pārvērtība, kas saglabā attālumus un leņķus (piem., translācija, rotācija, atspoguļojums). Ja punktu koordinātas transformācijas rezultātā sakrīt ar otra objekta punktiem, objekti ir kongruenti.

Apkopojot: divas ģeometriskas figūras ir kongruentas, ja pastāv izometrija, kas vienu pārvērš otrā; tās var tikt pagrieztas, pārvietotas, spoguļattēlotas vai tulkotas tā, lai precīzi sakristu. Ja nepieciešama mēroga maiņa, objekti vairs nav kongruenti, bet ir tikai līdzīgi.