Kongruence ģeometrijā: definīcija, noteikumi un piemēri
Uzzini kongruences jēdzienu ģeometrijā: skaidra definīcija, svarīgākie noteikumi un saprotami piemēri soli pa solim.
Ģeometrijā divi objekti tiek saukti par kongruentiem, ja tiem ir vienāda forma un izmērs. Tas attiecas gan uz plaknes figūrām, gan telpiskām figūrām — viena figūra tiek uzskatīta par kongruentu otrai, ja to var pārvietot, pagriezt vai atspoguļot tā, ka tā pilnīgi sakrīt ar otru. Arī tad, ja viena figūra ir otra spoguļattēls (atspoguļojums), tā var būt kongruenta otrai.
Formālā definīcija
Formālāk divas punktu kopas sauc par kongruentām tikai tad, ja vienu no tām var pārveidot par otru, izmantojot izometriju — t.i., pārvietojumu, pagriezienu vai atspoguļojumu bez mēroga maiņas. Izometrijas citreiz sauc par nekustīgām kustībām, jo tās nemaina attālumus starp punktiem.
Izometrijas un transformācijas
- Tulkošana (pārvietošana) — objekts tiek pārvietots paralēli bez pagriešanas.
- Pagriešana (rotācija) — objekts tiek pagriezts ap punktu par noteiktu leņķi.
- Atspoguļojums (refleksija) — objekts tiek spoguļattēlots attiecībā pret taisni vai plakni.
- Sastāvējas izometrijas — bieži izmanto šo transformāciju kombinācijas (piem., pagriešana + atspoguļojums).
Ja ir nepieciešama mēroga maiņa (palielināšana vai samazināšana), figūras vairs nav kongruentas, tās ir tikai līdzīgas (tām ir vienādas formas attiecības, bet dažādi izmēri).
Kongruences īpašības un atbilstība
Ja divas figūras ir kongruentas, tad:
- attiecīgie leņķi ir vienādi,
- attiecīgās malas ir vienāda garuma,
- pastāv viennozīmīga atbilstība starp figūru punktiem (ko sauc par korepondu).
Lai pārbaudītu kongruenci, svarīgi ir pareizi salīdzināt atbilstošos elementus (piem., malas ar malām un leņķus ar leņķiem).
Kongruence trijstūros — standarta kritēriji
Trijsturiem ir vairāki praktiski lietojami kongruences kritēriji. Ja vienmēr ir skaidra atbilstība starp virsotnēm, pietiek ar vienu no šiem apgalvojumiem, lai trijsturi būtu kongruenti:
- SSS (mala–mala–mala) — visas trīs attiecīgās malas vienādas;
- SAS (mala–leņķis–mala) — divas malas un iekļautais leņķis vienādi;
- ASA (leņķis–mala–leņķis) — divi leņķi un starpsienas mala vienādi;
- AAS (leņķis–leņķis–mala) — divi leņķi un kāda blakus mala vienādi;
- RHS (Taisnleņķa trijstūra hipotenuze–katete) — taisnleņķa trijstūri ar vienādām hipotenuzēm un kādu atbilstošu kateti.
Šie kritēriji balstās uz to, ka, ja attiecīgās daļas sakrīt, pārējās figūras daļas ir noteiktas un līdz ar to trijsturi pilnīgi sakritīs.
Kongruence daudzstūros un telpiskās figūrās
Daudzstūri ir kongruenti, ja tiem ir vienāds virsotņu skaits un visas attiecīgās malas un leņķi pa pāriem sakrīt pēc kādas izometrijas. Parasti, lai pierādītu daudzstūru kongruenci, nosaka atbilstību starp to rindām vai malu secību.
Telpiskām figūrām (piemēram, kubiem, prizmiem, piramīdām) kongruenci nosaka tāpat: ja to malas, virsmas un leņķi atbilst pēc kādas rigidās kustības telpā, figūras ir kongruentas.
Notation un praktiski piemēri
Kongruenci parasti apzīmē ar simbolu ≅ (piem., ΔABC ≅ ΔDEF nozīmē: trijstūris ABC ir kongruents trijstūrim DEF). Praktiski piemēri:
- Ja divi taisnstūri ir identiski pēc garuma un platuma, tos var pārklāt, izmantojot tikai pārvietošanu vai pagriešanu — tie ir kongruenti.
- Ja izgriež divas vienādas formas no papīra un pārvieto vienu tā, lai tā pilnībā sakristu ar otru (papīru drīkst arī apgriezt), tad tās ir kongruentas.
- Diviem trijstūriem ar malas garumiem 3, 4 un 5 vienādos secībās būs SSS kongruence — tie sakrīt bez mēroga maiņas.
Kongruence vs līdzība
Galvenā atšķirība: kongruence prasa gan vienādu formu, gan izmēru; līdzība prasa tikai proporcionālu formu (attiecīgās malas ir proporcijas, leņķi ir vienādi), bet izmēri var atšķirties. Ja vienam objektam jāmaina izmērs, tas nav kongruents ar otru — tas ir līdzīgs.
Kongruence koordinātu ģeometrijā
Kongruenci var pārbaudīt arī koordinātu ģeometrijā, izmantojot vektoru un attāluma aprēķinus. Izometrija koordinātu plaknē ir lineāra pārvērtība, kas saglabā attālumus un leņķus (piem., translācija, rotācija, atspoguļojums). Ja punktu koordinātas transformācijas rezultātā sakrīt ar otra objekta punktiem, objekti ir kongruenti.
Apkopojot: divas ģeometriskas figūras ir kongruentas, ja pastāv izometrija, kas vienu pārvērš otrā; tās var tikt pagrieztas, pārvietotas, spoguļattēlotas vai tulkotas tā, lai precīzi sakristu. Ja nepieciešama mēroga maiņa, objekti vairs nav kongruenti, bet ir tikai līdzīgi.
Atbilstības piemērs. Divi trīsstūri kreisajā pusē ir kongruenti, bet trešais ir tiem līdzīgs. Pēdējais trīsstūris nav ne līdzīgs, ne kongruents nevienam no pārējiem. Ievērojiet, ka kongruence ļauj mainīt dažas īpašības, piemēram, atrašanās vietu un orientāciju, bet citas, piemēram, attālumu un leņķus, atstāj nemainīgas. Nemainīgās īpašības sauc par invariantiem.
Piemēri
- visi kvadrāti, kuru malu garums ir vienāds, ir vienāds.
- visi vienādmalu trijstūri, kuru malu garums ir vienāds, ir vienāds.
Atbilstības testi
- Diviem trīsstūriem divi leņķi un mala starp tiem ir vienādi (ASA kongruence)
- Divi leņķi un sānu, kas nav starp tiem, ir vienādi abos trīsstūros (AAS kongruence).
- Visas trīs abu trīsstūru malas ir vienādas (SSS kongruence)
- divas malas un leņķis starp tām padara 2 trīsstūrus vienādus (SAS kongruence).
Kā mēs varam iegūt jaunas sakrītošas figūras?
Mums ir diezgan daudz iespēju, daži noteikumi, kā izveidot jaunas formas, kas saskan ar sākotnējo.
- Ja mēs pārvietojam ģeometrisko figūru plaknē, tad iegūstam figūru, kas ir kongruenta ar sākotnējo.
- Ja mēs rotējam, nevis pārvietojam, tad arī iegūstam formu, kas ir kongruenta ar sākotnējo.
- Pat ja mēs ņemam sākotnējās figūras spoguļattēlu, mēs joprojām iegūstam kongruentu figūru.
- Ja mēs apvienojam šīs trīs darbības vienu pēc otras, tad joprojām iegūstam sakrītošas figūras.
- Vairāk vienādu figūru nav. Precīzāk tas nozīmē, ka, ja figūra ir kongruenta ar sākotnējo, tad to var sasniegt, veicot trīs iepriekš aprakstītās darbības.
Attiecībai, ka forma ir kongruenta ar citu formu, ir trīs slavenas īpašības.
- Ja mēs atstājam sākotnējo figūru tās sākotnējā vietā, tad tā ir kongruenta pati ar sevi. Šo uzvedību, šo īpašību sauc par refleksivitāti.
Piemēram, ja iepriekšminētā nobīde nav pareiza nobīde, bet tikai nobīde, kas veido nulles garuma kustību. Vai līdzīgi, ja iepriekš minētais pagrieziens nav pareizais pagrieziens, bet tikai pagrieziens, kas veido nulles leņķi.
- Ja figūra ir kongruenta ar citu figūru, tad arī šī cita figūra ir kongruenta ar sākotnējo. Šo uzvedību, šo īpašību sauc par simetriju.
Piemēram, ja mēs jauno figūru atvirzām atpakaļ, pagriežam atpakaļ vai atspoguļojam atpakaļ uz sākotnējo figūru, tad sākotnējā figūra ir kongruenta ar jauno figūru.
- Ja forma C ir kongruenta ar formu B un forma B ir kongruenta ar sākotnējo formu A, tad arī forma C ir kongruenta ar sākotnējo formu A. Šādu rīcību, šo īpašību sauc par tranzitivitāti.
Piemēram, ja vispirms veicam nobīdi un pēc tam rotāciju, tad iegūtā jaunā figūra joprojām ir kongruenta ar sākotnējo.
Trīs slavenās īpašības - refleksivitāte, simetrija un transitivitāte - kopā veido ekvivalences jēdzienu. Tādējādi īpašība kongruence ir viena no ekvivalences attiecībām starp plaknes figūrām.
Jautājumi un atbildes
Jautājums: Ko ģeometrijā nozīmē, ja divi skaitļi ir kongruenti?
A: Divi figūras ģeometrijā ir kongruenti, ja tām ir vienāda forma un izmērs vai ja vienai no tām ir tāda pati forma un izmērs kā otras figūras spoguļattēlam.
J: Kā divas punktu kopas sauc par kongruentām?
A: Divas punktu kopas sauc par kongruentām tikai un vienīgi tad, ja vienu no tām var pārveidot par otru ar izometrijas metodi.
J: Kādam nolūkam izometrijā izmanto nekustīgas kustības?
A: Izometrijā izmanto stingrās kustības, lai mainītu ģeometrisko figūru novietojumu, pagrieztu tās vai atspoguļotu, nemainot to izmērus tā, lai tās precīzi sakristu ar citiem objektiem.
Vai divas figūras var būt kongruentas, ja vienai no tām ir jāmaina izmērs, lai sakristu ar otru?
A: Nē, ja vienam no objektiem ir jāmaina izmērs, lai sakristu ar otru, tad abi objekti nav kongruenti, bet tos sauc par līdzīgiem.
J: Ko mēs varam teikt par divu atšķirīgu plaknes figūru sakritību uz papīra lapas?
A: Divi atšķirīgi plaknes figūras uz papīra lapas ir vienādas, ja mēs varam tās izgriezt un pēc tam pilnībā saskaņot, vajadzības gadījumā apgriežot papīru.
J: Kas ir kongruenti daudzstūri?
A: Saskaľoti daudzstūri ir daudzstūri, kurus var pārlocīt uz pusēm, lai izveidotu citu regulāru daudzstūri, kas arī ir saskanīgs.
J: Kāds ir kritērijs, lai divus objektus ģeometrijā varētu saukt par kongruentiem?
A: Kritērijs, lai divus objektus ģeometrijā varētu saukt par kongruentiem, ir tāds, ka vienu objektu var novietot, pagriezt vai atspoguļot tā, lai tas precīzi sakristu ar otru objektu, nemainot tā izmēru.
Meklēt