Congruence
Ģeometrijā divi skaitļi vai objekti ir vienādi, ja to forma un izmērs ir vienādi. Arī tad, ja viena forma un izmērs ir vienāds ar otra spoguļattēla formu un izmēru.
Formālāk divas punktu kopas sauc par kongruentām tikai un vienīgi tad, ja vienu no tām var pārveidot par otru ar izometrijas palīdzību. Izometrijai izmanto nekustīgas kustības.
Tas nozīmē, ka vienu objektu var pārvietot un atspoguļot (bet ne mainīt tā izmēru), lai tas precīzi sakristu ar otru objektu. Tātad divas atšķirīgas plaknes figūras uz papīra lapas ir kongruentas, ja mēs varam tās izgriezt un pēc tam pilnībā saskaņot. Papīru ir atļauts apgriezt.
SaskaĦoti daudzstūri ir daudzstūri, kas, saliekot regulāru daudzstūri uz pusēm, ir saskanīgs daudzstūris.
Divas ģeometriskas figūras ir sakrītošas, ja vienu no tām var pārvietot vai pagriezt tā, lai tā precīzi atbilstu otrai. Ja vienam no objektiem ir jāmaina izmērs, abi objekti nav kongruenti: tos vienkārši sauc par līdzīgiem.
Ja divas figūras vai objekti ir kongruenti, tiem ir vienāda forma un izmērs, bet tos var pagriezt, pārvietot, spoguļattēlot (atspoguļot) vai tulkot tā, lai tie precīzi atbilstu otram objektam.
Atbilstības piemērs. Divi trīsstūri kreisajā pusē ir kongruenti, bet trešais ir tiem līdzīgs. Pēdējais trīsstūris nav ne līdzīgs, ne kongruents nevienam no pārējiem. Ievērojiet, ka kongruence ļauj mainīt dažas īpašības, piemēram, atrašanās vietu un orientāciju, bet citas, piemēram, attālumu un leņķus, atstāj nemainīgas. Nemainīgās īpašības sauc par invariantiem.
Piemēri
- visi kvadrāti, kuru malu garums ir vienāds, ir vienāds.
- visi vienādmalu trijstūri, kuru malu garums ir vienāds, ir vienāds.
Atbilstības testi
- Diviem trīsstūriem divi leņķi un mala starp tiem ir vienādi (ASA kongruence)
- Divi leņķi un sānu, kas nav starp tiem, ir vienādi abos trīsstūros (AAS kongruence).
- Visas trīs abu trīsstūru malas ir vienādas (SSS kongruence)
- divas malas un leņķis starp tām padara 2 trīsstūrus vienādus (SAS kongruence).
Kā mēs varam iegūt jaunas sakrītošas figūras?
Mums ir diezgan daudz iespēju, daži noteikumi, kā izveidot jaunas formas, kas saskan ar sākotnējo.
- Ja mēs pārvietojam ģeometrisko figūru plaknē, tad iegūstam figūru, kas ir kongruenta ar sākotnējo.
- Ja mēs rotējam, nevis pārvietojam, tad arī iegūstam formu, kas ir kongruenta ar sākotnējo.
- Pat ja mēs ņemam sākotnējās figūras spoguļattēlu, mēs joprojām iegūstam kongruentu figūru.
- Ja mēs apvienojam šīs trīs darbības vienu pēc otras, tad joprojām iegūstam sakrītošas figūras.
- Vairāk vienādu figūru nav. Precīzāk tas nozīmē, ka, ja figūra ir kongruenta ar sākotnējo, tad to var sasniegt, veicot trīs iepriekš aprakstītās darbības.
Attiecībai, ka forma ir kongruenta ar citu formu, ir trīs slavenas īpašības.
- Ja mēs atstājam sākotnējo figūru tās sākotnējā vietā, tad tā ir kongruenta pati ar sevi. Šo uzvedību, šo īpašību sauc par refleksivitāti.
Piemēram, ja iepriekšminētā nobīde nav pareiza nobīde, bet tikai nobīde, kas veido nulles garuma kustību. Vai līdzīgi, ja iepriekš minētais pagrieziens nav pareizais pagrieziens, bet tikai pagrieziens, kas veido nulles leņķi.
- Ja figūra ir kongruenta ar citu figūru, tad arī šī cita figūra ir kongruenta ar sākotnējo. Šo uzvedību, šo īpašību sauc par simetriju.
Piemēram, ja mēs jauno figūru atvirzām atpakaļ, pagriežam atpakaļ vai atspoguļojam atpakaļ uz sākotnējo figūru, tad sākotnējā figūra ir kongruenta ar jauno figūru.
- Ja forma C ir kongruenta ar formu B un forma B ir kongruenta ar sākotnējo formu A, tad arī forma C ir kongruenta ar sākotnējo formu A. Šādu rīcību, šo īpašību sauc par tranzitivitāti.
Piemēram, ja vispirms veicam nobīdi un pēc tam rotāciju, tad iegūtā jaunā figūra joprojām ir kongruenta ar sākotnējo.
Trīs slavenās īpašības - refleksivitāte, simetrija un transitivitāte - kopā veido ekvivalences jēdzienu. Tādējādi īpašība kongruence ir viena no ekvivalences attiecībām starp plaknes figūrām.
Jautājumi un atbildes
Jautājums: Ko ģeometrijā nozīmē, ja divi skaitļi ir kongruenti?
A: Divi figūras ģeometrijā ir kongruenti, ja tām ir vienāda forma un izmērs vai ja vienai no tām ir tāda pati forma un izmērs kā otras figūras spoguļattēlam.
J: Kā divas punktu kopas sauc par kongruentām?
A: Divas punktu kopas sauc par kongruentām tikai un vienīgi tad, ja vienu no tām var pārveidot par otru ar izometrijas metodi.
J: Kādam nolūkam izometrijā izmanto nekustīgas kustības?
A: Izometrijā izmanto stingrās kustības, lai mainītu ģeometrisko figūru novietojumu, pagrieztu tās vai atspoguļotu, nemainot to izmērus tā, lai tās precīzi sakristu ar citiem objektiem.
Vai divas figūras var būt kongruentas, ja vienai no tām ir jāmaina izmērs, lai sakristu ar otru?
A: Nē, ja vienam no objektiem ir jāmaina izmērs, lai sakristu ar otru, tad abi objekti nav kongruenti, bet tos sauc par līdzīgiem.
J: Ko mēs varam teikt par divu atšķirīgu plaknes figūru sakritību uz papīra lapas?
A: Divi atšķirīgi plaknes figūras uz papīra lapas ir vienādas, ja mēs varam tās izgriezt un pēc tam pilnībā saskaņot, vajadzības gadījumā apgriežot papīru.
J: Kas ir kongruenti daudzstūri?
A: Saskaľoti daudzstūri ir daudzstūri, kurus var pārlocīt uz pusēm, lai izveidotu citu regulāru daudzstūri, kas arī ir saskanīgs.
J: Kāds ir kritērijs, lai divus objektus ģeometrijā varētu saukt par kongruentiem?
A: Kritērijs, lai divus objektus ģeometrijā varētu saukt par kongruentiem, ir tāds, ka vienu objektu var novietot, pagriezt vai atspoguļot tā, lai tas precīzi sakristu ar otru objektu, nemainot tā izmēru.
