Vienības vektors: definīcija, notācija un normalizēšana

Uzziniet, kas ir vienības vektors — definīcija, notācija un normalizēšanas formulas ar skaidriem piemēriem un soli‑pa‑solim aprēķiniem.

Autors: Leandro Alegsa

08-01-2026 22:12

Vienības vektors ir jebkurš vektors, kura garums ir viena vienība.

Vienības vektori bieži tiek pierakstīti tāpat kā parastie vektori, bet ar atzīmi virs burta (piemēram, a ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} } $\mathbf {\hat {a}}$ ir vienības vektors a.).

Lai pārveidotu vektoru par vienības vektoru, daliet to ar tā garumu: u ^ = u / ‖ u ‖ {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert } ${\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert$

Notācija

Visizplatītākā vienības vektora notācija ir burts ar "scepura" vai "āķa" zīmējumu virsū, piemēram, ̂a vai ̂u (bieži rakstīts kā â vai û), ko zīmē arī kā e_i vai kā treknrakstu vienības vektoru ȧ. Kartēziskajā koordinātu sistēmā parasti izmanto simbolus i, j, k jeb e₁, e₂, e₃ kā standarta vienības vektorus x-, y- un z-asi virzienā.

Normalizēšana — soli pa solim

Ja dots vektors u = (u1, u2, ..., un), tad tā garumu (normu) aprēķina kā

‖u‖ = sqrt(u1² + u2² + ... + un²).
Tad vienības vektors īstenībā ir û = u / ‖u‖, t.i., dalot katru komponenti ar ‖u‖.

Piemērs: ja u = (3, 4) tad ‖u‖ = 5, un û = (3/5, 4/5).

Svarīgi: nullvektoru (u = 0) nevar normalizēt, jo tā garums ‖u‖ = 0, un dalīt ar nulli nav iespējams.

Īpašības

Vienības vektora norma vienmēr ir 1: ‖û‖ = 1.
Ja û ir vienības vektors, tad vektora v projekcija uz û vienkārši ir (v · û) û.
Divi vienības vektori var būt jebkāda leņķa attālumā; to skalārais reizinājums dod kosinusu starp tiem: û · v̂ = cos θ.
Vektoru secība, kas sastāv no savstarpēji perpendikulāriem vienības vektoriem, veido ortonormālu bāzi (piem., e1, e2, e3).

Pielietojumi

Virziena aprakstīšanai: vienības vektors norāda virzienu neatkarīgi no lieluma.
Projekcijām un komponentu atrašanai fizikā un inženierzinātnēs.
Ortonormālu bāzu veidošanā lineārajā algebrā un signālu apstrādē.
Datorgrafikā un robotikā virziena vektori un virziens/kustības normalizācija.
Parametrizētām līknēm — tangentālie vienības vektori (tangent unit vectors) un normālie vektori.

Skaitliskas un praktiskas piezīmes

Ja ‖u‖ ir ļoti mazs (skaitliski tuvs nullei), dalīšana var radīt liela kļūdu; lieto mērogošanu vai precīzāku aritmētiku.
Dažos algoritmos, piemēram, Gram–Schmidt ortogonalizācijā, vienība vektoru iegūšana un normalizācija ir pamatelements.
Dažkārt ērti izmantot standarta vienības vektorus (e1, e2, e3) kā bāzi aprēķinos.

Kopsavilkums

Vienības vektors ir būtisks jēdziens matemātikā, fizikā un inženierzinātnēs — tas sniedz vienkāršu un skaidru veidu, kā aprakstīt virzienu neatkarīgi no lieluma. Lai iegūtu vienības vektoru no dotā vektora, daliet to ar tā normu, ja vien vektora garums nav nulle.

Komponenta formā

Trīs parastie vienības vektori, ko izmanto komponentu formā, ir i ^ {\\displaystyle \mathbf {\hat {i}}. } $\mathbf {\hat {i}}$ , j ^ { {\displaystyle \mathbf {\hat {j}}} } $\mathbf {\hat {j}}$ un k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}}}. } $\mathbf {\hat {k}}$ , kas attiecīgi attiecas uz x-, y- un z-ases vienības vektoriem. Parasti tos vienkārši apzīmē ar i, j un k.

Tos var pierakstīt šādi: i ^ = [ 1 0 0 ] , j ^ = [ 0 1 0 ] , k ^ = [ 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {\hat {i}}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}},\,\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}} $\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}$

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir vienības vektors?

A: Vienības vektors ir jebkurš vektors, kura garums ir vienāds ar vienu.

J: Kā parasti pieraksta vienības vektorus?

A: Vienības vektorus parasti pieraksta tāpat kā parastos vektorus, bet ar aploku virs burta.

J: Kā var pārveidot vektoru par vienības vektoru?

A: Lai pārveidotu vektoru par vienības vektoru, tas jādala ar tā garumu.

J: Kāds būs rezultāts, pārveidojot vektoru par vienības vektoru?

A: Iegūtais vienības vektors būs tajā pašā virzienā kā sākotnējais vektors.

J: Vai ir kāds piemērs, kā pierakstīt vienības vektoru?

A: Jā, piemēram, v^{\displaystyle \mathbf {\hat {v}}} } ir vienības vektora v{\displaystyle \mathbf {v}} apzīmējums. .

Vai visus vektorus var pārveidot par vienības vektoriem?

A: Jā, jebkura veida vektoru var pārvērst par vienības vektoru, dalot to ar tā garumu.

Meklēt