Vektors — definīcija, lielums, virziens un piemēri matemātikā

• Džons iet uz ziemeļiem 20 metrus. Virziens "ziemeļi" kopā ar attālumu "20 metri" ir vektors.
• Ābols krīt lejup ar ātrumu 10 metri sekundē. Virziens "uz leju" kopā ar ātrumu "10 metri sekundē" ir vektors. Šādu vektoru sauc arī par ātrumu.

• Attālums starp divām vietām ir 10 kilometri. Šis attālums nav vektors, jo tajā nav norādīts virziens.
• Augļu skaits kastē nav vektors.
• Persona, kas norāda, nav vektors, jo ir tikai virziens. Nav lieluma (piemēram, attālums no cilvēka pirksta līdz ēkai).
• Objekta garums.
• Automašīna brauc ar ātrumu 100 kilometri stundā. Tas neapraksta vektoru, jo ir tikai lielums, bet nav virziena.

• Pārvietojums ir vektors. Pārvietojums ir attālums, par kādu kaut kas pārvietojas noteiktā virzienā. Attāluma mērvienība ir skalārs.
• Spēks, kas ietver virzienu, ir vektors.
• Ātrums ir vektors, jo tas ir ātrums noteiktā virzienā.
• Paātrinājums ir ātruma izmaiņu ātrums. Objekts paātrinās, ja tas maina ātrumu vai virzienu.

Vektoru pievienošana uz papīra, izmantojot "no galvas uz asti" metodi

Vektoru saskaitīšanas metode "no galvas uz asti" ir noderīga, lai uz papīra novērtētu divu vektoru saskaitīšanas rezultātu. Lai to izdarītu:

• Katrs vektors ir uzzīmēts kā bulta ar garuma vienību aiz tās, kur katra garuma vienība uz papīra apzīmē noteiktu vektora lielumu.
• Uzzīmējiet nākamo vektoru tā, lai otrā vektora astes(gala) punkts būtu pirmā vektora galvas(priekšpuses) punktā.
• Atkārtojiet to visiem turpmākajiem vektoriem: Nākamā vektora asti uzzīmējiet pie iepriekšējā vektora galvas.
• Novelciet līniju no pirmā vektora astes līdz pēdējā vektora galvai - tā ir visu vektoru rezultante (summa).

To sauc par metodi "no galvas uz asti", jo katra iepriekšējā vektora galva ved uz nākamā vektora asti.

Komponentu formas izmantošana

^{[ir nepieciešams paskaidrot d]}

Komponentu formas izmantošana divu vektoru saskaitīšanai burtiski nozīmē vektoru komponenšu saskaitīšanu, lai izveidotu jaunu vektoru. Piemēram, lai a un b ir divi divdimensiju vektori. Šos vektorus var pierakstīt kā to komponentes.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Pieņemsim, ka c ir šo divu vektoru summa, tātad c = a + b. Tas nozīmē, ka c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Šeit ir divu vektoru saskaitīšanas piemērs, izmantojot to sastāvdaļu formas.

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }

= ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}

= ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) {\displaystyle =(3+2,-1+2)}

= ( 5 , 1 ) {\displaystyle =(5,1)}

Šī metode darbojas ar visiem vektoriem, ne tikai divdimensiju vektoriem.

Punktu reizinājuma izmantošana

Dot reizinājums ir viena no vektoru reizināšanas metodēm. Tā rezultātā iegūst skalāru. Tā izmanto komponentu formu:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a ⋅ b = ( 2 , 3 ) ⋅ ( 1 , 4 ) = ( 2 ⋅ 1 ) + ( 3 ⋅ 4 ) = 2 + 12 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} =(2,3)\\\\mathbf {b} =(1,4)\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(2,3)\cdot (1,4)\\=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\=2+12=14\end{aligned}}}}

Izmantojot krustenisko reizinājumu

Šķērsdarinājums ir vēl viena vektoru reizināšanas metode. Tā rezultātā iegūst citu vektoru. Izmantojot komponentu formu:

a × b = | a | | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} }

Šeit | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} ir garums {\displaystyle \mathbf {a} } un n {\displaystyle \mathbf {n} } ir vienības vektors taisnā leņķī pret abiem a {\displaystyle \mathbf {a}. } un b {\displaystyle \mathbf {b} } .

reizināšana ar skalāru

Lai reizinātu vektoru ar skalāru (parastu skaitli), skaitli reizina ar katru vektora sastāvdaļu:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . . , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})} }

Kā piemēru var minēt

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 ⋅ 3 , 5 ⋅ 4 ) = ( 15 , 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}c=5\\\\mathbf {x} =(3,4)\\c\,\mathbf {x} =(5\cdot 3,5\cdot 4)\\=(15,20)\end{aligned}}}}

• Vektorgrafika
• Vektoru lauks