Skaitlis — matemātikas pamatjēdziens: definīcija, veidi un pielietojumi

Cilvēku skaitļi

Ir dažādi veidi, kā skaitļiem piešķirt simbolus. Šīs metodes sauc par skaitļu sistēmām. Visizplatītākā skaitļu sistēma, ko cilvēki izmanto, ir desmit bāzisko skaitļu sistēma. Desmit bāzisko skaitļu sistēmu sauc arī par decimālo skaitļu sistēmu. Pamata desmit skaitļu sistēma ir izplatīta, jo cilvēkiem ir desmit pirkstu un desmit pirkstu pirksti. Pamata desmit skaitļu sistēmā izmanto 10 dažādus simbolus {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 un 9}. Šos desmit simbolus sauc par cipariem.

Skaitļa simbols sastāv no šiem desmit cipariem. Ciparu novietojums parāda, cik liels ir skaitlis. Piemēram, skaitlis 23 decimālskaitļu sistēmā patiešām nozīmē (2 reiz 10) plus 3, bet 101 nozīmē 1 reiz simts (=100) plus 0 reiz 10 (=0) plus 1 reiz 1 (=1).

Mašīnu skaitļi

Mašīnām biežāk tiek izmantota cita skaitļu sistēma. Mašīnu skaitļu sistēmu sauc par bināro skaitļu sistēmu. Bināro skaitļu sistēmu sauc arī par divu bāzu skaitļu sistēmu. Divu bāzu skaitļu sistēmā izmanto divus dažādus simbolus (0 un 1). Šos divus simbolus sauc par bitiem.

Binārā skaitļa simbols sastāv no šiem diviem bitu simboliem. Bitu simbolu novietojums parāda, cik liels ir skaitlis. Piemēram, skaitlis 10 binārajā skaitļu sistēmā patiesībā nozīmē 1 reiz 2 plus 0, bet 101 nozīmē 1 reiz četri (=4) plus 0 reiz divi (=0) plus 1 reiz 1 (=1). Binārais skaitlis 10 ir tas pats, kas decimālais skaitlis 2. Binārais skaitlis 101 ir tas pats, kas decimālais skaitlis 5.

Angļu valodā dažiem decimālskaitļu sistēmas skaitļiem ir īpaši nosaukumi, kas ir "desmit lielumi". Visos šajos desmit pakāpju skaitļos decimālskaitļu sistēmā izmanto tikai simbolu "1" un simbolu "0". Piemēram, desmit desmit ir tas pats, kas desmit reizes desmit jeb simts. Simbolos tas ir "10 × 10 = 100". Arī desmit simti ir tas pats, kas desmit reiz simts jeb tūkstoš. Simbolos tas ir "10 × 100 = 10 × 10 × 10 × 10 = 1000". Arī dažiem citiem desmit pakāpju skaitļiem ir īpaši nosaukumi:

• 1 - viens
• 10 - desmit
• 100 - simts
• 1000 - viens tūkstotis
• 1 000 000 - viens miljons

Ja runa ir par lielākiem skaitļiem, ir divi dažādi veidi, kā tos nosaukt angļu valodā. Saskaņā ar "garo skalu" katru reizi, kad skaitlis ir miljons reižu lielāks par pēdējo nosaukto skaitli, tiek dots jauns nosaukums. To sauc arī par "britu standartu". Šī skala kādreiz bija izplatīta Lielbritānijā, taču mūsdienās angliski runājošās valstīs to vairs bieži neizmanto. To joprojām izmanto dažās citās Eiropas valstīs. Vēl viena skala ir "īsā skala", saskaņā ar kuru katru reizi, kad skaitlis ir tūkstoš reižu lielāks par pēdējo nosaukto skaitli, tiek dots jauns nosaukums. Šī skala ir daudz izplatītāka lielākajā daļā angliski runājošo tautu mūsdienās.

• 1,000,000,000 - viens miljards (īsā skala), viens miljards (garā skala)
• 1,000,000,000,000,000 - viens triljons (īsais mērogs), viens miljards (garais mērogs).
• 1,000,000,000,000,000,000 - viens kvadriljons (īsā skala), viens biljards (garā skala).

Dabiskie skaitļi

Dabiskie skaitļi ir skaitļi, kurus mēs parasti izmantojam skaitīšanai, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 utt. Daži cilvēki saka, ka arī 0 ir dabiskais skaitlis.

Vēl viens šo skaitļu nosaukums ir pozitīvie skaitļi. Šos skaitļus dažkārt raksta kā +1, lai parādītu, ka tie atšķiras no negatīvajiem skaitļiem. Taču ne visi pozitīvie skaitļi ir dabiskie skaitļi (piemēram, 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ir pozitīvs skaitlis, bet ne dabisks).

Ja 0 sauc par dabisko skaitli, tad dabiskie skaitļi ir vienādi ar veseliem skaitļiem. Ja 0 nav dabiskais skaitlis, tad dabiskie skaitļi ir tādi paši kā skaitliskie skaitļi. Tātad, ja netiks lietoti vārdi "dabiskie skaitļi", tad būs mazāk neskaidrību par to, vai nulle ir vai nav iekļauta. Taču diemžēl daži saka, ka arī nulle nav vesels skaitlis, un daži saka, ka veseli skaitļi var būt negatīvi. "Pozitīvie veselie skaitļi" un "nenegatīvie veselie skaitļi" ir vēl viens veids, kā iekļaut nulli vai izslēgt nulli, bet tikai tad, ja cilvēki zina šos vārdus.

Negatīvie skaitļi

Negatīvi skaitļi ir skaitļi, kas mazāki par nulli.

Viens no veidiem, kā domāt par negatīvajiem skaitļiem, ir izmantot skaitļu līniju. Vienu šīs līnijas punktu saucam par nulli. Tad mēs apzīmēsim (uzrakstīsim nosaukumu) katru pozīciju uz līnijas, norādot, cik tālu pa labi no nulles punkta tā atrodas, piemēram, punkts viens ir vienu centimetru pa labi, punkts divi ir divus centimetrus pa labi.

Tagad iedomājieties punktu, kas atrodas vienu centimetru pa kreisi no nulles punkta. Mēs nevaram šo punktu saukt par vieninieku, jo jau ir punkts, ko sauc par vieninieku. Tāpēc mēs saucam šo punktu par mīnus 1 (-1) (jo tas atrodas viena centimetra attālumā, bet pretējā virzienā).

Zemāk ir attēlots skaitļu līnijas zīmējums.

Visas parastās matemātikas darbības var veikt ar negatīviem skaitļiem:

Ja cilvēki pieskaita negatīvu skaitli citam skaitlim, tas ir tas pats, kas atņemt pozitīvu skaitli ar tiem pašiem cipariem. Piemēram, 5 + (-3) ir tas pats, kas 5 - 3, un ir 2.

Ja viņi atņem negatīvu skaitli citam skaitlim, tas ir tas pats, kas pieskaitīt pozitīvu skaitli ar tiem pašiem cipariem. Piemēram, 5 - (-3) ir tas pats, kas 5 + 3, un ir vienāds ar 8.

Ja viņi reizina divus negatīvus skaitļus kopā, iegūst pozitīvu skaitli. Piemēram, -5 reiz -3 ir 15.

Ja viņi reizina negatīvu skaitli ar pozitīvu skaitli vai reizina pozitīvu skaitli ar negatīvu skaitli, viņi iegūst negatīvu rezultātu. Piemēram, 5 reiz -3 ir -15.

Tā kā atrast kvadrātsakni no negatīva skaitļa nav iespējams, jo negatīvs reiz negatīvs ir vienāds ar possitve. Negatīva skaitļa kvadrātsakni simbolizējam kā i.

Veseli skaitļi

Veseli skaitļi ir visi naturālie skaitļi, visi to pretpoli un skaitlis nulle. Decimālskaitļi un frakcijas nav veseli skaitļi.

Racionālie skaitļi

Racionālie skaitļi ir skaitļi, kurus var pierakstīt kā daļskaitļus. Tas nozīmē, ka tos var rakstīt kā a dalīts ar b, kur a un b ir veseli skaitļi un b nav vienāds ar 0.

Dažiem racionāliem skaitļiem, piemēram, 1/10, ir nepieciešams galīgs ciparu skaits aiz decimālpunkta, lai ierakstītu tos decimālformātā. Skaitli viena desmitā daļa decimālformātā raksta kā 0,1. Skaitļi, kas rakstīti ar galīgo decimālformu, ir racionāli. Dažiem racionāliem skaitļiem, piemēram, 1/11, ir nepieciešams bezgalīgs ciparu skaits aiz decimālpunkta, lai tos rakstītu decimālformātā. Pēc decimālpunkta esošajiem cipariem ir atkārtojošs modelis. Skaitli viena vienpadsmitdaļa decimālskaitļa formā ieraksta kā 0,090909090909 ... ... .

Procentuālo daļu var saukt par racionālu skaitli, jo procentuālo daļu, piemēram, 7%, var pierakstīt kā daļu 7/100. To var rakstīt arī kā decimāldaļu 0,07. Dažreiz par racionālu skaitli uzskata arī attiecību.

iracionālie skaitļi

Irracionālie skaitļi ir skaitļi, kurus nevar pierakstīt kā daļu, bet kuriem nav iedomāto daļu (paskaidrots vēlāk).

Iracionālie skaitļi bieži sastopami ģeometrijā. Piemēram, ja mums ir kvadrāts, kura mala ir 1 metrs, tad attālums starp pretējiem stūriem ir kvadrātsakne no divi, kas ir 1,414213 ... ... . Tas ir iracionāls skaitlis. Matemātiķi ir pierādījuši, ka katra dabiskā skaitļa kvadrātsakne ir vai nu vesels skaitlis, vai iracionāls skaitlis.

Viens no labi zināmajiem iracionālajiem skaitļiem ir pi. Tas ir riņķa apkārtmērs (attālums apkārt), kas dalīts ar tā diametru (attālums pāri). Šis skaitlis ir vienāds visiem apļiem. Skaitlis pi ir aptuveni 3,1415926535 ... .

Iracionālu skaitli nevar pilnībā pierakstīt decimālformātā. Tam būtu bezgalīgs ciparu skaits aiz decimālpunkta. Atšķirībā no 0,333333 ... šie cipari neatkārtotos mūžīgi.

Reālie skaitļi

Reālie skaitļi ir visu iepriekš uzskaitīto skaitļu kopu nosaukums:

• Racionālie skaitļi, ieskaitot veselos skaitļus
• iracionālie skaitļi

Tie ir visi skaitļi, kuros nav ietverti iedomātie skaitļi.

Imagināri skaitļi

Imagināros skaitļus veido reālie skaitļi, kas reizināti ar skaitli i. Šis skaitlis ir mīnus viens (-1) kvadrātsakne.

Reālajos skaitļos nav tāda skaitļa, kuru kvadrātā sakārtojot, iegūtu skaitli -1. Tāpēc matemātiķi izgudroja skaitli. Šo skaitli nosauca par i jeb iedomāto vienību.

Imaginārajiem skaitļiem ir tādi paši noteikumi kā reālajiem skaitļiem:

• Divu iedomāto skaitļu summu iegūst, izvelkot (reizinot) i. Piemēram, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Divu iedomāto skaitļu starpību atrod līdzīgi. Piemēram, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Ja reizina divus iedomātus skaitļus, atcerieties, ka i × i (i ²) ir -1. Piemēram, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Par iedomātiem skaitļiem tos sauca tāpēc, ka tad, kad tos pirmo reizi atklāja, daudzi matemātiķi uzskatīja, ka tie neeksistē.^[]Cilvēks, kurš 1500. gadā atklāja iedomātos skaitļus, bija Džerolāmo Kardāno. Pirmais, kurš lietoja vārdus imaginārais skaitlis, bija Renē Dekarts. Pirmie, kas lietoja šos skaitļus, bija Leonards Eulers un KarlsFrīdrihs Gauss. Abi dzīvoja 18. gadsimtā.

Kompleksie skaitļi

Kompleksie skaitļi ir skaitļi, kuriem ir divas daļas: reālā daļa un iedomātā daļa. Visi iepriekš minētie skaitļu veidi arī ir kompleksie skaitļi.

Kompleksie skaitļi ir vispārīgāka skaitļu forma. Kompleksos skaitļus var uzzīmēt uz skaitļu plaknes. Tā sastāv no reālo skaitļu līnijas un iedomāto skaitļu līnijas.

Visu parasto matemātiku var veikt ar kompleksajiem skaitļiem:

• Lai saskaitītu divus kompleksos skaitļus, saskaitiet reālo un iedomāto daļu atsevišķi. Piemēram, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Lai atņemtu vienu komplekso skaitli no otra, atņemiet reālo un iedomāto daļu atsevišķi. Piemēram, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Divu sarežģītu skaitļu reizināšana ir sarežģīta. Visvieglāk to ir aprakstīt vispārīgi, izmantojot divus kompleksos skaitļus a + bi un c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Piemēram, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transcendentālie skaitļi

Reālu vai kompleksu skaitli sauc par transcendentālu skaitli, ja to nevar iegūt kā algebriska vienādojuma ar veseliem koeficientiem rezultātu.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}}

Pierādīt, ka kāds skaitlis ir transcendentāls, var būt ārkārtīgi grūti. Katrs transcendentāls skaitlis ir arī iracionāls skaitlis. Pirmie cilvēki, kas pamanīja, ka pastāv transcendentālie skaitļi, bija Gotfrīds Vilhelms Leibnics un Leonhards Eulers. Pirmais, kurš faktiski pierādīja transcendentālo skaitļu esamību, bija Žozefs Līvils. Viņš to izdarīja 1844. gadā.

Labi zināmi transcendentālie skaitļi:

• e
• π
• e^a algebriskajai a ≠ 0
• 2 2 2 {\displaystyle 2^{{\sqrt {2}}}