Potencēšana (eksponentēšana): definīcija, noteikumi un piemēri

Potencēšana (eksponentēšana): skaidra definīcija, galvenie noteikumi un saprotami piemēri — apgūsti pakāpes, kvadrātus, kubus un negatīvos eksponentus.

Potencēšana (saukta arī par eksponentēšanu vai jaudas operāciju) ir aritmētiska darbība ar skaitļiem, ko var izprast kā atkārtotu reizināšanu (līdzīgi kā reizināšana ir atkārtota saskaitīšana). Eksponentu pieraksta ar augšējo indeksu. Piemēram, izteiksme x y {\displaystyle x^{y}}. apzīmē bāzi x, kurai paaugstina pakāpē y. Ja nav iespējams rakstīt augšējo indeksu, bieži izmanto simbolus ^ vai **, piemēram 2^3 vai 2**3, kas abi nozīmē 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. .

Šajā izteiksmē skaitli x {\displaystyle x} sauc par bāzi, bet skaitli y {\displaystyle y} — par eksponentu. Piemēram, 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. — šeit 2 ir bāze un 3 ir eksponents.

Lai aprēķinātu 2 3 {\displaystyle 2^{3}}, skaitli 2 reizinām ar sevi trīs reizes: 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}, un rezultāts ir 8: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8}.

Piemēri

• 5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
• x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
• 1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} — derīgs katram skaitlim x

Speciālie nosaukumi un savienojums ar ģeometriju

Ja eksponents ir 2, izteiksmi sauc par kvadrātu. Piemēram, a^{2} tiek izmantots kvadrāta laukuma aprēķināšanai. Tātad x 2 {\displaystyle x^{2}} ir x kvadrāts.

Ja eksponents ir 3, izteiksmi sauc par kubu. Piemēram, a^{3} saistās ar kuba tilpumu. Tātad x 3 {\displaystyle x^{3}} ir x kuba tilpums.

Negatīvi un frakcionāli eksponenti

Negatīvs eksponents norāda apgriezto lielumu. Piemēram, ja eksponents ir −1, tad iegūstam bāzes apgriezto vērtību:

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}}

Ja eksponents ir vesels skaitlis mazāks par 0, to var pārrakstīt kā apgriezto pozitīva eksponenta formu. Piemēram:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}}

Frakcionālie eksponenti saista potenci ar saknēm. Ja eksponents ir 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}, tad rezultāts ir bāzes kvadrātsakne, tātad:

x 1 2 = x . {\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}}={\sqrt {x}}. }

Piemērs: 4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{{\frac {1}{2}}}={\sqrt {4}}}=2}

Vispārīgāk, ja eksponents ir 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}}, tad rezultāts ir n-tā sakne:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}}

Ja eksponents ir racionāls skaitlis p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}}}, tad:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

Svarīgs brīdinājums par definīcijas jomu: frakcionālus eksponentus ar pāra saucēju (piem., 1/2, 1/4) parasti definē tikai nenegatīvām reālām bāzēm, jo patiesā kvadrātsakne no negatīva skaitļa nav reāls skaitlis. Ja jāstrādā ar negatīvām bāzēm un frakcionāliem eksponentiem, bieži pāriet uz kompleksajiem skaitļiem.

Iracionāli eksponenti

Ja eksponents ir iracionāls (piem., √2 vai π), potenci var definēt kā robežu no potenciāla racionālu eksponentu virknēm. Ja x ir reāls skaitlis un {x_n} ir racionālu skaitļu virkne, kuras robeža ir x, tad

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}}.

Pamatrules (identitātes) eksponentiem

Šeit ir galvenās formulas, kas palīdz rēķināt potenci:

• ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}}
• ( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
• a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}}
• a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
• a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}},\quad a\neq 0}
• ( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}}
• a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} — parasti spēkā, ja a ≠ 0; 0^0 tiek uzskatīts par nedefinētu vai nenoteiktu izteiksmi atkarībā no konteksta.

Daži papildu praktiski piemēri lietošanai:

• a^{2}⋅a^{3}=a^{5} (saskaitām eksponentus, ja bāze ir tā pati).
• (2⋅3)^{4}=2^{4}⋅3^{4} (izklāšana pa faktoriem).
• (a^{2})^{3}=a^{6} (reizina eksponentus).

Potencēšana matricām un eksponentu vispārinājumi

Eksponentēšanu var definēt arī matricēm; parasti tā attiecas uz kvadrātveida matricām. Veselos eksponentus matricām definē kā atkārtotu matricas reizināšanu, piemēram, identitātes matricas I gadījumā:

I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}.

Matricu eksponentuvisārdzinājumi ietver arī matricas eksponentu e^{A}, kas definēts ar ievērojamo spēkā virknē (Taylor sērijā) un lietojams reālām vai kompleksām matricām. Matricas potenci aprēķināšanā jāievēro, ka matricas reizināšana nav komutatīva, tāpēc dažas būtiskas formulas no skaitļu potenci nevar tieši pārnest uz matricām, ja nav komutācijas nosacījumu.

Piezīmes un papildu norādījumi

- Potencēšanas definīcija un formulas var atšķirties atkarībā no tā, vai strādā ar reāliem vai kompleksiem skaitļiem. Ja strādā ar reāliem skaitļiem, jāpievērš uzmanība definīcijas jomai (piem., saknes no negatīviem skaitļiem nav reālas).
- Simbols ^ un ** ir praktisks datoru programmēšanā; matemātiskā tekstā priekšroka parasti tiek dota augšējiem indeksiem.
- 0^0 ir īpašs gadījums: algebriskos kontekstos tas bieži tiek atstāts nedefinēts, bet dažos kombinatorikas vai analīzes kontekstos to dažkārt definē kā 1, tāpēc jāskatās uz konkrēto pielietojumu.

Šīs pamatzināšanas par potenci ir pamats daudzām matemātikas jomām — algebrā, analīzē, skaitļu teorijā, fizikā un inženierzinātnēs. Papildus piemēriem un sarežģītākiem pielietojumiem var palīdzēt nostiprināt izpratni par eksponentiem un to likumiem.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir eksponentizācija?

J: Kā raksta eksponenciāciju?

J: Kādi ir daži eksponentizācijas piemēri?

J: Ko nozīmē, ja eksponents ir vienāds ar -1?

J: Kā aprēķināt bāzes iracionālo lielumu?

Vai ir kādi noteikumi, kas atvieglo eksponentu aprēķināšanu?

Meklēt pēc burta