Kāpināšana

Eksponentizācija (jauda) ir aritmētiska darbība ar skaitļiem. Tā ir atkārtota reizināšana, tāpat kā reizināšana ir atkārtota saskaitīšana. Eksponenciāciju raksta ar augšējo indeksu. Tas izskatās šādi: x y {\displaystyle x^{y}}. {\displaystyle x^{y}}. Agrāk ir izmantotas arī citas matemātiskās rakstības metodes. Rakstot ar iekārtām, kurās nevar izmantot augšējo indeksu, cilvēki raksta lielumus, izmantojot ^ vai ** zīmes, tāpēc 2^3 vai 2**3 nozīmē 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. {\displaystyle 2^{3}}.

Skaitli x {\displaystyle x}x sauc par bāzi, bet skaitli y {\displaystyle y}y sauc par eksponentu. Piemēram, 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. {\displaystyle 2^{3}}, 2 ir bāze un 3 ir eksponents.

Lai aprēķinātu 2 3 {\displaystyle 2^{3}}{\displaystyle 2^{3}}, skaitlis 2 trīs reizes jāreizina ar sevi. Tātad 2 3 = 2 2 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}{\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} . Rezultāts ir 2 2 2 = 8 {displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8}{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} . Vienādojumu var nolasīt skaļi šādi: 2, kas palielināts līdz 3 varai, ir 8.

Piemēri:

  • 5 3 = 5 5 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • x 2 = x x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • 1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1}{\displaystyle 1^{x}=1} katram skaitlim x

Ja eksponents ir vienāds ar 2, tad šo lielumu sauc par kvadrātu, jo kvadrāta laukumu aprēķina, izmantojot 2 {\displaystyle a^{2}}. {\displaystyle a^{2}}. Tātad

x 2 {\displaystyle x^{2}}{\displaystyle x^{2}} ir x kvadrāts {\displaystyle x} x

Ja eksponents ir vienāds ar 3, tad šo lielumu sauc par kubu, jo kuba tilpumu aprēķina, izmantojot 3 {\displaystyle a^{3}}. {\displaystyle a^{3}}. Tātad

x 3 {\displaystyle x^{3}}{\displaystyle x^{3}} ir x kubs {\displaystyle x} x

Ja eksponents ir vienāds ar -1, tad personai jāaprēķina bāzes apgrieztais lielums. Tātad

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}} {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

Ja eksponents ir vesels skaitlis un ir mazāks par 0, tad cilvēkam šis skaitlis ir jāpārvērš un jāaprēķina lielums. Piemēram:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}}} {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

Ja eksponents ir vienāds ar 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}, tad eksponentizācijas rezultāts ir bāzes kvadrātsakne. Tātad x 1 2 = x . {\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}}={\sqrt {x}}. } {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}Piemērs:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{{\frac {1}{2}}}={\sqrt {4}}}=2} {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

Līdzīgi, ja eksponents ir 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}}{\displaystyle {\frac {1}{n}}}, rezultāts ir n-tā sakne, tātad:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}} {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

Ja eksponents ir racionāls skaitlis p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}}} {\displaystyle {\frac {p}{q}}}, tad rezultāts ir bāzes q-ā sakne, kas pacelta līdz p lielumam, tātad:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

Eksponents var pat nebūt racionāls. Lai paaugstinātu bāzi a līdz iracionālajam x-ajam lielumam, mēs izmantojam bezgalīgu racionālo skaitļu virkni (xi), kuras robeža ir x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

līdzīgi:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}}. {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

Ir daži noteikumi, kas palīdz aprēķināt jaudas:

  • ( a b ) n = a n b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}} {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • ( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • a r a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}},\quad a\neq 0} {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • ( a r ) s = a r s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}} {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} {\displaystyle a^{0}=1}

Ir iespējams aprēķināt matricu eksponenciāciju. Matricai jābūt kvadrātveida. Piemēram: I 2 = I I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .

Saistītās lapas

  • Eksponents

Komutativitāte

Gan saskaitīšana, gan reizināšana ir komutatīva. Piemēram, 2+3 ir tas pats, kas 3+2; un 2 - 3 ir tas pats, kas 3 - 2. Lai gan reizināšana ir atkārtota reizināšana, tā nav komutatīva. Piemēram, 2³=8, bet 3²=9.

Atgriezeniskās operācijas

Saskaitījumam ir viena apgriezta darbība - atņemšana. Arī reizināšanai ir viena apgriezta darbība - dalīšana.

Taču eksponentizācijai ir divas apgrieztās darbības: Sakne un logaritms. Tas ir tāpēc, ka eksponentizācija nav komutatīva. To var redzēt šajā piemērā:

  • Ja x+2=3, tad ar atņemšanas palīdzību var noskaidrot, ka x=3-2. Tas pats ir, ja jums ir 2+x=3: arī jūs saņemsiet x=3-2. Tas ir tāpēc, ka x+2 ir tas pats, kas 2+x.
  • Ja x - 2=3, tad ar dalīšanas palīdzību var iegūt, ka x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. {\textstyle {\frac {3}{2}}}. Tas pats ir, ja ir 2 - x=3: jūs arī saņemsiet x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. {\textstyle {\frac {3}{2}}}. Tas ir tāpēc, ka x - 2 ir tas pats, kas 2 - x
  • Ja ir x²=3, tad, lai noskaidrotu x, izmantojiet (kvadrātsakni): Iegūsiet rezultātu x = 3 2 {\teksta stils {\sqrt[{2}]{3}}}. {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}. Tomēr, ja 2x=3, tad nevar izmantot sakni, lai noskaidrotu x. Drīzāk, lai noskaidrotu x, ir jāizmanto (binārais) logaritms: Rezultāts ir x=log2(3).

AlegsaOnline.com - 2020 / 2022 - License CC3