Kāpināšana

Eksponentizācija (jauda) ir aritmētiska darbība ar skaitļiem. Tā ir atkārtota reizināšana, tāpat kā reizināšana ir atkārtota saskaitīšana. Eksponenciāciju raksta ar augšējo indeksu. Tas izskatās šādi: x y {\displaystyle x^{y}}. $x^{y}$ . Agrāk ir izmantotas arī citas matemātiskās rakstības metodes. Rakstot ar iekārtām, kurās nevar izmantot augšējo indeksu, cilvēki raksta lielumus, izmantojot ^ vai ** zīmes, tāpēc 2^3 vai 2**3 nozīmē 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. $2^{3}$ .

Skaitli x {\displaystyle x} sauc par bāzi, bet skaitli y {\displaystyle y} sauc par eksponentu. Piemēram, 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. $2^{3}$ , 2 ir bāze un 3 ir eksponents.

Lai aprēķinātu 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ , skaitlis 2 trīs reizes jāreizina ar sevi. Tātad 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Rezultāts ir 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Vienādojumu var nolasīt skaļi šādi: 2, kas palielināts līdz 3 varai, ir 8.

Piemēri:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ katram skaitlim x

Ja eksponents ir vienāds ar 2, tad šo lielumu sauc par kvadrātu, jo kvadrāta laukumu aprēķina, izmantojot 2 {\displaystyle a^{2}}. $a^{2}$ . Tātad

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ ir x kvadrāts {\displaystyle x}

Ja eksponents ir vienāds ar 3, tad šo lielumu sauc par kubu, jo kuba tilpumu aprēķina, izmantojot 3 {\displaystyle a^{3}}. $a^{3}$ . Tātad

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ ir x kubs {\displaystyle x}

Ja eksponents ir vienāds ar -1, tad personai jāaprēķina bāzes apgrieztais lielums. Tātad

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Ja eksponents ir vesels skaitlis un ir mazāks par 0, tad cilvēkam šis skaitlis ir jāpārvērš un jāaprēķina lielums. Piemēram:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Ja eksponents ir vienāds ar 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ , tad eksponentizācijas rezultāts ir bāzes kvadrātsakne. Tātad x 1 2 = x . {\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Piemērs:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{{\frac {1}{2}}}={\sqrt {4}}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Līdzīgi, ja eksponents ir 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ , rezultāts ir n-tā sakne, tātad:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Ja eksponents ir racionāls skaitlis p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}}} ${\frac {p}{q}}$ , tad rezultāts ir bāzes q-ā sakne, kas pacelta līdz p lielumam, tātad:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Eksponents var pat nebūt racionāls. Lai paaugstinātu bāzi a līdz iracionālajam x-ajam lielumam, mēs izmantojam bezgalīgu racionālo skaitļu virkni (xi), kuras robeža ir x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

līdzīgi:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}}. $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Ir daži noteikumi, kas palīdz aprēķināt jaudas:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Ir iespējams aprēķināt matricu eksponenciāciju. Matricai jābūt kvadrātveida. Piemēram: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Komutativitāte

Gan saskaitīšana, gan reizināšana ir komutatīva. Piemēram, 2+3 ir tas pats, kas 3+2; un 2 - 3 ir tas pats, kas 3 - 2. Lai gan reizināšana ir atkārtota reizināšana, tā nav komutatīva. Piemēram, 2³=8, bet 3²=9.

Atgriezeniskās operācijas

Saskaitījumam ir viena apgriezta darbība - atņemšana. Arī reizināšanai ir viena apgriezta darbība - dalīšana.

Taču eksponentizācijai ir divas apgrieztās darbības: Sakne un logaritms. Tas ir tāpēc, ka eksponentizācija nav komutatīva. To var redzēt šajā piemērā:

Ja x+2=3, tad ar atņemšanas palīdzību var noskaidrot, ka x=3-2. Tas pats ir, ja jums ir 2+x=3: arī jūs saņemsiet x=3-2. Tas ir tāpēc, ka x+2 ir tas pats, kas 2+x.
Ja x - 2=3, tad ar dalīšanas palīdzību var iegūt, ka x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Tas pats ir, ja ir 2 - x=3: jūs arī saņemsiet x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Tas ir tāpēc, ka x - 2 ir tas pats, kas 2 - x
Ja ir x²=3, tad, lai noskaidrotu x, izmantojiet (kvadrātsakni): Iegūsiet rezultātu x = 3 2 {\teksta stils {\sqrt[{2}]{3}}}. ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Tomēr, ja ^2x=3, tad nevar izmantot sakni, lai noskaidrotu x. Drīzāk, lai noskaidrotu x, ir jāizmanto (binārais) logaritms: Rezultāts ir x=log2(3).

Saistītās lapas

Eksponents

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir eksponentizācija?

A: Eksponentiācija ir aritmētiska darbība ar skaitļiem, ko var uzskatīt par atkārtotu reizināšanu.

J: Kā raksta eksponenciāciju?

A: Eksponentiāciju parasti raksta kā x^y, kur x ir bāze un y ir eksponents. To var rakstīt arī ar ^ vai ** zīmi, piemēram, 2^4 vai 2**4.

J: Kādi ir daži eksponentizācijas piemēri?

A: Eksplikācijas piemēri ir 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 katram skaitlim x; un 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

J: Ko nozīmē, ja eksponents ir vienāds ar -1?

A: Ja eksponents ir vienāds ar -1, tad reizinātājs ir vienkārši bāzes pretējs lielums (x^(-1) = 1/x).

J: Kā aprēķināt bāzes iracionālo lielumu?

A: Lai paaugstinātu bāzi a līdz iracionālajam x-ajam lielumam, mēs izmantojam bezgalīgu racionālo skaitļu virkni (xn), kuras robeža ir x (a^x = lim n->bezgalība a^(x_n)).

Vai ir kādi noteikumi, kas atvieglo eksponentu aprēķināšanu?

A: Jā, ir vairāki noteikumi, kas atvieglo eksponentu aprēķināšanu. Starp tiem ir (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s = a ^ (r + s); un tā tālāk.