N‑tā sakne (radikāls): definīcija, īpašības un piemēri

N‑tā sakne (radikāls) — skaidra definīcija, īpašības un dzīves piemēri. Uzzini kvadrātsaknes, kubiskās saknes, likumus un aprēķinu paņēmienus soli pa solim.

Skaitļa r n-tā sakne ir skaitlis, kuru n reižu reizinot ar sevi pašu, iegūst r. To sauc arī par radikālu vai radikālu izteiksmi. Varētu teikt, ka tas ir skaitlis k, kuram šis vienādojums ir patiess:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r}

To parasti pieraksta ar radikāļa simbolu:

(lai uzzinātu k n {\displaystyle k^{n}} nozīmi, izlasiet eksponenti.)

Mēs to rakstām šādi: r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}. . Ja n ir 2, tad radikāļa izteiksme ir kvadrātsakne. Ja tas ir 3, tad tā ir kubiskā sakne.

Galvenās definīcijas un izpratne

Radikands ir skaitlis zem radikāļa zīmes (piemērā tā vietā rakstīts r). Indekss (vai saknes kārtas skaitlis) ir tas, kas parādīts pie radikāļa (piemērā — n). Parasti pati radikāļa zīme (rūtiņas forma ar ķepiņu) tiek saukta par radikāļa simbolu.

Principālā (pozitīvā) sakne: ja runa ir par patiesu kvadrātsakni (n = 2), tad ar izteiksmi sqrt(r) parasti domā nenegatīvo sakni, t.i., principālo sakni. Piemēram, sqrt(9) = 3, nevis −3. Kubiskām un citām aritmētiski nepāra (odd) kārtām saknes ir viennozīmīgas reālajiem skaitļiem, ja r ir negatīvs — tad sakne ir negatīva, jo reizē trīs reižu reizinot iegūsim negatīvu rezultātu.

Reālas saknes — kad tās eksistē

• Ja n ir nepāra skaitlis, tad jebkuram reālam r pastāv tieša reāla n‑tā sakne; negatīvas saknes dod negatīvu rezultātu (piemēram, kubikasakne no −8 ir −2).
• Ja n ir pāra skaitlis (piem., 2, 4, 6,...), tad reāla n‑tā sakne eksistē tikai tad, ja r ≥ 0. Negatīvas radikandas rezultātā nav reālas kvadrātsaknes (var būt kompleksas saknes).
• Radikands 0 vienmēr dod sakni 0 (piemēram, sqrt[5](0) = 0).

Piemēri

Piemēram, 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}}=2}, jo 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}} . Šajā piemērā 8 sauc par radicandu, 3 sauc par indeksu, un rūtiņas formas daļu sauc par radikāļa simbolu.

Vēl piemēri:

• sqrt(16) = 4 (kvadrātsakne no 16),
• sqrt[4](16) = 2 (4‑tā sakne no 16),
• kubikasakne no −27 ir −3, jo (−3)3 = −27.
• sqrt(−4) nav reāls skaitlis (tas dodimagināro jēdzienu: 2i), bet kubikasakne no −8 ir −2.

Radikāļu un eksponentu saistība

Saknes un jaudas var mainīt, kā parādīts x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{{\frac {1}{b}}}} .

Tas nozīmē, ka n‑tā sakne no x^a var tikt izteikta kā reizinājums eksponentu veidā: (x^(a))^(1/b) = x^(a/b). Tas ļauj pārvērst radikālus par racionāliem eksponentiem un otrādi — ērti, strādājot ar vienādojumiem un vienādojumu risināšanu.

Galvenās operāciju īpašības

• Reizināšanas īpašība: a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}. Šī īpašība darbojas, ja abi izteiksmes, no kurām taisa sakni, ir nenegatīvas (reālā gadījumā).
• Dalīšanas īpašība: a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}}={{\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} . Attiecīgi darbojas, ja saucējs nav nulle un abi izteiksmes ir atbilstošā domēnā.
• Pakāpes īpašība: n‑tā sakne no a^m ir a^m/n, kas nozīmē, ka sakni var izteikt kā racionālu eksponentu.
• Sakarības ar zīmēm: ja n ir pāra, tad tiek pieņemta nenegatīvā (principālā) sakne; ja n ir nepāra, sakne saglabā zīmi no radikanda.

Kā vienkāršot radikālus — pa soļiem

• Atrast pilnos pārus (kvadrātus), tripletas (kubus u.c.) radicandā. Piemēram, sqrt(50) = sqrt(25·2) = 5·sqrt(2).
• Ja radikanda un indeksa attiecība ļauj, izmantot racionālo eksponentu: sqrt[4](x^3) = x^(3/4).
• Ja iespējams, racionalizēt saucēju, ja zem radikāļa ir dalīšanas izteiksme ar radikāļa daļu saucējā (piem., 1/√2 → (√2)/2).

Risināšana ar radikālām izteiksmēm un vienādojumi

Lai atrisinātu vienādojumu, kurā iesaistītas n‑tās saknes, bieži izmanto pakāpes celšanu, piemēram, ja k = √[n]{r}, tad pacelšana līdz n. pakāpē dod kⁿ = r. Risinot vienādojumu, jāpievērš uzmanība zīmēm un domēnam (vai risinājumi ir reāli vai kompleksie) — īpaši, ja n ir pāra skaitlis un radikandā var parādīties negatīvi izteiksmes).

Papildu piemēri un lietojums

• Vienkāršs piemērs: atrast x, ja x^2 = 25 → x = ±5, bet √25 = 5 (principālā sakne).
• Sarežģītāks: atrisināt √(x+1) = 3 → pacelt kvadrātā: x+1 = 9 → x = 8 (pārbaudiet, vai iegūtais x dod derīgu radikandu).
• Algebriskā vienkāršošana: √[3](x^3 y^6) = x y^2, ja x ≥ 0 (par zīmēm jādomā atsevišķi, ja x negatīvs un kārta pāra/nepāra).

Kopsavilkums

Radikāls (n‑tā sakne) ir pamatjēdziens algebrā, kas saistīts ar eksponentiem un bieži vien izmantojams vienādojumu risināšanā, vienkāršošanā un transformācijās uz racionāliem eksponentiem. Svarīgākais — zināt, kad eksistē reālas saknes (atkarībā no indeksa paritātes) un kā pareizi pārvaldīt zīmes un principālo sakni.

Jautājumi un atbildes

Jautājums: Kas ir n-tā sakne?

J: Kā raksta n-to sakni?

J: Kādi ir daži sakņu piemēri?

J: Ko nosaka radikāliskas izteiksmes reizinājuma īpašība?

J: Ko nosaka radikāliskas izteiksmes koeficienta īpašība?

J: Kādus citus terminus var izmantot, lai apzīmētu n-to sakni?

Meklēt pēc burta