Kvadrātskaitlis — definīcija, piemēri un īpašības

Kvadrātskaitlis, ko dažkārt sauc arī par ideālo kvadrātu, ir vesels skaitlis, kas reizināts ar sevi pašu. 1, 4, 9, 16 un 25 ir pirmie pieci kvadrātskaitļi. Formulā skaitļa n kvadrāts tiek apzīmēts ar $n 2$ (eksponentizācija), parasti to izrunā kā "n kvadrāts". Kvadrātskaitļa nosaukums cēlies no formas nosaukuma; sk. tālāk.

Kvadrātveida skaitļi nav negatīvi. Cits veids, kā pateikt, ka (nenegatīvs) skaitlis ir kvadrātskaitlis, ir tāds, ka tā kvadrātsakne atkal ir vesels skaitlis. Piemēram, √9 = 3, tātad 9 ir kvadrātskaitlis.

Papildpiemēri

Daži papildus kvadrātskaitļu piemēri: 0 (jo 0 = 0·0), 36 (6²), 49 (7²), 64 (8²), 81 (9²), 100 (10²).
Secība sākot no 0: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Galvenās īpašības

Neatkarība no zīmes: kvadrātskaitļi pēc definīcijas ir nenegatīvi (0 vai pozitīvi).
Pāra/nejaušība: ja n ir pāra, tad n² ir pāra; ja n ir nepaara, tad n² ir nepaara.
Atšķirība starp blakus kvadrātiem: (n+1)² − n² = 2n + 1 — tātad secīgo kvadrātu starpības ir pakāpeniski augoši nepāra skaitļi.
Summa no pirmajiem n nepāra skaitļiem: 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n². Tas dod vienu ģeometrisku interpretāciju kvadrāta veidošanai no nepāra vienībām.
Faktorizācijas tests: vesels skaitlis ir kvadrātskaitlis tad un tikai tad, ja tā pirmreizinātāja faktoru (prime factor) eksponenti ir visi pāra skaitļi. Piemēram, 36 = 2²·3², visi eksponenti ir pāri → kvadrāts (6²).
Dalītāju skaits: kvadrātskaitlim bagātināts dalītāju skaits: pilnīgs kvadrāts vienmēr ir loģiski saistīts ar nepāra dalītāju skaita īpašību (vesela skaitļa dalītāju skaits ir nepāra tieši tad, ja tas ir kvadrātskaitlis).
Beigu cipari (dekametriskā sistēmā): veseli kvadrāti nevar beigties ar cipariem 2, 3, 7 vai 8; iespējami beigu cipari ir 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Modulo īpašības: kvadrātskaitļa atlikums dalot ar 4 var būt tikai 0 vai 1; ar 3 — 0 vai 1; ar 8 — 0, 1 vai 4. Šīs īpašības tiek plaši izmantotas, pārbaudot iespējamību, vai vienādojumam ir risinājumi moduļu līmenī.

Kā noteikt, vai skaitlis ir kvadrātskaitlis

Vienkāršs praktisks tests: aprēķini k = floor(√m) vai aplēsi veselo daļu no kvadrātsaknes un pārbaudi, vai k·k = m. Ja jā — m ir kvadrātskaitlis.
Prime-faktorizācija: pārbaudi, vai visiem pirmreizinātāja eksponentiem ir pāra vērtības.
Ātrs modulu tests: ja m modulo 4, 3 vai 8 dod vērtību, kas neatbilst iespējamiem kvadrātresiduu, tad m noteikti nav kvadrāts.

Praktiska nozīme un pielietojumi

Ģeometrijā kvadrātskaitlis attēlo laukumu kvadrātam ar veselu malu garumu (piem., kvadrāta laukums = n², ja mala = n).
Algebrā kvadrātskaitļi parādās, veidojot kvadrātais vienādojums vai izmantojot metodi "pabeigt kvadrātu".
Skaitļu teorijā kvadrātskaitļi ir nozīmīgi Diofanta vienādojumu, Pītagora trijnieku un kvadrātiskās reziduālu pētījumos.

Īsi kopsavilkumi

Kvadrātskaitlis = vesels skaitlis, kas ir kāda vesela skaitļa kvadrāts (n²).
Var pārbaudīt ar kvadrātsakni vai prime-faktorizāciju.
Rada daudz noderīgu īpašību un tiek plaši izmantots matemātikā un praktikā.

Piemēri

Kvadrāti (A000290 secība OEIS), kas ir mazāki par 70² , ir šādi:

0² =0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

Ir bezgalīgi daudz kvadrātskaitļu, tāpat kā bezgalīgi daudz naturālo skaitļu.

Īpašības

Skaitlis m ir kvadrātskaitlis tad un tikai tad, ja no m vienādiem (mazākiem) kvadrātiem var salikt kvadrātu:

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5² = 25
Piezīme: baltās atstarpes starp laukumiem kalpo tikai vizuālās uztveres uzlabošanai. Starp faktiskajiem laukumiem nedrīkst būt atstarpju.

Kvadrāta ar n garu malu laukums ir $n 2$ .

Izteiksme ntajam kvadrātskaitlim ir n² . Tas ir vienāds arī ar pirmo n nepāra skaitļu summu, kā redzams iepriekš redzamajos attēlos, kur kvadrāts rodas no iepriekšējā kvadrāta, pievienojot nepāra punktu skaitu (attēlots purpursarkani). Formula ir šāda:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

$Piemēram, 5 2 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.$

Kvadrātveida skaitlis var beigties tikai ar cipariem 0, 1, 4, 6, 9 vai 25 10 bāzē, kā norādīts tālāk:

Ja skaitļa pēdējais cipars ir 0, tā kvadrāts beidzas ar pāra skaitli 0 (t. i., vismaz 00), un cipariem, kas atrodas pirms nullēm, arī jāveido kvadrāts.
Ja skaitļa pēdējais cipars ir 1 vai 9, tā kvadrāts beidzas ar 1, un skaitlim, ko veido iepriekšējie cipari, jābūt dalāmam ar četri.
Ja skaitļa pēdējais cipars ir 2 vai 8, tā kvadrāts beidzas ar 4, un iepriekšējam ciparam jābūt pāra skaitlim.
Ja skaitļa pēdējais cipars ir 3 vai 7, tā kvadrāts beidzas ar 9, un skaitlim, ko veido iepriekšējie cipari, jābūt dalāmam ar četri.
Ja skaitļa pēdējais cipars ir 4 vai 6, tā kvadrāts beidzas ar 6, un iepriekšējam ciparam jābūt nepāra skaitlim.
Ja skaitļa pēdējais cipars ir 5, tā kvadrāts beidzas ar 25, un iepriekšējiem cipariem jābūt 0, 2, 06 vai 56.

Kvadrātskaitlis nevar būt ideāls skaitlis.

Visas ceturtās pakāpes, sestās pakāpes, astotās pakāpes utt. ir ideāli kvadrāti.

Īpašie gadījumi

Ja skaitlis ir formā m5, kur m apzīmē iepriekšējos ciparus, tā kvadrāts ir n25, kur $n = m \times (m + 1)$ un apzīmē ciparus pirms 25. Piemēram, 65 kvadrātu var aprēķināt pēc $n = 6 \times (6 + 1) = 42,$ kas kvadrātu padara vienādu ar 4225.
Ja skaitlis ir formā m0, kur m apzīmē iepriekšējos ciparus, tā kvadrāts ir n00, kur $n = m 2$ . Piemēram, 70 kvadrāts ir 4900.
Ja skaitlim ir divi cipari un tas ir formā 5m, kur m ir vienības cipars, tā kvadrāts ir AABB, kur $AA = 25 + m$ un $BB = m 2$ . Piemērs: Lai aprēķinātu 57 kvadrātu, 25 + 7 = 32 un 7² = 49, kas nozīmē 57² = 3249.

Nepāra un pāra kvadrātskaitļi

Pāra skaitļu kvadrāti ir pāra skaitļi (un faktiski dalās ar 4), jo $(2n) 2 = 4n 2$ .

Nepāra skaitļu kvadrāti ir nepāra skaitļi, jo $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1.$

No tā izriet, ka pāra kvadrātskaitļu kvadrātsaknes ir pāra, bet nepāra kvadrātskaitļu kvadrātsaknes ir nepāra.

Tā kā visi pāra skaitļi ir dalāmi ar 4, pāra skaitļi formā $4n + 2$ nav kvadrātskaitļi.

Tā kā visi nepāra kvadrātskaitļi ir formā $4n + 1,$ tad nepāra skaitļi formā $4n + 3$ nav kvadrātskaitļi.

Nepāra skaitļu kvadrāti ir formā $8n + 1,$ jo $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1$ un $n (n + 1)$ ir pāra skaitlis.