Kvadrātskaitlis, ko dažkārt sauc arī par ideālo kvadrātu, ir vesels skaitlis, kas reizināts ar sevi pašu. 1, 4, 9, 16 un 25 ir pirmie pieci kvadrātskaitļi. Formulā skaitļa n kvadrāts tiek apzīmēts ar n2 (eksponentizācija), parasti to izrunā kā "n kvadrāts". Kvadrātskaitļa nosaukums cēlies no formas nosaukuma; sk. tālāk.

Kvadrātveida skaitļi nav negatīvi. Cits veids, kā pateikt, ka (nenegatīvs) skaitlis ir kvadrātskaitlis, ir tāds, ka tā kvadrātsakne atkal ir vesels skaitlis. Piemēram, √9 = 3, tātad 9 ir kvadrātskaitlis.

Papildpiemēri

  • Daži papildus kvadrātskaitļu piemēri: 0 (jo 0 = 0·0), 36 (6²), 49 (7²), 64 (8²), 81 (9²), 100 (10²).
  • Secība sākot no 0: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Galvenās īpašības

  • Neatkarība no zīmes: kvadrātskaitļi pēc definīcijas ir nenegatīvi (0 vai pozitīvi).
  • Pāra/nejaušība: ja n ir pāra, tad n² ir pāra; ja n ir nepaara, tad n² ir nepaara.
  • Atšķirība starp blakus kvadrātiem: (n+1)² − n² = 2n + 1 — tātad secīgo kvadrātu starpības ir pakāpeniski augoši nepāra skaitļi.
  • Summa no pirmajiem n nepāra skaitļiem: 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n². Tas dod vienu ģeometrisku interpretāciju kvadrāta veidošanai no nepāra vienībām.
  • Faktorizācijas tests: vesels skaitlis ir kvadrātskaitlis tad un tikai tad, ja tā pirmreizinātāja faktoru (prime factor) eksponenti ir visi pāra skaitļi. Piemēram, 36 = 2²·3², visi eksponenti ir pāri → kvadrāts (6²).
  • Dalītāju skaits: kvadrātskaitlim bagātināts dalītāju skaits: pilnīgs kvadrāts vienmēr ir loģiski saistīts ar nepāra dalītāju skaita īpašību (vesela skaitļa dalītāju skaits ir nepāra tieši tad, ja tas ir kvadrātskaitlis).
  • Beigu cipari (dekametriskā sistēmā): veseli kvadrāti nevar beigties ar cipariem 2, 3, 7 vai 8; iespējami beigu cipari ir 0, 1, 4, 5, 6, 9.
  • Modulo īpašības: kvadrātskaitļa atlikums dalot ar 4 var būt tikai 0 vai 1; ar 3 — 0 vai 1; ar 8 — 0, 1 vai 4. Šīs īpašības tiek plaši izmantotas, pārbaudot iespējamību, vai vienādojumam ir risinājumi moduļu līmenī.

Kā noteikt, vai skaitlis ir kvadrātskaitlis

  • Vienkāršs praktisks tests: aprēķini k = floor(√m) vai aplēsi veselo daļu no kvadrātsaknes un pārbaudi, vai k·k = m. Ja jā — m ir kvadrātskaitlis.
  • Prime-faktorizācija: pārbaudi, vai visiem pirmreizinātāja eksponentiem ir pāra vērtības.
  • Ātrs modulu tests: ja m modulo 4, 3 vai 8 dod vērtību, kas neatbilst iespējamiem kvadrātresiduu, tad m noteikti nav kvadrāts.

Praktiska nozīme un pielietojumi

  • Ģeometrijā kvadrātskaitlis attēlo laukumu kvadrātam ar veselu malu garumu (piem., kvadrāta laukums = n², ja mala = n).
  • Algebrā kvadrātskaitļi parādās, veidojot kvadrātais vienādojums vai izmantojot metodi "pabeigt kvadrātu".
  • Skaitļu teorijā kvadrātskaitļi ir nozīmīgi Diofanta vienādojumu, Pītagora trijnieku un kvadrātiskās reziduālu pētījumos.

Īsi kopsavilkumi

  • Kvadrātskaitlis = vesels skaitlis, kas ir kāda vesela skaitļa kvadrāts (n²).
  • Var pārbaudīt ar kvadrātsakni vai prime-faktorizāciju.
  • Rada daudz noderīgu īpašību un tiek plaši izmantots matemātikā un praktikā.