Logaritms — definīcija, veidi (parastie, naturālie) un piemēri

Logaritmus pirmo reizi sāka izmantot Indijā 2. gadsimtā pirms mūsu ēras. Mūsdienās pirmais logaritmus sāka lietot vācu matemātiķis Mihaels Štifels (ap 1487-1567). Viņš 1544. gadā pierakstīja šādus vienādojumus: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} un q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}}{q^{n}}}}=q^{m-n}}}. Tas ir logaritmu izpratnes pamats. Stifelam m {\displaystyle m} un n {\displaystyle n} bija jābūt veseliem skaitļiem. Džons Napjērs (1550-1617) nevēlējās šo ierobežojumu un vēlējās, lai eksponentiem tiktu noteikts diapazons.

Saskaņā ar Napjē, logaritmi izsaka attiecības: a {\displaystyle a} ir tāda pati attiecība pret b {\displaystyle b} , kā c {\displaystyle c} pret d {\displaystyle d} , ja to logaritmu starpība sakrīt. Matemātiski: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . Sākumā tika izmantota bāze e (lai gan šis skaitlis vēl nebija nosaukts). Henrijs Brigss ierosināja izmantot 10 kā bāzi logaritmiem, jo šādi logaritmi ir ļoti noderīgi astronomijā.

Logaritms norāda, kāds eksponents (vai lielums) ir nepieciešams, lai iegūtu noteiktu skaitli, tāpēc logaritmi ir apgrieztais (pretējais) eksponentam.

Tāpat kā eksponenciālajai funkcijai ir trīs daļas, arī logaritmam ir trīs daļas. Trīs logaritma daļas ir bāze, arguments un atbilde (saukta arī par jaudu).

Tā ir eksponenciāla funkcija:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ }

Šajā funkcijā bāze ir 2, arguments ir 3, bet atbilde ir 8.

Šai eksponenciālajai funkcijai ir apgriezeniskā funkcija - tās logaritms:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

Šajā logaritmā bāze ir 2, arguments ir 8, bet atbilde ir 3.

Saskaitījumam ir viena apgriezta darbība - atņemšana. Arī reizināšanai ir viena apgriezta darbība - dalīšana. Tāpēc var būt grūti saprast, kāpēc eksponentam patiesībā ir divas apgrieztās darbības: Kāpēc mums ir vajadzīgs logaritms, ja jau ir sakne? Tas ir tāpēc, ka eksponentizācija nav komutatīva.

To ilustrē šāds piemērs:

• Ja x+2=3, tad ar atņemšanas palīdzību var noskaidrot, ka x=3-2. Tas pats ir, ja jums ir 2+x=3: arī jūs saņemsiet x=3-2. Tas ir tāpēc, ka x+2 ir tas pats, kas 2+x.
• Ja x - 2=3, tad ar dalīšanas palīdzību var iegūt, ka x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Tas pats ir, ja ir 2 - x=3: jūs arī saņemsiet x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Tas ir tāpēc, ka x - 2 ir tas pats, kas 2 - x.
• Ja ir x²=3, tad, lai noskaidrotu x, izmantojiet (kvadrātsakni): Rezultāts ir x = 3 {\teksta stils {\sqrt {3}}}. Tomēr, ja ir 2^x =3, tad nevar izmantot sakni, lai noskaidrotu x. Drīzāk, lai noskaidrotu x, ir jāizmanto (binārais) logaritms: Rezultāts ir x=log₂(3).
  Tas ir tāpēc, ka 2 ^xparasti nav tas pats, kas x (piemēram, ²2 ⁵=32, bet 5²=25).

Logaritmi var atvieglot lielu skaitļu reizināšanu un dalīšanu, jo logaritmu saskaitīšana ir tas pats, kas reizināšana, un logaritmu atņemšana ir tas pats, kas dalīšana.

Pirms kalkulatori kļuva populāri un izplatīti, cilvēki reizināšanai un dalīšanai izmantoja logaritmu tabulas grāmatās. Tāda pati informācija logaritmu tabulā bija pieejama uz slīpraksta - instrumenta, uz kura bija uzrakstīti logaritmi.

• Dabā bieži sastopamas logaritmiskas spirāles. Kā piemēru var minēt jūras gliemeža čaulu vai saulespuķes sēklu izkārtojumu uz saulespuķes.
• Ķīmijā par pH sauc hidronija jonu (H₃ O⁺ , H forma ⁺ūdenī) aktivitātes 10 bāzes logaritma negatīvo lielumu. Neitrālā ūdenī hidronija jonu aktivitāte ir 10 ⁻⁷mol/l 25 °C temperatūrā, tātad pH ir 7. (Tas izriet no tā, ka līdzsvara konstante, hidronija jonu un hidroksiljonu koncentrācijas reizinājums, ūdens šķīdumos ir 10 ⁻¹⁴M.)².
• Pēc Rihtera skalas zemestrīču intensitāte tiek mērīta pēc 10 bāzu logaritmiskās skalas.
• Astronomijā šķietamais lielums mēra zvaigžņu spožumu logaritmiski, jo arī acs uz spožumu reaģē logaritmiski.
• Muzikālos intervālus mēra logaritmiski kā pustoņus. Intervāls starp divām notīm pustoņos ir frekvences koeficienta 2. bāzes ^1/12logaritms (vai līdzvērtīgi - 12 reizes 2. bāzes logaritms). Daļskaitlīgos pustoņus izmanto nevienmērīgām temperamenta pakāpēm. Īpaši, lai mērītu novirzes no vienādas temperācijas skalas, intervālus izsaka arī centos (vienādas temperācijas pustoņa simtdaļās). Intervāls starp divām notīm centos ir frekvences koeficienta 2. bāzes ^1/1200logaritms (vai 1200 reiz 2. bāzes logaritms). MIDI formātā notis tiek numurētas pustoņu skalā (logaritmiskā absolūtā nominālā augstuma skalā, kur vidējais C ir 60). Lai veiktu mikronoregulēšanu citās skaņošanas sistēmās, tiek definēta logaritmiskā skala, kas saderīgi aizpilda diapazonus starp vienādas temperētās skalas pustoņiem. Šī skala atbilst notiņu skaitļiem veseliem pustoņiem. (sk. mikronoregulējumu MIDI).

Logaritmus līdz 10 bāzei sauc par parastajiem logaritmiem. Tos parasti raksta bez bāzes. Piemēram:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ }

Tas nozīmē:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\ }

Logaritmus līdz bāzei e sauc par naturālajiem logaritmiem. Skaitlis e ir gandrīz 2,71828, un to sauc arī par Eulera konstanti matemātiķa Leonharda Eulera vārdā.

Dabiskie logaritmi var būt ar simboliem log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} vai ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,}.

Daži autori dod priekšroku dabisko logaritmu izmantošanai kā log ( x ) {\displaystyle \log(x)}, bet parasti to norāda priekšvārda lappusēs.

Logaritmiem ir daudzas īpašības. Piemēram:

Īpašības no logaritma definīcijas

Šī īpašība izriet tieši no logaritma definīcijas:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} Piemēram

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} un

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}}{\bigg )}=-1}}, jo 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}=2^{-1}}}. .

Skaitļa a
logaritms b bāzē ir tas pats, kas a logaritms, dalīts ar b logaritmu. Tas ir,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}}

Piemēram, lai a ir 6 un b ir 2. Izmantojot kalkulatorus, mēs varam parādīt, ka tas ir taisnība vai vismaz ļoti tuvu tai:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}}.

log 2 ( 6 ) ≈ 2,584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\aprox 2,584962}

2,584962 ≈ 0,778151 0,301029 ≈ 2,584970 {\displaystyle 2,584962\aprox {\frac {0,778151}{0,301029}}\aprox 2,584970}

Mūsu rezultātos bija neliela kļūda, taču tā radās skaitļu noapaļošanas dēļ.

Tā kā dabisko logaritmu ir grūti iztēloties, mēs atrodam, ka, izsakot to kā desmito bāzi:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0,434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}\approx {\frac {\log(x)}{0,434294}}}}}. Kur 0,434294 ir e logaritma aproksimācija.

Darbības ar logaritma argumentiem

Logaritmus, kas reizina to argumenta iekšienē, var mainīt šādi:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Piemēram,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1+1=3}

Tas pats attiecas uz dalīšanu, bet saskaitīšanas vietā ir atņemšana, jo tā ir apgriezta darbība reizināšanai:

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Logaritmu tabulas, slaidu likumi un vēsturiskie lietojumi

Pirms elektroniskajiem datoriem zinātnieki ikdienā izmantoja logaritmus. Logaritmi palīdzēja zinātniekiem un inženieriem daudzās jomās, piemēram, astronomijā.

Pirms datoru izmantošanas logaritmu tabula bija svarīgs rīks. 1617. gadā Henrijs Brigss iespieda pirmo logaritmu tabulu. Tas notika drīz pēc Napjē izgudrojuma. Vēlāk cilvēki izgatavoja tabulas ar lielāku apjomu un precizitāti. Šajās tabulās bija uzskaitītas log _b(x) un b^x vērtības jebkuram skaitlim x noteiktā diapazonā, ar noteiktu precizitāti, ar noteiktu b b bāzi (parasti b = 10). Piemēram, Brigsa pirmajā tabulā bija iekļauti visu veselu skaitļu kopējie logaritmi diapazonā no 1 līdz 1000 ar precizitāti 8 cipari. Tā kā funkcija f(x) = b ^xir log_b (x) apgrieztā funkcija, to sauc par antilogaritmu. Cilvēki izmantoja šīs tabulas, lai reizinātu un dalītu skaitļus. Piemēram, lietotājs tabulā meklēja logaritmu katram no diviem pozitīviem skaitļiem. Saskaitot tabulā norādītos skaitļus, tika iegūts reizinājuma logaritms. Pēc tam tabulas antilogaritma funkcija atrastu reizinājumu, pamatojoties uz tā logaritmu.

Manuālos aprēķinos, kuriem nepieciešama precizitāte, divu logaritmu meklēšanas, to summas vai starpības aprēķināšanas un antilogaritma meklēšanas gadījumā ir daudz ātrāk nekā reizināšanas veikšana iepriekšējiem veidiem.

Daudzās logaritmu tabulās logaritmi tiek doti, atsevišķi norādot x raksturlielumu un mantisu, t. i., log₁₀ (x) veselu skaitļu daļu un daļskaitļu daļu. 10 - x raksturlielums ir viens plus x raksturlielums, un to nozīmes ir vienādas. Tas paplašina logaritmu tabulu darbības jomu: ja ir tabula, kurā uzskaitīti log ₁₀(x) visiem veseliem skaitļiem x no 1 līdz 1000, tad 3542 logaritmu aproksimē šādi

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354,2 ) = 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354,2)=1+\log _{10}(354,2)\aprox 1+\log _{10}(354).\,}

Vēl viens ļoti svarīgs pielietojums bija bīdāmie lineāli - logaritmiski dalītu skalu pāris, ko izmantoja aprēķiniem, kā parādīts šajā attēlā:

Skaitļi ir atzīmēti uz slīdošās skalas attālumos, kas ir proporcionāli to logaritmu starpībai. Attiecīgi slīdot augšējo skalu, tas nozīmē mehāniski saskaitīt logaritmus. Piemēram, saskaitot attālumu no 1 līdz 2 uz apakšējās skalas ar attālumu no 1 līdz 3 uz augšējās skalas, iegūst reizinājumu 6, ko nolasa apakšējā daļā. Daudzi inženieri un zinātnieki izmantoja bīdāmos noteikumus līdz pat 20. gadsimta 70. gadiem. Zinātnieki var strādāt ātrāk, izmantojot bīdāmo lineālu, nekā izmantojot logaritmu tabulu.