e ir matemātiska konstante, aptuveni 2,71828182845904523536. Tai ir vairāki nosaukumi — Eilesera skaitlis (Šveices matemātiķa Leonharda Eilesera vārdā) vai Napjēra konstante (Skotijas matemātiķa Džona Napjēra vārdā). e ir tikpat fundamentāla kā π un imaginārais skaitlis i. Tā decimāldaļas nekad nebeidzas un neveido atkārtojošu virkni — tas nozīmē, ka e ir iracionāls skaitlis; turklāt e ir arī transcendents (pierādīts 19. gadsimtā). Ēlers pats norādīja e pirmos 23 ciparus.

Definīcija un skaitliskā vērtība

e var definēt vairākos ekvivalentos veidos:

  • Limitā: e = limn→∞ (1 + 1/n)n. Šis izteiksmes variants izriet no salikto procentu problēmas.
  • Sērijā: e = Σn=0∞ 1/n! (t.i., 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ...).
  • Integrālā: ln(e) = ∫1e (1/t) dt = 1, tātad e ir tāds skaitlis, kur naturālā logaritma vērtība ir 1.

Daži no pirmajiem decimālcipariem: 2,7182818284590452353602874713527…

Galvenās īpašības

  • Bāze dabiskajam logaritmam: ln(x) nozīmē logaritmu ar bāzi e; īpaši ln(e) = 1.
  • Eksponenciālās funkcijas īpašība: funkcija ex ir tās paša atvasinājums: (d/dx) ex = ex. Tas padara šo funkciju īpaši ērtu diferenciālvienādojumu risināšanai.
  • Integrālis: ∫ ex dx = ex + C.
  • Sastopamība formulās: e parādās daudzās matemātikas vietās — no kombinatorikas un skaitļu teorijas līdz kompleksajām funkcijām un statistikām sadalījumiem (piem., Poisson sadalījums, normālais sadalījums izmanto e izteiksmes formā).
  • Kompleksā analīze: izmantojot kompleksos skaitļus, rodas slavena Eilera identitāte: eiπ + 1 = 0, kas saista e, π un i.
  • Kontinūru turpinājums: pastāv regulāra ķēdes saīsinātā daļa (continued fraction) ar periodisku struktūru: e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1, …], kur vidējie locekļi ir 2n.

Vēsture un nosaukumi

Ideja, kas noved pie e, parādījās, pētot saliktos procentus. 17. gadsimtā šādas problēmas interesēja Jakobu Bernulli, kas noveda pie izteiksmes (1 + 1/n)n un tās ierobežojuma. Vēlāk 18. gadsimtā Leonhards Eilers plaši pētīja šo skaitli un tā īpašības, kā arī popularizēja simbolu e. Nosaukums Napjēra konstante atgādina arī Džonu Napjēru, kurš bija pirmais, kurš sistemātiski izmantoja logaritmus praktiskos aprēķinos.

Matemātiķi ir pierādījuši, ka e ir iracionāls (to var parādīt vairākos veidos) un vēlāk — transcendents; transcendences pierādījumu sniedza 19. gadsimtā izcili matemātiķi.

Lietojumi

  • Finanses: salikto procentu modeļi un nepārtraukta kapitalizācija izmanto limitu (1 + r/n)n → er.
  • Diferenciālvienādojumi: risinājumi eksponenciālām izaugsmes un samazināšanās problēmām (piem., populācijas modelēšana, radioaktīvā sukušanās) bieži izmanto ekx formas funkcijas.
  • Statistika un varbūtība: Poisson sadalījums, normālais sadalījums un citas formulas satur e izteiksmes, kas nodrošina slēgtas formas noteikšanu.
  • Kompleksā analīze un Fourier analīze: eix pārstāv rotāciju uz komplexās plaknes un ir pamatā trigonometrisko funkciju savienojumiem ar eksponenciālām funkcijām.

Kā izrēķināt e

Bieži izmantotās metodes skaitliskai aprēķināšanai:

  • Sērijas summēšana: Σ 1/n! konverģē ātri un dod precīzu vērtību ar salīdzinoši maz skaitļiem.
  • Limitmetode: (1 + 1/n)n, lai gan šī konverģence ir lēnāka nekā sērijas metode.
  • Padziļināta aproksimācija ar Taylor sēriju ap jebkuru punktu vai izmantojot sliktākus, bet speficiskus numeriskos algoritmus lielai precizitātei.

Eksponenciālajām funkcijām ir ļoti svarīgs skaitlis e. Piemēram, eksponenciālajai funkcijai, ko piemēro skaitlim viens, ir vērtība e. Eksponenciālajām funkcijām un e loma ir centrāla gan teorētiskajā matemātikā, gan praktiskajās pielietojuma jomās.

e 1683. gadā atklāja šveiciešu matemātiķis Jakobs Bernuili, pētot saliktos procentus; vēlāk Eilers un citi matemātiķi izstrādāja precīzākas definīcijas un pierādījumus par tā īpašībām.