Matemātiskā konstante e — definīcija, īpašības un vēsture
Matemātiskā konstante e — definīcija, īpašības un vēsture: uzzini par Eilera/Napjēra skaitli, tā lomu eksponenciālajās funkcijās un atklāšanas stāstu.
e ir matemātiska konstante, aptuveni 2,71828182845904523536. Tai ir vairāki nosaukumi — Eilesera skaitlis (Šveices matemātiķa Leonharda Eilesera vārdā) vai Napjēra konstante (Skotijas matemātiķa Džona Napjēra vārdā). e ir tikpat fundamentāla kā π un imaginārais skaitlis i. Tā decimāldaļas nekad nebeidzas un neveido atkārtojošu virkni — tas nozīmē, ka e ir iracionāls skaitlis; turklāt e ir arī transcendents (pierādīts 19. gadsimtā). Ēlers pats norādīja e pirmos 23 ciparus.
Definīcija un skaitliskā vērtība
e var definēt vairākos ekvivalentos veidos:
- Limitā: e = limn→∞ (1 + 1/n)n. Šis izteiksmes variants izriet no salikto procentu problēmas.
- Sērijā: e = Σn=0∞ 1/n! (t.i., 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ...).
- Integrālā: ln(e) = ∫1e (1/t) dt = 1, tātad e ir tāds skaitlis, kur naturālā logaritma vērtība ir 1.
Daži no pirmajiem decimālcipariem: 2,7182818284590452353602874713527…
Galvenās īpašības
- Bāze dabiskajam logaritmam: ln(x) nozīmē logaritmu ar bāzi e; īpaši ln(e) = 1.
- Eksponenciālās funkcijas īpašība: funkcija ex ir tās paša atvasinājums: (d/dx) ex = ex. Tas padara šo funkciju īpaši ērtu diferenciālvienādojumu risināšanai.
- Integrālis: ∫ ex dx = ex + C.
- Sastopamība formulās: e parādās daudzās matemātikas vietās — no kombinatorikas un skaitļu teorijas līdz kompleksajām funkcijām un statistikām sadalījumiem (piem., Poisson sadalījums, normālais sadalījums izmanto e izteiksmes formā).
- Kompleksā analīze: izmantojot kompleksos skaitļus, rodas slavena Eilera identitāte: eiπ + 1 = 0, kas saista e, π un i.
- Kontinūru turpinājums: pastāv regulāra ķēdes saīsinātā daļa (continued fraction) ar periodisku struktūru: e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1, …], kur vidējie locekļi ir 2n.
Vēsture un nosaukumi
Ideja, kas noved pie e, parādījās, pētot saliktos procentus. 17. gadsimtā šādas problēmas interesēja Jakobu Bernulli, kas noveda pie izteiksmes (1 + 1/n)n un tās ierobežojuma. Vēlāk 18. gadsimtā Leonhards Eilers plaši pētīja šo skaitli un tā īpašības, kā arī popularizēja simbolu e. Nosaukums Napjēra konstante atgādina arī Džonu Napjēru, kurš bija pirmais, kurš sistemātiski izmantoja logaritmus praktiskos aprēķinos.
Matemātiķi ir pierādījuši, ka e ir iracionāls (to var parādīt vairākos veidos) un vēlāk — transcendents; transcendences pierādījumu sniedza 19. gadsimtā izcili matemātiķi.
Lietojumi
- Finanses: salikto procentu modeļi un nepārtraukta kapitalizācija izmanto limitu (1 + r/n)n → er.
- Diferenciālvienādojumi: risinājumi eksponenciālām izaugsmes un samazināšanās problēmām (piem., populācijas modelēšana, radioaktīvā sukušanās) bieži izmanto ekx formas funkcijas.
- Statistika un varbūtība: Poisson sadalījums, normālais sadalījums un citas formulas satur e izteiksmes, kas nodrošina slēgtas formas noteikšanu.
- Kompleksā analīze un Fourier analīze: eix pārstāv rotāciju uz komplexās plaknes un ir pamatā trigonometrisko funkciju savienojumiem ar eksponenciālām funkcijām.
Kā izrēķināt e
Bieži izmantotās metodes skaitliskai aprēķināšanai:
- Sērijas summēšana: Σ 1/n! konverģē ātri un dod precīzu vērtību ar salīdzinoši maz skaitļiem.
- Limitmetode: (1 + 1/n)n, lai gan šī konverģence ir lēnāka nekā sērijas metode.
- Padziļināta aproksimācija ar Taylor sēriju ap jebkuru punktu vai izmantojot sliktākus, bet speficiskus numeriskos algoritmus lielai precizitātei.
Eksponenciālajām funkcijām ir ļoti svarīgs skaitlis e. Piemēram, eksponenciālajai funkcijai, ko piemēro skaitlim viens, ir vērtība e. Eksponenciālajām funkcijām un e loma ir centrāla gan teorētiskajā matemātikā, gan praktiskajās pielietojuma jomās.
e 1683. gadā atklāja šveiciešu matemātiķis Jakobs Bernuili, pētot saliktos procentus; vēlāk Eilers un citi matemātiķi izstrādāja precīzākas definīcijas un pierādījumus par tā īpašībām.
Maģiskie Heiroglifi
Ir daudz dažādu veidu, kā definēt e. Jēkabs Bernuili, kurš atklāja e, mēģināja atrisināt šo problēmu:
lim n → ∞ ( +1 n1 ) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{{\frac {1}{n}}}\right)^{n}. } 
Citiem vārdiem sakot, ir skaitlis, kuram izteiksmē ( + 1n1 ) n {\displaystyle \left(1+{{\frac {1}{n}}}\right)^{n}}}
tuvojas, jo n kļūst lielāks. Šis skaitlis ir e.
Cita definīcija ir atrast šādas formulas atrisinājumu:
2 + +22 + + 33+44 + + 556⋱ {\displaystyle 2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{{\dots \,}}}}}}}}}}} 
Zilā krāsā attēlotais laukums (zem vienādojuma y=1/x grafika), kas stiepjas no 1 līdz e, ir tieši 1.
Skaitļa e pirmās 200 vietas
Pirmie 200 cipari aiz decimāldaļas ir:
e = . 271828182845904523536028747135266249775724709369995 {\displaystyle e=2{.}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\; 77572\;47093\;69995} 
95749669676277240766303535475945713821785251664274 {\displaystyle \;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274} 
27466391932003059921817413596629043572900334295260 {\displaystyle \;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260} 
59563073813232862794349076323382988075319525101901 … {\displaystyle \;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots } 
.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir skaitlis e?
A: Skaits e ir matemātiska konstante, kas ir naturālā logaritma bāze un kuras vērtība ir aptuveni 2,71828.
J: Kas ir Eiēleris un kāpēc e dažkārt sauc par Eiēnera skaitli?
A: Ēlers bija šveiciešu matemātiķis, un e dažkārt dēvē par Ēlera skaitli viņa vārdā, jo viņš deva nozīmīgu ieguldījumu tā izpētē.
J: Kas ir Napjērs, un kāpēc e dažkārt sauc par Napjēra konstanti?
A: Napjērs bija skotu matemātiķis, kurš ieviesa logaritmus, un par godu viņam e dažkārt sauc par Napjēra konstanti.
Vai e ir svarīga matemātiska konstante?
A: Jā, e ir svarīga matemātiska konstante, kas ir tikpat svarīga kā π un i.
J: Kāds skaitlis ir e?
A: e ir iracionāls skaitlis, kuru nevar attēlot kā veselu skaitļu attiecību un kurš ir arī transcendentāls (nav neviena nenulles polinoma ar racionāliem koeficientiem sakne).
J: Kāpēc skaitlim e ir liela nozīme matemātikā?
A: Skaitlim e ir liela nozīme matemātikā, jo tam ir liela nozīme eksponentās funkcijās, un tas ir daļa no piecu svarīgu matemātisko konstanšu grupas, kas parādās vienā no Eilesera identitātes formulējumiem.
J: Kas un kad atklāja skaitli e?
A: Skaitli e 1683. gadā atklāja šveiciešu matemātiķis Jakobs Bernuili, pētot saliktos procentus.
Meklēt