Imaginārā vienība

Matemātikā iedomātās vienības jeb i ir skaitļi, kurus var attēlot ar vienādojumiem, bet kuri attiecas uz vērtībām, kas fiziski nevarētu eksistēt reālajā dzīvē. Imagināro vienību matemātiskā definīcija ir i = - 1 {\displaystyle i={{\sqrt {-1}}}}. $i={\sqrt {-1}}$ , kam piemīt īpašība i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Iemesls, kāpēc i tika izveidots, bija atbildēt uz polinoma vienādojumu, x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , kam parasti nav risinājuma, jo x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ vērtībai būtu jābūt vienādai ar -1. Lai gan uzdevums ir atrisināms, kvadrātsakni no -1 reālajā dzīvē nevarētu attēlot ar fizikālu lielumu nevienā objektā.

Kvadrātsakne no i

Dažkārt tiek uzskatīts, ka ir jārada vēl viens skaitlis, lai parādītu kvadrātsakni no i, taču tas nav nepieciešams. Kvadrātsakni no i var rakstīt šādi: i = ± 2 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
To var parādīt kā:

( ± 2 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 2 ) 2 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2}})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

i lielumi

i spēkiem ir paredzams modelis:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

To var parādīt ar šādu shēmu, kur n ir jebkurš vesels skaitlis:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Saistītās lapas

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir iedomātā vienība?

A: Iedomātā vienība ir skaitļa vērtība, kas pastāv tikai ārpus reālo skaitļu kopas un ko izmanto algebrā.

J: Kā mēs izmantojam iedomāto vienību?

A: Mēs reizinām iedomāto vienību ar reālo skaitli, lai iegūtu iedomāto skaitli.

J: Kādos nolūkos izmanto iedomātos skaitļus?

A: Imagināros skaitļus var izmantot daudzu matemātisku uzdevumu risināšanai.

J: Vai mēs varam attēlot iedomāto skaitli ar reāliem priekšmetiem?

A: Nē, iedomāto skaitli nevar attēlot ar reāliem priekšmetiem.

J: No kurienes nāk iedomātā vienība?

A.: Iedomātā vienība nāk no matemātikas un algebras.

Vai iedomātā vienība ir daļa no reālajiem skaitļiem?

A: Nē, tā pastāv ārpus reālo skaitļu sfēras.

J: Kā aprēķināt iedomāto skaitli? A: Iedomāto skaitli aprēķina, reizinot reālo skaitli ar iedomāto vienību.