Imaginārā vienība i: definīcija, īpašības un pielietojumi matemātikā

Matemātikā iedomātā vienība jeb i ir abstrakts skaitlis, kas paplašina reālo skaitļu kopu un ļauj atrisināt vienādojumus, kuriem reālos skaitļos nav risinājumu. Imaginārās vienības matemātiskā definīcija ir i = - 1 {\displaystyle i={{\sqrt {-1}}}}. $i={\sqrt {-1}}$ Tai piemīt īpašība i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ . Šādu paplašinājumu izmanto, lai definētu kompleksos skaitļus un strādātu ar kvadrātsaknēm no negatīviem skaitļiem.

Definīcija un pamatideja

Iemesls, kāpēc i tika ievads, bija nodrošināt risinājumu polinoma vienādojumiem, piemēram, x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , kas reālajos skaitļos parasti nav atrisināms, jo x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ nevar būt vienāds ar -1. Ar definīciju i^2 = −1 mēs iegūstam risinājumus x = ±i. Praktiski tas nozīmē, ka, strādājot ar kompleksajiem skaitļiem, skaitlis i nav „reāls” fizikāls lielums, bet gan matemātisks elements, kas paplašina skaitļu sistēmu.

Galvenās īpašības

Quadrātiska īpašība: i2 = −1.
Jaudas cikls: i^1 = i, i^2 = −1, i^3 = −i, i^4 = 1, un pēc tam cikls atkārtojas. Tas noder, aprēķinot lielākas i pakāpes.
Komplekso skaitļu forma: jebkurš kompleksais skaitlis raksturojams kā a + bi, kur a un b ir reāli skaitļi; a sauc par reālo daļu, b — par imagināro daļu.
Konjugēšana: kompleksā skaitļa a + bi konjugāts ir a − bi; reizrēķinot skaitli ar tā konjugātu, iegūst reālu skaitli: (a+bi)(a−bi)=a^2+b^2.
Modulis: kompleksajam skaitlim a + bi modulis |a+bi| = sqrt(a^2 + b^2) nosaka tā „garumu” kompleksajā plaknē.

Ģeometriskā interpretācija

Komplekso skaitļu plaknē (Arganda vai kompleksā plakne) reālā daļa atbilst x‑asijai, imaginārā — y‑asijai. Reizinājums ar i atbilst vektora pagriešanai par 90 grādiem pretēji pulksteņrādītāja kustībai (un, ja nepieciešams, arī mēroga maiņai). Tas nodrošina intuitīvu sapratni — i darbojas kā rotācijas operators.

Saistība ar eksponenciālo formu un Euleru

Ar Euleram piedēvēto formulu e^{iθ} = cos θ + i sin θ var attēlot kompleksos skaitļus polārajā formā. Īpašā gadījumā i var izteikt kā e^{iπ/2}, jo cos(π/2)=0 un sin(π/2)=1, tādēļ i = e^{iπ/2}. Šī saikne nodrošina sakarību starp rotācijām, trigonometriskām funkcijām un kompleksu eksponenciāli.

Risinājumi polinomiem un algebra

Paplašinot reālos skaitļus uz kompleksajiem, katram polinomam ar kompleksiem koeficientiem, saskaņā ar fundamentālo algebras teikumu, ir tieši tik sakņu (ieskaitot daudzskaitlību), cik ir polinoma pakāpe. Tas nozīmē, ka iepriekš „iztrūkstošās” saknes, piemēram, x^2+1=0, tiek atrastas kā ±i, un tas padara skaitļu laukus algebraiski slēgtus.

Pielietojumi

Elektrotehnika: strāvu un spriegumu fāzu attēlošanai izmanto kompleksos skaitļus un phasorus; i tiek izmantots, lai aprakstītu fāzes nobīdi par 90°.
Signālu apstrāde: Fourier un Laplasa transformācijas izmanto kompleksus skaitļus, lai pārveidotu signālus no laika uz frekvenču jomu.
Kontroles teorija: sistēmu stabilitātes analīzē eigenvērtības parasti ir kompleksas, un to reālās / imaginārās daļas nosaka uzvedību.
Kvantu mehānika: šūnas viļņu funkcijas bieži satur kompleksas amplitūdas; relatīvās fāzes ietekmē interferenci.
Matemātika un teorētiskā fizika: polinomu sadalīšana, diferenciālvienādojumu risināšana, kompleksā analīze, fraktālu ģenerēšana (piem., Mendeļbrota komplekss) u.c.

Vēsturiska piezīme

Konceptu par negatīvas kvadrātsaknes izmantošanu var atrast jau renesanses matemātiķu darbos (piem., Cardano un Bombelli), bet simbolu i plaši popularizēja vēlāk Euler un citi 18.–19. gadsimta matemātiķi. Sākotnēji „imaginārais” termins izcēlies kā skeptisks apzīmējums, taču mūsdienās tas ir nereti būtisks rīks matemātikā un inženierzinātnēs.

Biežākās kļūdas un pārpratumi

Jaukt i ar reālu vienību — i ir matemātisks konstrukts, tam nav tiešas fiziskas vērtības.
Pārprast i^2 = −1 kā pretrunu — tā nav pretruna, bet definīcija, kas paplašina skaitļu kopu un saglabā algebriskās operācijas konsekvenci.
Neievērot ciklu i pakāpēs — bieži vien aprēķinos var vienkāršot, izmantojot faktu, ka i^4 = 1.

Apkopojot: imaginārā vienība i ir pamats kompleksajiem skaitļiem. Tā ļauj atrisināt vienādojumus, aprakstīt rotācijas un fāzes, kā arī ir plaši pielietojama gan teorētiskajā, gan praktiskajā zinātnē.

Kvadrātsakne no i

Dažkārt tiek uzskatīts, ka ir jārada vēl viens skaitlis, lai parādītu kvadrātsakni no i, taču tas nav nepieciešams. Kvadrātsakni no i var rakstīt šādi: i = ± 2 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
To var parādīt kā:

( ± 2 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 2 ) 2 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2}})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

i lielumi

i spēkiem ir paredzams modelis:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

To var parādīt ar šādu shēmu, kur n ir jebkurš vesels skaitlis:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Saistītās lapas

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir iedomātā vienība?

A: Iedomātā vienība ir skaitļa vērtība, kas pastāv tikai ārpus reālo skaitļu kopas un ko izmanto algebrā.

J: Kā mēs izmantojam iedomāto vienību?

A: Mēs reizinām iedomāto vienību ar reālo skaitli, lai iegūtu iedomāto skaitli.

J: Kādos nolūkos izmanto iedomātos skaitļus?

A: Imagināros skaitļus var izmantot daudzu matemātisku uzdevumu risināšanai.

J: Vai mēs varam attēlot iedomāto skaitli ar reāliem priekšmetiem?

A: Nē, iedomāto skaitli nevar attēlot ar reāliem priekšmetiem.

J: No kurienes nāk iedomātā vienība?

A.: Iedomātā vienība nāk no matemātikas un algebras.

Vai iedomātā vienība ir daļa no reālajiem skaitļiem?

A: Nē, tā pastāv ārpus reālo skaitļu sfēras.

J: Kā aprēķināt iedomāto skaitli? A: Iedomāto skaitli aprēķina, reizinot reālo skaitli ar iedomāto vienību.