Matemātikā iedomātā vienība jeb i ir abstrakts skaitlis, kas paplašina reālo skaitļu kopu un ļauj atrisināt vienādojumus, kuriem reālos skaitļos nav risinājumu. Imaginārās vienības matemātiskā definīcija ir i = - 1 {\displaystyle i={{\sqrt {-1}}}}. 
Tai piemīt īpašība i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1}
. Šādu paplašinājumu izmanto, lai definētu kompleksos skaitļus un strādātu ar kvadrātsaknēm no negatīviem skaitļiem.
Definīcija un pamatideja
Iemesls, kāpēc i tika ievads, bija nodrošināt risinājumu polinoma vienādojumiem, piemēram, x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} 
, kas reālajos skaitļos parasti nav atrisināms, jo x 2 {\displaystyle x^{2}}
nevar būt vienāds ar -1. Ar definīciju i^2 = −1 mēs iegūstam risinājumus x = ±i. Praktiski tas nozīmē, ka, strādājot ar kompleksajiem skaitļiem, skaitlis i nav „reāls” fizikāls lielums, bet gan matemātisks elements, kas paplašina skaitļu sistēmu.
Galvenās īpašības
- Quadrātiska īpašība: i2 = −1.
- Jaudas cikls: i^1 = i, i^2 = −1, i^3 = −i, i^4 = 1, un pēc tam cikls atkārtojas. Tas noder, aprēķinot lielākas i pakāpes.
- Komplekso skaitļu forma: jebkurš kompleksais skaitlis raksturojams kā a + bi, kur a un b ir reāli skaitļi; a sauc par reālo daļu, b — par imagināro daļu.
- Konjugēšana: kompleksā skaitļa a + bi konjugāts ir a − bi; reizrēķinot skaitli ar tā konjugātu, iegūst reālu skaitli: (a+bi)(a−bi)=a^2+b^2.
- Modulis: kompleksajam skaitlim a + bi modulis |a+bi| = sqrt(a^2 + b^2) nosaka tā „garumu” kompleksajā plaknē.
Ģeometriskā interpretācija
Komplekso skaitļu plaknē (Arganda vai kompleksā plakne) reālā daļa atbilst x‑asijai, imaginārā — y‑asijai. Reizinājums ar i atbilst vektora pagriešanai par 90 grādiem pretēji pulksteņrādītāja kustībai (un, ja nepieciešams, arī mēroga maiņai). Tas nodrošina intuitīvu sapratni — i darbojas kā rotācijas operators.
Saistība ar eksponenciālo formu un Euleru
Ar Euleram piedēvēto formulu e^{iθ} = cos θ + i sin θ var attēlot kompleksos skaitļus polārajā formā. Īpašā gadījumā i var izteikt kā e^{iπ/2}, jo cos(π/2)=0 un sin(π/2)=1, tādēļ i = e^{iπ/2}. Šī saikne nodrošina sakarību starp rotācijām, trigonometriskām funkcijām un kompleksu eksponenciāli.
Risinājumi polinomiem un algebra
Paplašinot reālos skaitļus uz kompleksajiem, katram polinomam ar kompleksiem koeficientiem, saskaņā ar fundamentālo algebras teikumu, ir tieši tik sakņu (ieskaitot daudzskaitlību), cik ir polinoma pakāpe. Tas nozīmē, ka iepriekš „iztrūkstošās” saknes, piemēram, x^2+1=0, tiek atrastas kā ±i, un tas padara skaitļu laukus algebraiski slēgtus.
Pielietojumi
- Elektrotehnika: strāvu un spriegumu fāzu attēlošanai izmanto kompleksos skaitļus un phasorus; i tiek izmantots, lai aprakstītu fāzes nobīdi par 90°.
- Signālu apstrāde: Fourier un Laplasa transformācijas izmanto kompleksus skaitļus, lai pārveidotu signālus no laika uz frekvenču jomu.
- Kontroles teorija: sistēmu stabilitātes analīzē eigenvērtības parasti ir kompleksas, un to reālās / imaginārās daļas nosaka uzvedību.
- Kvantu mehānika: šūnas viļņu funkcijas bieži satur kompleksas amplitūdas; relatīvās fāzes ietekmē interferenci.
- Matemātika un teorētiskā fizika: polinomu sadalīšana, diferenciālvienādojumu risināšana, kompleksā analīze, fraktālu ģenerēšana (piem., Mendeļbrota komplekss) u.c.
Vēsturiska piezīme
Konceptu par negatīvas kvadrātsaknes izmantošanu var atrast jau renesanses matemātiķu darbos (piem., Cardano un Bombelli), bet simbolu i plaši popularizēja vēlāk Euler un citi 18.–19. gadsimta matemātiķi. Sākotnēji „imaginārais” termins izcēlies kā skeptisks apzīmējums, taču mūsdienās tas ir nereti būtisks rīks matemātikā un inženierzinātnēs.
Biežākās kļūdas un pārpratumi
- Jaukt i ar reālu vienību — i ir matemātisks konstrukts, tam nav tiešas fiziskas vērtības.
- Pārprast i^2 = −1 kā pretrunu — tā nav pretruna, bet definīcija, kas paplašina skaitļu kopu un saglabā algebriskās operācijas konsekvenci.
- Neievērot ciklu i pakāpēs — bieži vien aprēķinos var vienkāršot, izmantojot faktu, ka i^4 = 1.
Apkopojot: imaginārā vienība i ir pamats kompleksajiem skaitļiem. Tā ļauj atrisināt vienādojumus, aprakstīt rotācijas un fāzes, kā arī ir plaši pielietojama gan teorētiskajā, gan praktiskajā zinātnē.
