Reāls skaitlis ir racionāls vai iracionāls skaitlis. Parasti, kad cilvēki saka "skaitlis", viņi domā "reāls skaitlis". Reālo skaitļu oficiālais simbols ir treknraksts R vai tablo treknraksts R {\displaystyle \mathbb {R}}. 
.
Definīcija un sadalījums
Reālie skaitļi ietver visus racionālos skaitļus (tie, kurus var izteikt kā divu veselā skaitļa daļu, piemēram, 1/2, −3, 0) un iracionālos skaitļus (tos, kurus nevar izteikt kā divu veselā skaitļa attiecību, piemēram, √2, π, e). Katrs reāls skaitlis var tikt attēlots uz skaitļu līnijas — viendimensiju taisnes, kur punktiem atbilst reālas vērtības.
Pozitīvie, negatīvie un nulle
Dažus reālos skaitļus sauc par pozitīviem — tie ir "lielāki par nulli". Citus sauc par negatīviem — tie ir "mazāki par nulli" un parasti apzīmē ar mīnusa zīmi (−). Nulle (0) ir savdabīgs reāls skaitlis: tā nav ne pozitīva, ne negatīva, un pievienojot jebkuru skaitli nulle nemaina šo skaitli.
Algebriskās īpašības
Reālie skaitļi veido lauku un sakārtotu lauku ar šādām pazīmēm:
- Slēgtība ar saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu (izņemot dalījumu ar 0) — jebkura šāda darbība ar reāliem skaitļiem dod atkal reālu skaitli.
- Asociativitāte, komutativitāte un distributivitāte — pamata lauka aksiomas attiecībā uz + un ·.
- Kārtība — reālo skaitļu kārtības īpašība nodrošina, ka jebkuriem diviem skaitļiem var noteikt, kurš ir mazāks vai lielāks; šī kārtība saskaņojas ar lauka darbībām (piemēram, ja a < b, tad a + c < b + c; ja a < b un c > 0, tad ac < bc).
- Absorbējošās īpašības un nulle un viens — pastāv elementi 0 un 1 ar attiecīgām īpašībām: a + 0 = a, a·1 = a.
Blīvums, nepārtrauktība un izteiksmes decimālformā
Reālo skaitļu kopa ir blīva: starp jebkurām divām atšķirīgām reālām vērtībām vienmēr pastāv cits reāls skaitlis. Faktiski starp jebkurām divām skaitļu rindām būs gan racionālie, gan iracionālie skaitļi. Reālo skaitļu īpašība, ko sauc par pilnību (completeness vai Dedekind completeness), nozīmē, ka jebkurai ne tukšai kopai, kura ir ierobežota no augšas, eksistē mazākais augšējais robežvērtējums (supremum). Tas atšķir reālos skaitļus no, piemēram, racionālajiem — racionālo skaitļu kopa nav "pilna".
Reālie skaitļi bieži attēlo decimālformā: piemēram, 0,75 vai 3.14159... Ir svarīgi zināt, ka decimālizteiksmes var būt neviendabīgas — daži skaitļi var tikt izteikti divās dažādās decimālformās (piemēram, 1 = 0.999...). Termino: šī unikāluma izņēmums ir tie gadījumi, kur decimāldeva beidzas ar bezgalīgu deviņu virkni.
Saskaitāmība un nesaskaitāmība
Reālie skaitļi ir nesaskaitāmi — to skaits ir lielāks nekā veselo skaitļu vai racionālo skaitļu skaits (kuri ir saskaitāmi). Īsi sakot, nav iespējams sarakstīt visus reālos skaitļus pa vienam tā, lai katrs no tiem būtu ierakstīts. Šo rezultātu var parādīt, piemēram, ar Kantora diagonālizācijas argumentu. Nesaskaitāmības dēļ saka arī, ka reālie skaitļi veido "kontinumu".
Intervāli, robežas un attālums
Reālie skaitļi tiek lietoti, lai definētu intervālus (piemēram, [a, b], (a, b), [a, b) u.c.). Jebkuram divu skaitļu a un b starpā definēts atvērtā intervāla (a, b) elements apraksta visus skaitļus, kas lielāki par a un mazāki par b. Attālums starp skaitļiem a un b tiek dot ar absolūto vērtību |a − b|, un tas atbilst ģeometriskajai distancei starp atbilstošajiem punktiem skaitļu līnijā.
Īsi par racionālajiem un iracionālajiem
- Racionālie skaitļi — var uzrakstīt kā p/q, kur p un q ir veseli skaitļi un q ≠ 0. To decimālattēlojums ir vai nu beidzams, vai periodisks. (Saite uz šo jomu: racionāls.)
- Iracionālie skaitļi — tos nevar izteikt kā divu veselā skaitļu attiecību. To decimālattēlojums ir nebeidzams un neperiodisks. Tipiski piemēri: √2, π, e. (Saite uz šo jomu: iracionāls.)
Saskaršanās ar citām skaitļu sistēmām
Reālie skaitļi ietver sevī sarežģītākas vai vienkāršākas algebras daļas: tajos iekļauti veseli skaitļi un racionālie skaitļi. Ir arī paplašinājumi, piemēram, kompleksie skaitļi; katrs reālais skaitlis ir arī kompleksais skaitlis (ar nulles imagināro daļu), bet ne katrs kompleksais skaitlis ir reāls.
Praktiskas īpašības un piemēri
- Ja divi skaitļi ir pozitīvi, to summa un reizinājums arī ir pozitīvi.
- Ja skaitlim pievieno negatīvu skaitli, rezultāts var kļūt mazāks; ja pievieno nulli, rezultāts nemainās.
- Reālo skaitļu kārtība ir lineāla — jebkuriem a un b vienmēr var noteikt a < b, a = b vai a > b.
- Archimēda īpašība: jebkuram reālajam skaitlim x eksistē naturāls skaitlis n tāds, ka n > x — tas nodrošina, ka veseli skaitļi nav ierobežoti no augšas reālajā skaitļu kopā.
Šīs īpašības padara reālos skaitļus par pamatu analītikai, ģeometrijai, matemātiskajai fizikai un citām zinātnēm, kur nepieciešama nepārtraukta mērvienību un precīza kārtība. Reālie skaitļi nodrošina gan vienkāršus racionālus aprēķinus, gan sarežģītas analītiskas izteiksmes ar iracionāliem rezultātiem.
