Virkne (sekvence): definīcija, veidi un piemēri matemātikā
Uzzini, kas ir virkne (sekvence): definīcija, galīgās un bezgalīgās sekvences, progresijas un skaitliskie piemēri matemātikā — skaidri un saprotami.
Sekvence ir vārds, kas nozīmē "sekojošs vai nākamais, virkne".
To izmanto matemātikā un citās disciplīnās. Parastā lietojumā tas nozīmē notikumu virkni, kas seko viens otram. Matemātikā secība sastāv no vairākām lietām, kas ir saliktas kopā viena pēc otras. Ir svarīgi, kādā secībā tās ir sakārtotas: (Zils, sarkans, dzeltens) ir secība, un (dzeltens, zils, sarkans) ir secība, bet tās nav vienādas. Secības, ko veido skaitļi, sauc arī par progresijām.
Formāla definīcija un notācija
Matemātiski secība ir funkcija no indeksu kopas (parasti naturālo skaitļu kopas) uz kādu kopu. To parasti pieraksta kā (a_n) vai {a_n}, kur a_n — tas ir secības n-tais loceklis. Indeksēšana var sākties ar 1 (a_1, a_2, ...) vai ar 0 (a_0, a_1, ...), atkarībā no konteksta.
Gala secību (finītu) var uzrakstīt vienkārši, pierakstot visus locekļus: piemēram, (1, 2, 3, 4, 5). Taču bezgalīgām secībām pieraksta pilnībā nav iespējams, tāpēc lieto noteikumus vai formulējumus, kas nosaka katra n-tā locekļa vērtību.
Galīgās un bezgalīgās secības
Ir divu veidu secības. Viens veids ir galīgās sekvences, kurām ir beigas. Piemēram, (1, 2, 3, 4, 5) ir galīga secība. Secības var būt arī bezgalīgas, kas nozīmē, ka tās turpinās un nekad nebeidzas. Bezgalīgas secības piemērs ir visu pāra skaitļu secība, kas ir lielāki par 0. Šī secība nekad nebeidzas: tā sākas ar 2, 4, 6 un tā tālāk, un vienmēr var turpināt uzskaitīt pāra skaitļus.
Kā parasti uzraksta bezgalīgu secību
Ja secība ir galīga, ir viegli pateikt, kāda tā ir: jūs varat vienkārši pierakstīt visas secībā esošās lietas. Tas nedarbojas bezgalīgai secībai. Tāpēc cits veids, kā pierakstīt secību, ir uzrakstīt noteikumu, kā atrast lietu jebkurā vēlamajā vietā. Šim noteikumam jāpasaka, kā iegūt lietu n-tajā vietā, ja n var būt jebkurš skaitlis. Ja jūs zināt, kas ir funkcija, tas nozīmē, ka secība ir sava veida funkcija.
Piemēram, noteikums varētu būt, ka n-tajā vietā ir skaitlis 2×n (2 reizes n). Tas mums norāda, kāda ir visa secība, lai gan tā nekad nebeidzas. Pirmais skaitlis ir 2×1, kas ir 2. Otrais skaitlis ir 2×2 jeb 4. Ja mēs vēlamies uzzināt 100. skaitli, tas ir 2×100 jeb 200. Neatkarīgi no tā, kuru no secības lietām mēs vēlamies, noteikums var mums pateikt, kas tas ir.
Biežāk sastopamie secību veidi
- Aritmētiskā progresija — secība, kurai starp secības locekļiem ir konstants starpības solis d. Parasti: a_n = a_1 + (n−1)d. Piemērs: 3, 6, 9, 12, ... (šeit a_1 = 3, d = 3).
- Ģeometriskā progresija — secība, kurai katrs nākamais loceklis rodas, reizinot iepriekšējo ar konstanti r: a_n = a_1 · r^(n−1). Piemērs: 2, 4, 8, 16, ... (r = 2).
- Fibonaci secība — piemērs rekursīvai secībai: a_1 = 1, a_2 = 1 un a_n = a_{n−1} + a_{n−2} (n ≥ 3). Tā sākas: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
- Alternējošas secības — secības, kur locekļu zīme mainās, piemēram, (-1)^n = −1, 1, −1, 1, ...
Explicitā (slēgtā) un rekursīvā definīcija
Secību var dot ar slēgtu (eksplīcītu) formulu, kas izsaka a_n tieši pēc n, vai ar rekursiju, kur nosaka a_n, balstoties uz iepriekšējiem locekļiem. Slēgta formula ļauj ātri aprēķināt jebkuru locekli; rekursija bieži labāka, lai izteiktu secības īpašības vai ērtāk definētu sarežģītākas secības (piemēram, Fibonacci).
Secību īpašības
- Monotonija: secība var būt monotoniski augoša (a_n ≤ a_{n+1}), monotoniski dilstoša (a_n ≥ a_{n+1}) vai nemanotīta.
- Boundedness (ierobežotība): secība ir ierobežota, ja pastāv skaitļi M un m tādi, ka m ≤ a_n ≤ M visiem n. Piemērs: a_n = 1/n ir ierobežota starp 0 un 1.
- Konverģence un divergēšana: bezgalīga secība var konverģēt uz kādu robežvērtību (lim_{n→∞} a_n = L) vai diverģēt (piemēram, iet uz ±∞ vai svārstās bez robežas). Piemēri: a_n = 1/n konverģē uz 0; a_n = n diverģē uz +∞; a_n = (−1)^n nesanāk konverģenta (svārstās).
- Apakšvirkne: secības apakšvirkne iegūst, izvēloties daļu locekļu saglabājot to sākotnējo secību (piem., paņemot tikai pāra indeksus).
Pāris papildu piemēri ar paskaidrojumiem
- a_n = 2n — skaitļu secība 2, 4, 6, 8, ...; lineāra, diverģē uz +∞.
- a_n = 1/n — 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...; konverģē uz 0 (ierobežota un monotoniski dilstoša).
- a_n = (1/2)^n — 1/2, 1/4, 1/8, ...; ģeometriskā secība ar r = 1/2, konverģē uz 0.
- Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... — rekursīvi definēta, izteikta arī ar slēgtu Binet formulu.
Kāpēc secības ir svarīgas
Secības ir pamatjēdziens matemātikā un analizē tās lieto, lai izprastu funkciju uzvedību tālākajos punktos, definētu rindas (summa no secības locekļiem), pētītu konverģenci, analizētu algoritmu sarežģītību datorzinātnē un modelētu notikumus fizikā, ekonomikā u.c. Koncepcijas, kā monotona secība, ierobežotība un robeža, ir būtiskas rindas un reālo skaitļu teorijas pamatā.
Kā mācīties secības praktiski
- Sāciet ar vienkāršām eksplītītām formulām (a_n = an + b, a_n = r^n) un izveidojiet dažus pirmos locekļus rokām;
- Praktizējiet noteikt, vai secība ir monotona vai ierobežota;
- Mēģiniet aprēķināt robežas, izmantojot pazīstamus rezultātus (piem., 1/n → 0, r^n → 0 ja |r|<1);
- Izpētiet rekursīvas secības, piemēram, Fibonacci, un salīdziniet ar slēgtajām formulām.
Ja nepieciešams, varu pievienot vairāk piemēru uzdevumu ar risinājumiem vai vizuālus attēlus, kas parāda secību grafikus un robežu uzvedību.
Secenču veidi
Aritmētiskās progresijas (AP)
Atšķirība starp terminu un pirms tā esošo terminu vienmēr ir konstante.
Piemērs: 4 , 9 , 14 , 19 , 24 , 29 , 34 , ... {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots } 
9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 utt.
Tātad, ja pirmo locekli uzskatām par A un konstantu starpību par D, vispārējā aritmētiskās secības formula ir T=a+(n-1)D, kur n ir locekļu skaits.
Ģeometriskās progresijas (GP)
Attiecība starp terminu un pirms tā esošo terminu vienmēr ir konstanta.
Piemērs: 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , 192 , ... {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots } 
6 : 3 = 2, 12 : 6 = 2, 24 : 12 = 2, 48 : 24 = 2 utt.
vispārīgā formula ir T=ar^(n-1), kur a ir pirmais loceklis, r ir koeficients un n ir locekļu skaits.
Harmoniskās progresijas (HP)
Atšķirība starp locekļa un pirms tā esošā locekļa savstarpējo lielumu ir konstante.
Piemērs: 3 , 1,5 , 1 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 7 , ... {\displaystyle 3,1,5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots } 
( 1 : 1,5 ) - ( 1 : 3 ) = 1 3 , ( 1 : 1 ) - ( 1 : 1,5 ) = 1 3 , ( 1 : 3 4 ) - ( 1 : 1 ) = 1 3 , {\displaystyle (1:1.5)-(1:3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1:1)-(1:1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,\,(1:{\tfrac {3}{4}})-(1:1)={\tfrac {1}{3},} 
un tā tālāk.
Sērija
Sērija ir visu secības locekļu summa.
vispārējā formula aritmētiskās secības summas aprēķināšanai ir šāda.
S=n/2 [2a=(n-1)d]
ģeometriskā secība ir
S= a/(1-r), ja secība ir bezgalīga, un S= [a(1-r^n)]/(1-r), ja tā ir galīga.
šeit a ir pirmais loceklis, d ir aritmētiskās secības kopējā starpība, r ir ģeometriskās secības attiecība n un n ir locekļu skaits.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir secība?
A: Sekvence ir saistītu notikumu, kustību vai priekšmetu kopums, kas seko cits citam noteiktā secībā.
J: Kā to izmanto?
A: To izmanto matemātikā un citās disciplīnās. Parastā lietojumā tas nozīmē notikumu virkni, kas seko viens otram.
J: Kādi ir divi secību veidi?
A: Divi secību veidi ir galīgās secības, kurām ir beigas, un bezgalīgās secības, kuras nekad nebeidzas.
J: Vai varat minēt bezgalīgas secības piemēru?
Atbilde: Bezgalīgas secības piemērs ir visu pāra skaitļu secība, kas ir lielāki par 0. Šī secība nekad nebeidzas; tā sākas ar 2, 4, 6 un tā tālāk.
J: Kā mēs varam pierakstīt bezgalīgu secību?
A: Bezgalīgu secību mēs varam pierakstīt, uzrakstot noteikumu, kā atrast lietu jebkurā vēlamā vietā. Šim noteikumam ir jānorāda, kā iegūt lietu n-tajā vietā, kur n var būt jebkurš naturāls skaitlis.
J: Ko apzīmē (a_n), pierakstot secību?
A: (a_n) apzīmē virknes n-to locekli.
Meklēt