Matemātikā funkcija ir relācija starp divām kopām, kas katrai pirmās kopas (ievades) vērtībai piešķir tieši vienu otrās kopas (izvades) vērtību. Vienkāršāk — funkcija ir noteikts likums vai process, kas, saņemot ievadi, rada izvadi; izvade var būt skaitlis, vektors vai jebkura cita elementa tips kādā kopā.

Definīcija

Formāli funkciju var definēt šādi: ja X un Y ir kopas, tad f no X uz Y (rakstīts f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y}) ir tāda daļa no karteziskā reizinājuma X×Y, ka katram x ∈ X eksistē precīzi viens y ∈ Y ar pāri (x,y) ∈ f. Šo attiecību parasti pieraksta kā y = f(x).

Domēns, kodomēns un attēls (range)

  • Domēns — kopu X, kurai pieder visi pieļaujamie ievades elementi x. (Oriģināltekstā atzīmētais domēns.)
  • Kodomēns — kopu Y, kurā funkcija teorētiski var dot izvades vērtības; to sauc arī par mērķkopa vai kopdomēnu. (Oriģināltekstā šī sai saite ir domēna vietā — to saprot kā kodomēnu.)
  • Attēls (range) — pats par sevi ir kodomēna apakškopa: visi tie y ∈ Y, kuri patiesi tiek sasniegti kā f(x) kāda x ∈ X. Attēlu dažkārt sauc par funkcijas vērtību kopu.

Ja y ir x funkcija, raksta y = f(x), kur f apzīmē funkciju. Bieži lietotā notācija ir f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} — šī pieraksta ilustrācija reizēm tiek attēlota arī kā diagramma ar bultiņām, kur viena kopa (domēns) savienota ar otru (kodomēns) caur pārojumiem.

Funkcijas piemēri

Vienkāršs piemērs: f(x) = x + 1. Ja ievades kopai izvēlamies naturālos skaitļus {0,1,2,3,...}, tad f pārvērš tos par {1,2,3,4,...}. Šajā gadījumā domēns var būt naturālo skaitļu kopa, kodomēns var būt, piemēram, naturālo skaitļu kopa vai visu veselo skaitļu kopa, bet funkcijas attēls būs tieši naturālo skaitļu kopa bez nulles. Oriģinālā piemērā izmantotie attēli un simboli apzīmē tieši šo procesu (x → y = x + 1). xy

Vēl daži tipiski piemēri:

  • f : R → R, f(x) = x^2 — domēns R (visi reālie skaitļi), kodomēns var būt R, bet attēls ir [0, ∞) jo kvadrāts ir nekad negatīvs.
  • g : R \ {0} → R, g(x) = 1/x — domēns ir visi reālie skaitļi, izņemot 0 (jo dalīšana ar 0 nav definēta); tas parāda domēna ierobežojumu.
  • Funkcija var būt arī tabula, grafiks vai algoritms — galvenais, ka katram domēna elementam ir tieši viena sasaistītā vērtība.

Attēlojuma veidi

Funkcijas var attēlot dažādos veidos:

  • Formula (piem., f(x) = x + 1).
  • Tabula ar pāriem (x, f(x)).
  • Grafiski kartēta uz koordinātu plaknes (parasti reālām funkcijām f : R → R).
  • Algoritmiski vai programmatiski — procedūra, kas aprēķina izvadi no ievades.

Īpašības: injektīva, surjektīva, bijektīva

  • Injektīva (viennozīmīga) — ja dažādiem x domēnā atbilst dažādi y. Piemērs: f(x) = 2x uz R ir injektīva.
  • Surjektīva (pārklāj) — ja katrs kodomēna elements ir kāda domēna elementa attēls (attēls = kodomēns). Piemērs: f : R → R, f(x) = x ir surjektīva.
  • Bijektīva — ja funkcija ir gan injektīva, gan surjektīva; tad tai eksistē inversā funkcija f^{-1}.

Kompozīcija un inversā funkcija

Ja f : X → Y un g : Y → Z, tad kompozīcija g ◦ f ir funkcija no X uz Z, definēta kā (g ◦ f)(x) = g(f(x)). Inversā funkcija f^{-1} pastāv tikai tad, ja f ir bijektīva; tai ir īpašība f^{-1}(f(x)) = x visiem x domēnā.

Papildu jēdzieni

  • Attēls no A: ja A ⊆ X, tad f(A) = { f(a) | a ∈ A } — attēls jeb image no kopas A.
  • Preimage (priekšattēls): f^{-1}(B) = { x ∈ X | f(x) ∈ B } — kopas B priekšattēls domēnā.
  • Funkcija kā relācija: matemātiski funkciju definē kā īpašu relāciju f ⊆ X×Y ar viennozīmības īpašību (katram x tieši viens y).
  • Ne-funkcijas: ja kādam x atbilst vairāk nekā viens y (vai nav neviena y), tad tā nav funkcija (var saukt par daudzzīmīgu attēlojumu vai daļēju attēlojumu).

Ierobežojumi domēnā

Dažkārt domēns ir ierobežots ar kaut kādām prasībām: piemēram, kvadrātsaknes funkcijai f(x) = √x domēns reālajā kontekstā ir x ≥ 0; dalīšanas gadījumos x nedrīkst būt tāds, ka dalīšana rada nenoteiktību (dalītājs ≠ 0). Tāpēc, nosakot funkciju, jānorāda, kāda ir domēna un kodomēna definīcija.

Kopsavilkums

Funkcija ir pamatjēdziens matemātikā, kas sasaista ievades un izvades elementus caur noteiktu likumu vai relāciju. Svarīgi saprast atšķirību starp domēnu, kodomēnu un attēlu, kā arī funkcijas īpašības (injektivitāte, surjektivitāte, bijektivitāte), jo tās nosaka, vai funkcijai pastāv inversā, vai tā „aizklāj” mērķkopu utt. Funkcija nav obligāti vienkāršs vienādojums — tā var būt jebkura viennozīmīga sasaistīšana starp kopām, pat ja process ir sarežģīts vai algoritmisks.