Funkcija
Matemātikā funkcija ir matemātisks objekts, kas, saņemot ievades datus, rada izvades rezultātu - tas var būt skaitlis, vektors vai jebkas cits, kas var pastāvēt kādā lietu kopā.
Tātad funkcija ir kā mašīna, kas pieņem x vērtības un atdod y. Visu vērtību kopumu, ko var iegūt x, sauc par domēnu. Kopu, kurā ir visas vērtības, kas var būt y, sauc par domēnu.
Ja tā notiek, mēs sakām, ka y ir x funkcija, un rakstām y =f(x). f ir funkcijas nosaukums, un rakstām f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y}. 
(funkcija no X uz Y), lai apzīmētu trīs funkcijas daļas: domēnu (x), kopdomēnu (y) un pārošanas procesu (bultiņa).
Funkcijas piemērs ir f(x)=x+1 Kā ievade tiek dots dabiskais skaitlis x {\displaystyle x}
(0,1,2,3...) un tiek iegūts dabiskais skaitlis y {\displaystyle y}. 
, kas ir x {\displaystyle x} +1 (1,2,3,4...) Funkcijas ideja ir izveidota, lai aptvertu visdažādākās iespējas. Funkcijai nav jābūt vienādojumam. Galvenā ideja ir tāda, ka ievadi un izvadi ir kaut kādā veidā savienoti pāros, pat ja process ir ļoti sarežģīts.
Metaforas
Tabulas
Ieejas un izejas datus var ievietot tabulā, kā attēlā; tas ir vienkārši, ja nav pārāk daudz datu.
Grafiki
Attēlā redzams, ka gan 2, gan 3 ir savienoti pārī ar c; pretējā virzienā tas nav atļauts, 2 nevarēja izvadīt c un d,katrai ievadei var būt tikai viena izeja. Visi f ( x ) {\displaystyle f(x)} 
(c un d attēlā) parasti sauc par f attēlu kopu {\displaystyle f}
, un attēlu kopa var būt visa kodomēna vai ne. Var teikt, ka kopas A apakškopa ar attēlu kopu ir f(A). Ja ieejas un izejas ir sakārtotas, tās ir viegli uzzīmēt grafikā: 
Tādējādi attēls nonāk uz kopas A attēla. Tas padarīs gan 2, gan 3 ir pārī ar nav atļauts citā virzienā,pat var veikt starp koddomēnu vai ne. Var izdarīt secinājumu, ka kopas A apakškopa A ir attēlu kopa F(A).
Vēsture
1690. gados GotfrīdsLeibnics un Johans Bernuili lietoja vārdu funkcija ar burtiem starp tiem, tāpēc mūsdienu jēdziens radās vienlaikus ar kalkulu.
1748. gadā Leonhards Eulers sniedza: "Ja daži lielumi ir tik atkarīgi no citiem lielumiem, ka, mainot pēdējos, mainās arī pirmie, tad pirmos lielumus sauc par pēdējo funkcijām. 1755. gadā Eulergs Eulergs formulēja: "Ja daži lielumi ir tik atkarīgi no citiem lielumiem, ka, mainot pēdējos, mainās arī pirmie, tad pirmos sauc par pēdējo funkcijām. Šī definīcija ir diezgan plaši piemērojama un ietver visus veidus, kā viens lielums varētu būt atkarīgs no otra. Tātad, ja x apzīmē mainīgu lielumu, tad visus lielumus, kas jebkādā veidā ir atkarīgi no x vai ko nosaka x, sauc par x funkcijām." Tas ir ļoti mūsdienīgi.
Parasti Dirišletam piedēvē versiju, kas skolās tika izmantota līdz 20. gadsimta otrajai pusei: "y ir mainīgā x funkcija, kas definēta intervālā a < x < b, ja katrai mainīgā x vērtībai šajā intervālā atbilst noteikta mainīgā y vērtība." Tāpat nav svarīgi, kādā veidā šī atbilstība tiek noteikta.
1939. gadā Burbaki vispārināja Dirišleta definīciju un sniedza definīcijas kopu teorētisko versiju kā atbilstību starp ieejām un izejām; to sāka izmantot skolās aptuveni no 1960. gada.
Visbeidzot 1970. gadā Burbaki sniedza mūsdienu definīciju kā trijkāršu f = ( X , Y , F ) {\displaystyle f=(X,Y,F)} 
ar F ⊂ X × Y , ( x , f ( x ) ) ∈ F {\displaystyle F\apakškopa X\reiz Y,(x,f(x))\in F}
(t. i., f : X → Y {\displaystyle f:X\uz Y} un F = { ( x , f ( x ) ) | x ∈ X , f ( x ) ∈ Y } {\displaystyle F=\{{(x,f(x))|x\in X,f(x)\in Y\}}} 
).
Funkciju veidi
- Elementārās funkcijas - funkcijas, ko parasti apgūst skolā: frakcijas, kvadrātsaknes, sinusa, kosinusa un tangensa funkcijas un dažas citas funkcijas.
- Neelementāras funkcijas - Lielākajā daļā no tām netiek izmantotas darbības, kuras mēs nemācāmies skolā (piemēram, + vai -, vai pilnvaras). Daudzi integrāļi nav elementārie.
- Inversās funkcijas - funkcijas, kas atceļ citu funkciju. Piemēram: ja F(x) ir apgrieztā funkcija f(x)=y, tad F(y)=x. Ne visām funkcijām ir apgrieztās funkcijas.
- Īpašas funkcijas: Funkcijas, kurām ir nosaukumi. Piemēram: sinuss, kosinuss un tangenss. Tādas funkcijas kā f(x)=3x (trīs reizes x) netiek sauktas par speciālajām funkcijām. Tās var būt elementāras, neelementāras vai apgrieztās funkcijas.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir funkcija matemātikā?
Atbilde: Matemātikā funkcija ir objekts, kas, saņemot ievadi, rada izvades rezultātu, kas var būt skaitlis, vektors vai jebkas cits, kas var pastāvēt kopas iekšienē.
J: Kādas divas kopas ir saistītas ar funkcijām?
A: Visu vērtību kopu, ko var iegūt x, sauc par domēnu, un kopu, kurā ir visas vērtības, ko var iegūt y, sauc par domēnu.
J: Kā bieži apzīmē funkcijas?
A: Funkcijas bieži apzīmē ar slīpajiem burtiem, piemēram, f, g, h.
J: Kā mēs atveidojam funkciju?
A: Funkciju attēlo, rakstot y = f(x), kur f ir funkcijas nosaukums un rakstot f : X → Y (funkcija no X uz Y), lai attēlotu trīs funkcijas daļas - domēnu (X), kopdomēnu (Y) un pāra procesu (bultiņa).
J: Vai jūs varat minēt kādas funkcijas piemēru?
A: Funkcijas piemērs ir f(x) = x + 1. Kā ievade tiek dots dabiskais skaitlis x, un tiek iegūts dabiskais skaitlis y, kas ir x + 1. Piemēram, ievadot 3 kā ieejas skaitli f, kā izejas skaitli iegūst 4.
Vai katrai funkcijai ir jābūt vienādojumam?
A: Nē, ne katrai funkcijai ir jābūt vienādojumam. Galvenā funkciju ideja ir tāda, ka ieejas un izejas ir kaut kādā veidā savienotas pa pāriem - pat ja tas var būt ļoti sarežģīti.
