Integrālis

Aprēķinos integrālis ir telpa zem vienādojuma grafika (dažreiz to sauc par "laukumu zem līknes"). Integrāls ir atvasinājuma pretstats, un tas ir diferenciālā aprēķina pretstats. Atvasinājums ir līknes stāvums (vai "slīpums"), kā izmaiņas ātrums. Vārdu "integrāls" var lietot arī kā īpašības vārdu, kas nozīmē "saistīts ar veseliem skaitļiem".

Integrācijas simbols aprēķinos ir: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ kā augsts burts "S". Šo simbolu pirmo reizi izmantoja Gotfrīds Vilhelms Leibnics, kurš to lietoja kā stilizētu "ſ". (summa, latīņu valodā summa), lai apzīmētu laukuma, ko aptver vienādojums, piemēram, y = f(x), summu.

Integrāli un atvasinājumi ir daļa no matemātikas nozares, ko sauc par kalkulu. Saikne starp tām ir ļoti svarīga, un to sauc par fundamentālo teorēmu. Teorēma saka, ka integrāli var apvērst ar atvasinājumu, līdzīgi kā saskaitījumu var apvērst ar atņemšanu.

Integrācija palīdz, ja mēģina reizināt vienības problēmā. Piemēram, ja problēma ar ātrumu, ( attālums laiks ) {\displaystyle \left({\frac {\text{attālums}}{\text{laiks}}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , ir vajadzīga atbilde tikai ar attālumu, viens no risinājumiem ir integrēt attiecībā pret laiku. Tas nozīmē reizināt ar laiku, lai anulētu laiku ( attālums laiks ) × laiks {\displaystyle \left({\frac {\frac {\text{attālums}}}{\text{laiks}}}}\right)\times {\text{laiks}}}}}. $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Tas tiek darīts, saskaitot kopā nelielus ātruma grafika šķēlumus. Diapazonu platums ir tuvu nullei, bet, tos saskaitot uz visiem laikiem, tie summējas līdz veselumam. To sauc par Rīmana summu.

Saskaitot kopā šos šķēlumus, iegūst vienādojumu, kura atvasinājums ir pirmais vienādojums. Integrāli ir kā veids, kā ar rokām saskaitīt kopā daudzas sīkas lietas. Tas līdzinās summēšanai, kas ir 1 + 2 + 3 + 4..... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Atšķirība no integrēšanas ir tāda, ka mums ir jāsaskaita arī visas decimāldaļas un daļskaitļi starp tām.

Vēl vienu reizi integrācija ir noderīga, kad tiek noteikts cietvielas tilpums. Ar to var saskaitīt divdimensiju (bez platuma) cietvielas šķēlumus kopā uz mūžīgiem laikiem, līdz ir iegūts platums. Tas nozīmē, ka objektam tagad ir trīs dimensijas: sākotnējās divas un platums. Tas dod aprakstītā trīsdimensiju objekta tilpumu.

Kas ir integrāls (animācija)

Integrēšana ir saistīta ar virsmas s atrašanu, ņemot vērā a, b un y = f(x). Iepriekš attēlotā integrāļa formula no a līdz b ir šāda:
Formula: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}. $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Integrācijas metodes

Antiderivāts

Saskaņā ar rēķina fundamentālo teorēmu integrāls ir antiderivatīvs.

Ja ņemam funkciju 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ un to antidiferencējam, varam teikt, ka 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ integrālis ir x 2 {\displaystyle x^{2}}. $x^{2}$ . Mēs sakām integrāli, nevis integrāli, jo funkcijas antideviatīvs nav unikāls. Piemēram, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ arī diferencējas uz 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Tāpēc, ņemot antideivatīvu, ir jāpieskaita konstante C. To sauc par nenoteiktu integrāli. Tas ir tāpēc, ka, atrodot funkcijas atvasinājumu, konstantes ir vienādas ar 0, kā tas ir funkcijā

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Pievērsiet uzmanību 0: mēs nevaram to atrast, ja mums ir tikai atvasinājums, tāpēc integrāls ir

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Vienkārši vienādojumi

Vienkāršu vienādojumu, piemēram, y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , var integrēt attiecībā pret x, izmantojot šādu metodi. Lai integrētu, reizinājumam, līdz kuram pacelts x, pieskaita 1, un pēc tam dalās x ar šīs jaunās reizināšanas vērtību. Tāpēc normālā vienādojuma integrēšana notiek pēc šāda noteikuma: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

D x {\displaystyle dx} $dx$ beigās ir tas, kas parāda, ka mēs integrējam attiecībā pret x, tas ir, mainoties x. To var uzskatīt par diferencēšanas apgriezto formulu. Tomēr integrējot tiek pievienota konstante C. To sauc par integrēšanas konstanti. Tā ir nepieciešama, jo, diferencējot veselu skaitli, iegūst nulli, tāpēc, integrējot nulli (kuru var pievienot jebkura integrāta beigās), iegūst veselu skaitli C. Šā veselā skaitļa vērtību varētu atrast, izmantojot dotos nosacījumus.

Vienādojumus ar vairāk nekā vienu locekli vienkārši integrē, integrējot katru locekli atsevišķi:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrācija, kurā iesaistīti e un ln

Pastāv zināmi noteikumi integrēšanai, izmantojot e un naturālo logaritmu. Vissvarīgākais ir tas, ka e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ ir integrāls no sevis paša (pievienojot integrēšanas konstanti): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}. $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Dabiskais logaritms, ln, ir noderīgs, integrējot vienādojumus ar 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Tos nevar integrēt, izmantojot iepriekš minēto formulu (saskaitot vienādojumu ar lielumu, dalot ar lielumu), jo, saskaitot vienādojumu ar lielumu, iegūst 0, un dalīšana ar 0 nav iespējama. Tā vietā 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ integrāls ir ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}. $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Vispārīgākā formā: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Divas vertikālās svītras norāda absolūto vērtību; f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) zīme (pozitīva vai negatīva) netiek ņemta vērā. Tas ir tāpēc, ka nav vērtības negatīvu skaitļu naturālajam logaritmam.

Īpašības

Funkciju summa

Funkciju summas integrāls ir katras funkcijas integrāla summa, tas ir,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Pierādījums tam ir vienkāršs: Integrāla definīcija ir summu limits. Tādējādi

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Ievērojiet, ka abiem integrāļiem ir vienādas robežas.

Integrācijas konstantes

Ja konstante ir integrālā vienādojumā ar funkciju, konstanti var izņemt. Turklāt, ja konstantei c nav pievienota funkcija, tās vērtība ir c * x. Tas ir,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ un

To var izdarīt tikai ar konstantu.

∫ a b b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Pierādījums atkal ir integrāļa definīcija.

Citi

Ja a, b un c ir sakārtoti (t. i., viens aiz otra uz x ass), tad f(x) integrālis no punkta a līdz punktam b plus f(x) integrālis no punkta b līdz punktam c ir vienāds ar integrāli no punkta a līdz punktam c. Tas nozīmē,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx}, $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ ja tie ir secībā. (Tas ir spēkā arī tad, ja a, b, c nav sakārtoti, ja definējam ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Tas izriet no rēķina fundamentālās teorēmas (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Atkal pēc FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir integrāls?

A: Integrāls ir laukums zem vienādojuma grafika, ko sauc arī par "laukumu zem līknes". Tas ir atvasinājuma pretējs formulējums un ir daļa no matemātikas nozares, ko sauc par kalkulu.

J: Kā izskatās integrācijas simbols?

A: Integrēšanas simbols kalkulā izskatās kā augsts burts "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

J: Kā integrāļi ir saistīti ar atvasinājumiem?

A: Integrāli un atvasinājumi ir saistīti ar rēķina fundamentālo teorēmu, kas nosaka, ka integrāli var apvērst ar atvasinājumu, līdzīgi kā saskaitījumu var apvērst ar atņemšanu.

J: Kad var izmantot integrēšanu?

A: Integrēšanu var izmantot, mēģinot reizināt vienības uzdevumā vai nosakot cietvielas tilpumu. Tā palīdz saskaitīt kopā divdimensiju šķēlumus, līdz rodas platums, tādējādi iegūstot objekta trīs dimensijas un tā tilpumu.

J: Ar ko integrācija ir līdzīga summēšanai?

A: Integrēšana ir līdzīga summēšanai, jo tā saskaita kopā daudzus sīkumus, bet integrēšanas gadījumā mums ir jāsaskaita arī visi decimālskaitļi un daļskaitļi starp tiem.

J: Ko nozīmē Rīmana summa?

A: Ar Rīmana summu apzīmē likmju grafika mazu gabaliņu saskaitīšanu, līdz tie summējas un veido vienu veselu vienādojumu.