Integrālis: definīcija, Rīmana summa un integrācijas pamati

Uzzini integrāļa definīciju, Rīmana summu un integrācijas pamatus skaidri ar piemēriem, teorēmu un praktiskām pielietošanām matemātikā un fizikā.

Autors: Leandro Alegsa

25-01-2026 14:34

Aprēķinos integrālis parasti apzīmē laukumu vai citu "kopumu" zem vienādojuma grafika (dažreiz to sauc par "laukumu zem līknes"). Precīzāk — integrālis mēra akkumuluētu lielumu, kas iegūts, saskaitot ļoti daudz mazus izcirtņus. Integrālis ir atvasinājuma pretstats un pieder pie diferenciālā aprēķina jomas. Atvasinājums raksturo līknes stāvumu (vai "slīpumu"), proti, kā noteikta funkcija mainās, piemēram, ātrums. Vārdu "integrāls" reizēm lieto arī plašākā nozīmē — kā īpašības vārdu, kas nozīmē "saistīts ar veseliem skaitļiem" (piem., integrālas vērtības noteiktos kontekstos), taču matemātikā parasti ar integrāli saprot akumulāciju vai antiderivāciju.

Notācija un vēsturiskā piezīme

Integrācijas simbols aprēķinos ir: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ , kas vizuāli atgādina garu burtu "S". Šo simbolu pirmo reizi plaši izmantoja Gotfrīds Vilhelms Leibnics, kurš to lietoja kā stilizētu "ſ" (summa, latīņu valodā summa), lai apzīmētu summēšanu — laukuma vai akumulētā daudzuma summu zem funkcijas, piemēram, y = f(x). Parasti diferencēšanas un integrēšanas saziņā lieto arī dx (vai līdzīgus apzīmējumus), piemēram, ∫ f(x) dx, kur dx norāda integrācijas mainīgo.

Rīmana summa un definīcija

Definīcija: noteikto integrāli piesaka kā Rīmana summas robežu. Ņem intervālu [a, b], sadala to n daļās (partīcija), katrā daļā izvēlas kādu punktu x_i*, aprēķina f(x_i*) reizinātu ar atsevišķā daļā esošo platumu Δx_i un saskaita visu daļu iegūtās produkta vērtības. Ja, palielinot sadalījuma smalkumu (Δx_i → 0) un nosakot šīs summas robežu, tā eksistē un ir vienota, šo robežu sauc par noteikto integrāli:

Rīmana summa: Σ f(x_i*) Δx_i
Noteiktais integrālis: lim (n→∞) Σ f(x_i*) Δx_i = ∫_a^b f(x) dx

Šī definīcija tieši sasaista integrēšanu ar summēšanu — tā ir formāla "saskaitīšana" bezgalīgi mazu gabaliņu. Rīmana summas parādījums palīdz izprast, kā integrālis izmērā un saturā atšķiras no parastās diskrētās summēšanas (1 + 2 + ... + n): integrālā jāņem vērā arī visi starpposmi, t.i., reālie skaitļi starp parastajiem veseliem termiem.

Fundamentālā teorēma

Integrāļi un atvasinājumi ir savstarpēji saistīti ar fundamentālo teorēmu (Fundamental Theorem of Calculus). Vienā no formulējumiem teorēma saka: ja f ir kontinūla funkcija intervālā [a, b] un F ir f antiderivācija (t.i., F' = f), tad noteiktais integrālis no a līdz b ir F(b) − F(a):

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Šī saikne ļauj aprēķināt noteikto integrāli, atrodit jebkuru antiderivāciju un novērtējot tās vērtību galapunktos. Pretstāvs ir atvasinājums (derivēšana), kas "atceļ" integrēšanu lokāli.

Indefinītais integrālis un konstante

Indefinītais integrālis (antiderivācija) apzīmē kopu visu funkciju F, kurām F' = f. To pieraksta kā ∫ f(x) dx = F(x) + C, kur C ir integrācijas konstante, jo atvasināšana izdzēš pievienoto konstantu.

Pamatīpašības un skaitīšanas likumi

Linearitāte: ∫ (a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx.
Izmaiņa robežās: ∫_a^b f = − ∫_b^a f, un ∫_a^a f = 0.
Robežu sadalīšana: ∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f.

Praktiskos aprēķinos izmanto arī metodes, piemēram, substitūciju (mainīgā maiņa), integrāciju pa daļām un speciālas tehnikas racionālām, trigonometriskām vai eksponenciālām funkcijām.

Piemēri un pielietojumi

Integrācija ir ļoti plaši pielietota. Daži izplatītākie piemēri:

Laukuma aprēķins: laukums zem funkcijas f(x) no a līdz b ir ∫_a^b f(x) dx.
Attālums no ātruma: ja zināms ātrums v(t) = f(t), tad nobraukums no t=a līdz t=b ir ∫_a^b v(t) dt — tas ir praktisks mērs, kā integrācija "reizinot ar laiku" anulē laika vienību, kā attēlots teksta piemēros.
Apjoms: rotācijas līdzekļi (disks, gredzens/shell) ļauj aprēķināt cietvielu tilpumu, saskaitot divdimensiju šķēlumus (piemēram, integrējot šķēlumu laukumus pa attālumu) un iegūstot trīs dimensiju objektu apjomu.
Darbība, enerģija un statistika: integrāli izmanto darba aprēķināšanai spēka laukos, vidējās vērtības noteikšanai un varbūtības blīvumu integrēšanai, lai iegūtu varbūtības.

Saikne ar tekstā minētajiem jēdzieniem

Tekstā minētais piemērs par ātrumu: ja ātrums ir ( ( attālums laiks ) {\displaystyle \left({\frac {\text{attālums}}{\text{laiks}}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ ), lai iegūtu attālumu integrē attiecībā pret laiku — tas ekvivalents aprēķinam ( ātrums × laiks ), kā arī to demonstrē ideja par sīkajiem grafika šķēlumiem, kuri summējas līdz kopējam attālumam (Rīmana summa).

Skaitliskā integrācija un paplašinājumi

Ja integrālis nav iespējams izteikt slēgtā formā ar elementārajām funkcijām, izmanto skaitiskās metodes (trapeces, Simpsons metode u.c.), kas balstās uz Rīmana summu ideju. Tāpat integrāļa teorija ir plaši attīstīta (Lebega integrāls, stohastiskie integrāļi u.c.) — dažādām vajadzībām ir dažādas definīcijas un vispārinājumi.

Kopsavilkums

Integrālis ir rīks, kas ļauj aprēķināt akumulētas lielības — laukumus, apjomus, nobrauktu ceļu, darbu u.c. To var interpretēt kā robežu Rīmana summām vai kā antiderivāciju, un tas ir cieši saistīts ar atvasinājumu caur fundamentālo teorēmu. Saprašana par integrēšanu un tās metodēm ir pamatprasme gan teorētiskā, gan lietišķā matemātikā.

Saglabātas sākotnējā raksta saites un attēli: $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ $1+2+3+4....+n$

Kas ir integrāls (animācija)

Integrēšana ir saistīta ar virsmas s atrašanu, ņemot vērā a, b un y = f(x). Iepriekš attēlotā integrāļa formula no a līdz b ir šāda:
Formula: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}. $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Integrācijas metodes

Antiderivāts

Saskaņā ar rēķina fundamentālo teorēmu integrāls ir antiderivatīvs.

Ja ņemam funkciju 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ un to antidiferencējam, varam teikt, ka 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ integrālis ir x 2 {\displaystyle x^{2}}. $x^{2}$ . Mēs sakām integrāli, nevis integrāli, jo funkcijas antideviatīvs nav unikāls. Piemēram, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ arī diferencējas uz 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Tāpēc, ņemot antideivatīvu, ir jāpieskaita konstante C. To sauc par nenoteiktu integrāli. Tas ir tāpēc, ka, atrodot funkcijas atvasinājumu, konstantes ir vienādas ar 0, kā tas ir funkcijā

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Pievērsiet uzmanību 0: mēs nevaram to atrast, ja mums ir tikai atvasinājums, tāpēc integrāls ir

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Vienkārši vienādojumi

Vienkāršu vienādojumu, piemēram, y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , var integrēt attiecībā pret x, izmantojot šādu metodi. Lai integrētu, reizinājumam, līdz kuram pacelts x, pieskaita 1, un pēc tam dalās x ar šīs jaunās reizināšanas vērtību. Tāpēc normālā vienādojuma integrēšana notiek pēc šāda noteikuma: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

D x {\displaystyle dx} $dx$ beigās ir tas, kas parāda, ka mēs integrējam attiecībā pret x, tas ir, mainoties x. To var uzskatīt par diferencēšanas apgriezto formulu. Tomēr integrējot tiek pievienota konstante C. To sauc par integrēšanas konstanti. Tā ir nepieciešama, jo, diferencējot veselu skaitli, iegūst nulli, tāpēc, integrējot nulli (kuru var pievienot jebkura integrāta beigās), iegūst veselu skaitli C. Šā veselā skaitļa vērtību varētu atrast, izmantojot dotos nosacījumus.

Vienādojumus ar vairāk nekā vienu locekli vienkārši integrē, integrējot katru locekli atsevišķi:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrācija, kurā iesaistīti e un ln

Pastāv zināmi noteikumi integrēšanai, izmantojot e un naturālo logaritmu. Vissvarīgākais ir tas, ka e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ ir integrāls no sevis paša (pievienojot integrēšanas konstanti): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}. $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Dabiskais logaritms, ln, ir noderīgs, integrējot vienādojumus ar 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Tos nevar integrēt, izmantojot iepriekš minēto formulu (saskaitot vienādojumu ar lielumu, dalot ar lielumu), jo, saskaitot vienādojumu ar lielumu, iegūst 0, un dalīšana ar 0 nav iespējama. Tā vietā 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ integrāls ir ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}. $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Vispārīgākā formā: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Divas vertikālās svītras norāda absolūto vērtību; f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) zīme (pozitīva vai negatīva) netiek ņemta vērā. Tas ir tāpēc, ka nav vērtības negatīvu skaitļu naturālajam logaritmam.

Īpašības

Funkciju summa

Funkciju summas integrāls ir katras funkcijas integrāla summa, tas ir,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Pierādījums tam ir vienkāršs: Integrāla definīcija ir summu limits. Tādējādi

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Ievērojiet, ka abiem integrāļiem ir vienādas robežas.

Integrācijas konstantes

Ja konstante ir integrālā vienādojumā ar funkciju, konstanti var izņemt. Turklāt, ja konstantei c nav pievienota funkcija, tās vērtība ir c * x. Tas ir,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ un

To var izdarīt tikai ar konstantu.

∫ a b b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Pierādījums atkal ir integrāļa definīcija.

Citi

Ja a, b un c ir sakārtoti (t. i., viens aiz otra uz x ass), tad f(x) integrālis no punkta a līdz punktam b plus f(x) integrālis no punkta b līdz punktam c ir vienāds ar integrāli no punkta a līdz punktam c. Tas nozīmē,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx}, $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ ja tie ir secībā. (Tas ir spēkā arī tad, ja a, b, c nav sakārtoti, ja definējam ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Tas izriet no rēķina fundamentālās teorēmas (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Atkal pēc FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir integrāls?

A: Integrāls ir laukums zem vienādojuma grafika, ko sauc arī par "laukumu zem līknes". Tas ir atvasinājuma pretējs formulējums un ir daļa no matemātikas nozares, ko sauc par kalkulu.

J: Kā izskatās integrācijas simbols?

A: Integrēšanas simbols kalkulā izskatās kā augsts burts "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

J: Kā integrāļi ir saistīti ar atvasinājumiem?

A: Integrāli un atvasinājumi ir saistīti ar rēķina fundamentālo teorēmu, kas nosaka, ka integrāli var apvērst ar atvasinājumu, līdzīgi kā saskaitījumu var apvērst ar atņemšanu.

J: Kad var izmantot integrēšanu?

A: Integrēšanu var izmantot, mēģinot reizināt vienības uzdevumā vai nosakot cietvielas tilpumu. Tā palīdz saskaitīt kopā divdimensiju šķēlumus, līdz rodas platums, tādējādi iegūstot objekta trīs dimensijas un tā tilpumu.

J: Ar ko integrācija ir līdzīga summēšanai?

A: Integrēšana ir līdzīga summēšanai, jo tā saskaita kopā daudzus sīkumus, bet integrēšanas gadījumā mums ir jāsaskaita arī visi decimālskaitļi un daļskaitļi starp tiem.

J: Ko nozīmē Rīmana summa?

A: Ar Rīmana summu apzīmē likmju grafika mazu gabaliņu saskaitīšanu, līdz tie summējas un veido vienu veselu vienādojumu.

Meklēt