Antidiferencēšana (saukta arī par nenoteiktu integrēšanu) ir matemātikā lietota darbība, kas šoziem ir pretēja diferencēšanai. Ja funkcijai f(x) atrastā funkcija F(x) apmierina F'(x) = f(x), tad F ir f antiderivācija (antiderivatīvs).
Vienkāršāk sakot, antiderivācija dod funkciju, kuras atvasinājums atgriež sākotnējo funkciju. Antidiferencēšana ir cieši saistīta ar integrēšanu, bet nenoteiktajam integralam nav robežu — tāpēc to sauc par nenoteiktu.
Antiderivatīvu var izmantot, lai risinātu vienādojumus un modelētu dažādus lielumu. Antiderivāts pats par sevi ir cita veida funkcija, kas bieži tiek izmantota arī diferencēšanas pretējai operācijai.
Notācija un konstante
Nenoteikto integrālu pieraksta šādi: ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx}. 
Vispārīgais rezultāts nenoteiktajam integralam ietver integrācijas konstanti C, jo atvasināšanas operācija dzēš jebkuru pievienotu konstantu. Tātad, ja F'(x) = f(x), tad
∫ f(x) dx = F(x) + C, kur C ir jebkura konstante.
Biežāk lietotās formulas (pamatnoteikumi)
- Jaunā jaudas noteikums: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, ja n ≠ −1.
- Linearitāte: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx.
- Eksponenciālā funkcija: ∫ e^x dx = e^x + C.
- Trigonometriskās funkcijas: ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ sin x dx = −cos x + C.
- Racionālās funkcijas: ∫ 1/x dx = ln|x| + C (x ≠ 0).
Piemēri
- ∫ x dx = x^2/2 + C.
- ∫ x^3 dx = x^4/4 + C.
- ∫ cos x dx = sin x + C.
- ∫ e^{2x} dx = (1/2) e^{2x} + C.
Metodes antiderivāciju atrašanai
- Mainīgā aizstāšana (substitūcija) — noder, ja integrands satur izteiksmi un tās atvasinājumu.
- Integrēšana pēc daļām — izmanto produktu formulu, kad integrands ir divu funkciju reizinājums.
- Daļas izdalīšana (partial fractions) — lieto racionālu funkciju integrēšanai, sadalot to vienkāršākos elementāros locekļos.
- Trigonometriskās un hiperboliskās substitūcijas — noder, ja integrandā parādās saknes vai kvadrātsummas.
Saikne ar noteikto integrālu un eksistence
Fundamentālais kalkula pieņēmums (Fundamental Theorem of Calculus) saista nenoteikto integrālu ar noteikto integrālu: ja F ir f antiderivācija uz slēgtas intervāla [a,b], tad
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
Turklāt, ja f ir nepārtraukta uz intervāla, tad f noteikti ir antiderivājama uz šī intervāla — tātad antiderivācija pastāv visiem nepārtrauktiem funkcionāļiem uz intervāliem.
Nobeigums
Nenoteiktā integrēšana (antiderivācija) ir pamatdarbība analizē, kas ļauj atgriezties no atvasinājuma uz sākotnējo funkciju, pievienojot integrācijas konstanti C. Tā ir būtiska gan teorētiskai matemātikai, gan praktiskām lietojumprogrammām fizikā, inženierzinātnēs un citur.
