Nenoteiktā integrēšana (antiderivācija): definīcija un piemēri

Nenoteiktā integrēšana (antiderivācija): skaidra definīcija, metodes un soli-pa-solim piemēri, lai apgūtu antiderivātus, integrāļus un to pielietojumu.

Autors: Leandro Alegsa

Antidiferencēšana (saukta arī par nenoteiktu integrēšanu) ir matemātikā lietota darbība, kas šoziem ir pretēja diferencēšanai. Ja funkcijai f(x) atrastā funkcija F(x) apmierina F'(x) = f(x), tad F ir f antiderivācija (antiderivatīvs).

Vienkāršāk sakot, antiderivācija dod funkciju, kuras atvasinājums atgriež sākotnējo funkciju. Antidiferencēšana ir cieši saistīta ar integrēšanu, bet nenoteiktajam integralam nav robežu — tāpēc to sauc par nenoteiktu.

Antiderivatīvu var izmantot, lai risinātu vienādojumus un modelētu dažādus lielumu. Antiderivāts pats par sevi ir cita veida funkcija, kas bieži tiek izmantota arī diferencēšanas pretējai operācijai.

Notācija un konstante

Nenoteikto integrālu pieraksta šādi: ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx}. {\displaystyle \int x\ dx}

Vispārīgais rezultāts nenoteiktajam integralam ietver integrācijas konstanti C, jo atvasināšanas operācija dzēš jebkuru pievienotu konstantu. Tātad, ja F'(x) = f(x), tad

∫ f(x) dx = F(x) + C, kur C ir jebkura konstante.

Biežāk lietotās formulas (pamatnoteikumi)

  • Jaunā jaudas noteikums: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, ja n ≠ −1.
  • Linearitāte: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx.
  • Eksponenciālā funkcija: ∫ e^x dx = e^x + C.
  • Trigonometriskās funkcijas: ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ sin x dx = −cos x + C.
  • Racionālās funkcijas: ∫ 1/x dx = ln|x| + C (x ≠ 0).

Piemēri

  • ∫ x dx = x^2/2 + C.
  • ∫ x^3 dx = x^4/4 + C.
  • ∫ cos x dx = sin x + C.
  • ∫ e^{2x} dx = (1/2) e^{2x} + C.

Metodes antiderivāciju atrašanai

  • Mainīgā aizstāšana (substitūcija) — noder, ja integrands satur izteiksmi un tās atvasinājumu.
  • Integrēšana pēc daļām — izmanto produktu formulu, kad integrands ir divu funkciju reizinājums.
  • Daļas izdalīšana (partial fractions) — lieto racionālu funkciju integrēšanai, sadalot to vienkāršākos elementāros locekļos.
  • Trigonometriskās un hiperboliskās substitūcijas — noder, ja integrandā parādās saknes vai kvadrātsummas.

Saikne ar noteikto integrālu un eksistence

Fundamentālais kalkula pieņēmums (Fundamental Theorem of Calculus) saista nenoteikto integrālu ar noteikto integrālu: ja F ir f antiderivācija uz slēgtas intervāla [a,b], tad

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Turklāt, ja f ir nepārtraukta uz intervāla, tad f noteikti ir antiderivājama uz šī intervāla — tātad antiderivācija pastāv visiem nepārtrauktiem funkcionāļiem uz intervāliem.

Nobeigums

Nenoteiktā integrēšana (antiderivācija) ir pamatdarbība analizē, kas ļauj atgriezties no atvasinājuma uz sākotnējo funkciju, pievienojot integrācijas konstanti C. Tā ir būtiska gan teorētiskai matemātikai, gan praktiskām lietojumprogrammām fizikā, inženierzinātnēs un citur.

Vienkārša integrācija

Lai integrētu a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}

  • Pievieno 1 līdz skaitlim n {\displaystyle n} nTādējādi a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}tagad ir a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}. {\displaystyle ax^{n+1}}
  • To visu daliet ar jauno lielumu, tātad tagad tas ir a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}}}. {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Pievienojiet konstanti c {\displaystyle c}{\displaystyle c} , lai tagad tas būtu a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

To var parādīt kā:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Ja ir daudz x {\displaystyle x} xlocekļu, integrējiet katru daļu atsevišķi:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Tas darbojas tikai tad, ja detaļas tiek pievienotas vai noņemtas.)

Piemēri

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}} dx=\ln |x+4|\reiz 1+c=\ln |x+4|+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Vieglāk ir pārveidot frakcijas un saknes par pilnvarām:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}}\x=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}} dx=\int x^{{\frac {3}{2}}\ dx={{\frac {x^{\frac {5}{2}}}}{{\frac {5}{2}}}}+c={{\frac {2}{5}}}x^{\frac {5}{2}}+c={{\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Skavas integrēšana ("ķēdes noteikums")

Ja vēlaties integrēt iekavās, piemēram, ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}}. {\displaystyle (2x+4)^{3}}, mums tas jādara citādi. To sauc par ķēdes noteikumu. Tas ir kā vienkārša integrēšana. Tas darbojas tikai tad, ja x {\displaystyle x} xiekavā ir 1 lielums (tas ir lineārs), piemēram, x {\displaystyle x} xvai 5 x {\displaystyle 5x}. {\displaystyle 5x}(nevis x 5 {\displaystyle x^{5}} {\displaystyle x^{5}}vai x - 7 {\displaystyle x^{-7}} {\displaystyle x^{-7}}).

Lai veiktu ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Pievienojiet 1 ar 3 {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} , lai tagad tas būtu ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}. {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • To visu daliet ar jauno lielumu, lai iegūtu ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • To visu daliet ar atvasinājumu no skavas ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}}=2\right)}}. {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}lai iegūtu ( 2 x + 4 ) 4 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}}{4\times 2}}}={\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}}}. {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Pievienojiet konstanti c {\displaystyle c}{\displaystyle c}, lai iegūtu 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}+c} {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Piemēri

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={{\frac {(x+1)^{6}}{6\reiz 1}}}+c={{\frac {1}{6}}}(x+1)^{6}+c\left(jo {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} } {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}} dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={{\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\reiz 7}}}+c=-{\frac {1}{56}}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} } {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Saistītās lapas

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir antidiferenciācija?


A: Antidiferencēšana (saukta arī par nenoteiktu integrēšanu) ir noteiktas funkcijas atrašanas process kalkulā. Tā ir pretēja diferencēšanai un ietver funkcijas apstrādi, lai iegūtu citu funkciju (vai funkciju klasi), ko sauc par antideferenciatīvu.

J: Kā to attēlo?


A: Ja to attēlo kā atsevišķus burtus, antiderivatīvs bieži vien ir lielo romiešu burtu formā, piemēram, F un G. Kopumā antiderivatīvu raksta formā ∫f(x) dx.

J: Ko ietver antidiferencēšana?


A: Antidiferencēšana ietver funkcijas apstrādi, lai iegūtu citu funkciju (vai funkciju klasi), ko sauc par antiderivatīvu.

J: Ar ko tā atšķiras no integrēšanas?


A: Antidiferencēšana atšķiras no integrēšanas ar to, ka tajā nav iekļautas robežas - tāpēc to sauc par nenoteiktu integrēšanu.

J: Kādi ir daži piemēri, kā var izteikt antidiferenciāciju?


A: Piemēri, kā var izteikt antidiferenciāciju, ir F un G, ja tos attēlo kā atsevišķus burtus, vai ∫f(x) dx, ja tos raksta vispārīgā formā.


Meklēt
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3