Antidiferencēšana

Antidiferencēšana (saukta arī par nenoteiktu integrēšanu) ir matemātikā veikta lieta. Tā ir pretēja diferencēšanai.

Antiderivatīvi var vispārīgi pastāstīt par lielumu. Antidiferencēšana tiek veikta tādām lietām kā vienādojumi. Antidiferencēšana dod jums lietu, ko sauc par antiderivatīvu. Antiderivāts ir cita veida vienādojums. Antidiferenciācija ir līdzīga integrēšanai, bet bez ierobežojumiem. Tāpēc to sauc par nenoteiktu.

Antiderivatīvu raksta šādi ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx}. {\displaystyle \int x\ dx}

Vienkārša integrācija

Lai integrētu a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}

  • Pievieno 1 līdz skaitlim n {\displaystyle n} nTādējādi a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}tagad ir a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}. {\displaystyle ax^{n+1}}
  • To visu daliet ar jauno lielumu, tātad tagad tas ir a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}}}. {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Pievienojiet konstanti c {\displaystyle c}{\displaystyle c} , lai tagad tas būtu a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

To var parādīt kā:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Ja ir daudz x {\displaystyle x} xlocekļu, integrējiet katru daļu atsevišķi:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Tas darbojas tikai tad, ja detaļas tiek pievienotas vai noņemtas.)

Piemēri

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}} dx=\ln |x+4|\reiz 1+c=\ln |x+4|+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Vieglāk ir pārveidot frakcijas un saknes par pilnvarām:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}}\x=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}} dx=\int x^{{\frac {3}{2}}\ dx={{\frac {x^{\frac {5}{2}}}}{{\frac {5}{2}}}}+c={{\frac {2}{5}}}x^{\frac {5}{2}}+c={{\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Skavas integrēšana ("ķēdes noteikums")

Ja vēlaties integrēt iekavās, piemēram, ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}}. {\displaystyle (2x+4)^{3}}, mums tas jādara citādi. To sauc par ķēdes noteikumu. Tas ir kā vienkārša integrēšana. Tas darbojas tikai tad, ja x {\displaystyle x} xiekavā ir 1 lielums (tas ir lineārs), piemēram, x {\displaystyle x} xvai 5 x {\displaystyle 5x}. {\displaystyle 5x}(nevis x 5 {\displaystyle x^{5}} {\displaystyle x^{5}}vai x - 7 {\displaystyle x^{-7}} {\displaystyle x^{-7}}).

Lai veiktu ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Pievienojiet 1 ar 3 {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} , lai tagad tas būtu ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}. {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • To visu daliet ar jauno lielumu, lai iegūtu ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • To visu daliet ar atvasinājumu no skavas ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}}=2\right)}}. {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}lai iegūtu ( 2 x + 4 ) 4 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}}{4\times 2}}}={\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}}}. {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Pievienojiet konstanti c {\displaystyle c}{\displaystyle c}, lai iegūtu 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}+c} {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Piemēri

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={{\frac {(x+1)^{6}}{6\reiz 1}}}+c={{\frac {1}{6}}}(x+1)^{6}+c\left(jo {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} } {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}} dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={{\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\reiz 7}}}+c=-{\frac {1}{56}}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} } {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Saistītās lapas

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir antidiferenciācija?


A: Antidiferencēšana (saukta arī par nenoteiktu integrēšanu) ir noteiktas funkcijas atrašanas process kalkulā. Tā ir pretēja diferencēšanai un ietver funkcijas apstrādi, lai iegūtu citu funkciju (vai funkciju klasi), ko sauc par antideferenciatīvu.

J: Kā to attēlo?


A: Ja to attēlo kā atsevišķus burtus, antiderivatīvs bieži vien ir lielo romiešu burtu formā, piemēram, F un G. Kopumā antiderivatīvu raksta formā ∫f(x) dx.

J: Ko ietver antidiferencēšana?


A: Antidiferencēšana ietver funkcijas apstrādi, lai iegūtu citu funkciju (vai funkciju klasi), ko sauc par antiderivatīvu.

J: Ar ko tā atšķiras no integrēšanas?


A: Antidiferencēšana atšķiras no integrēšanas ar to, ka tajā nav iekļautas robežas - tāpēc to sauc par nenoteiktu integrēšanu.

J: Kādi ir daži piemēri, kā var izteikt antidiferenciāciju?


A: Piemēri, kā var izteikt antidiferenciāciju, ir F un G, ja tos attēlo kā atsevišķus burtus, vai ∫f(x) dx, ja tos raksta vispārīgā formā.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3