Rēķini

Vēsture

1670. un 1680. gados sers Īzaks Ņūtons Anglijā un Gotfrīds Leibnics Vācijā vienlaicīgi, strādājot atsevišķi viens no otra, izdomāja kalkulu. Ņūtons vēlējās iegūt jaunu veidu, kā prognozēt, kur debesīs redzamas planētas, jo astronomija vienmēr bija populāra un noderīga zinātnes nozare, un zināt vairāk par objektu kustību nakts debesīs bija svarīgi kuģu navigācijai. Leibnics vēlējās izmērīt telpu (laukumu) zem līknes (līnijas, kas nav taisna). Daudzus gadus vēlāk abi vīri strīdējās par to, kurš to atklāja pirmais. Anglijas zinātnieki atbalstīja Ņūtonu, bet zinātnieki no pārējās Eiropas atbalstīja Leibnicu. Mūsdienās lielākā daļa matemātiķu piekrīt, ka abiem vīriem ir vienādi nopelni. Dažas mūsdienu matemātikas daļas, piemēram, tās lietojums fizikā, ir Ņūtona nopelns. Citas daļas ir Leibnica darbs, piemēram, tā rakstīšanai izmantotie simboli.

Viņi nebija pirmie, kas izmantoja matemātiku fizikālās pasaules aprakstīšanai - Aristotelis un Pitagors to darīja jau agrāk, tāpat kā Galileo Galilejs, kurš teica, ka matemātika ir zinātnes valoda. Taču gan Ņūtons, gan Leibnics bija pirmie, kas izveidoja sistēmu, kura apraksta, kā lietas mainās laika gaitā, un var paredzēt, kā tās mainīsies nākotnē.

Nosaukums "calculus" latīņu valodā apzīmēja mazu akmeni, ko senie romieši izmantoja skaitļošanā un azartspēlēs. Angļu vārds "calculate" ir cēlies no šī paša latīņu valodas vārda.

Diferenciālais aprēķins

Diferenciālrēķinu izmanto, lai noteiktu kāda mainīgā lieluma izmaiņu ātrumu salīdzinājumā ar citu mainīgo lielumu.

Reālajā pasaulē to var izmantot, lai noteiktu kustīga objekta ātrumu vai lai saprastu, kā darbojas elektrība un magnētisms. Tas ir ļoti svarīgi, lai izprastu fiziku un daudzas citas zinātnes jomas.

Diferenciālais aprēķins ir noderīgs arī grafiku veidošanai. To var izmantot, lai atrastu līknes slīpumu un līknes augstāko un zemāko punktu (tos sauc par maksimumu un minimumu).

Mainīgie var mainīt savu vērtību. Tas atšķiras no skaitļiem, jo skaitļi vienmēr ir vienādi. Piemēram, skaitlis 1 vienmēr ir vienāds ar 1, bet skaitlis 200 vienmēr ir vienāds ar 200. Mainīgos lielumus bieži rakstām kā burtus, piemēram, burtu x. "X" vienā brīdī var būt vienāds ar 1, bet citā brīdī - ar 200.

Daži mainīgo lielumu piemēri ir attālums un laiks, jo tie var mainīties. Objekta ātrums ir tas, cik tālu tas aiziet noteiktā laikā. Tātad, ja pilsēta atrodas 80 kilometru (50 jūdžu) attālumā un cilvēks ar automašīnu tur nokļūst vienā stundā, viņš ir braucis ar vidējo ātrumu 80 kilometru (50 jūdžu) stundā. Taču tas ir tikai vidējais rādītājs - iespējams, ka vienā brīdī viņi brauca ātrāk (pa šoseju), bet citā - lēnāk (pie luksofora vai uz mazas ielas, kur dzīvo cilvēki). Iedomājieties, ka autovadītājs mēģina noskaidrot automašīnas ātrumu, izmantojot tikai tās odometru (attāluma mērītāju) un pulksteni, bez spidometra!

Līdz brīdim, kad tika izgudrots rēķins, vienīgais veids, kā to noskaidrot, bija sagriezt laiku arvien mazākos gabaliņos, lai vidējais ātrums mazākā laika posmā būtu arvien tuvāks un tuvāks faktiskajam ātrumam noteiktā laika posmā. Tas bija ļoti ilgs un sarežģīts process, un tas bija jādara katru reizi, kad cilvēki vēlējās kaut ko noskaidrot.

Ļoti līdzīga problēma ir atrast slīpumu (cik stāvs tas ir) jebkurā līknes punktā. Taisnas līnijas slīpumu ir viegli noteikt - tas ir vienkārši tas, cik tā paceļas uz augšu (y jeb vertikāli), dalīts ar to, cik tā iet pāri (x jeb horizontāli). Taču līknei slīpums ir mainīgs lielums (dažādos punktos tam ir dažādas vērtības), jo līnija līkumo. Bet, ja līkni sagrieztu ļoti, ļoti mazos gabaliņos, līkne šajā punktā izskatītos gandrīz kā ļoti īsa taisne. Tāpēc, lai noteiktu tās slīpumu, caur punktu var novilkt taisni ar tādu pašu slīpumu kā līknei šajā punktā. Ja tas ir izdarīts precīzi pareizi, taisnei būs tāds pats slīpums kā līknei, un to sauc par pieskares taisni. Taču nav iespējams zināt (bez ļoti sarežģītas matemātikas), vai tangente ir precīzi pareiza, un mūsu acis nav pietiekami precīzas, lai pārliecinātos, vai tā ir precīza vai vienkārši ļoti tuva.

Ņūtons un Leibnics atrada veidu, kā, izmantojot vienkāršus un loģiskus noteikumus, precīzi noteikt slīpumu (vai ātrumu attāluma piemērā). Viņi sadalīja līkni bezgalīgi daudzos ļoti mazos gabaliņos. Pēc tam viņi izvēlējās punktus abās interesējošā diapazona pusēs un katrā no tiem izveidoja pieskares punktus. Kad punkti pietuvojās interesējošajam punktam, slīpums tuvojās noteiktai vērtībai, jo pieskārieni tuvojās līknes īstajam slīpumam. Konkrētā vērtība, kurai tā tuvojās, bija faktiskais slīpums.

Pieņemsim, ka mums ir funkcija y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f ir funkcijas saīsinājums, tāpēc šis vienādojums nozīmē "y ir x funkcija". Tas mums saka, ka tas, cik augstu y atrodas uz vertikālās ass, ir atkarīgs no tā, kāds tajā brīdī ir x (horizontālā ass). Piemēram, ar vienādojumu y = x {\displaystyle2 y=x^{2}}. , mēs zinām, ka, ja x {\displaystyle x} ir 1, tad y {\displaystyle y} būs 1; ja x {\displaystyle x} ir 3, tad y {\displaystyle y} būs 9; ja x {\displaystyle x} ir 20, tad y {\displaystyle y} būs 400. Atvasinājums, ko iegūst, izmantojot šo metodi, ir x 2{\displaystyle 2x}. jeb 2 reizināts ar x {\displaystyle x} . Tātad mēs zinām, nevelkot nekādas pieskaras līnijas, ka jebkurā līknes punktā f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}}. , atvasinājums f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (apzīmēta ar pirmtēla simbolu), jebkurā punktā būs x 2{\displaystyle 2x}. Šo slīpuma noteikšanas procesu, izmantojot robežas, sauc par diferencēšanu jeb atvasinājuma atrašanu.

Matemātiski atvasinājumu var rakstīt šādi: f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}. }

Leibnics nonāca pie tā paša rezultāta, bet nosauca h " d x {\displaystyle dx} ", kas nozīmē "attiecībā pret x". Iegūto f ( x ) izmaiņu viņš nosauca par {\displaystyle f(x)}. " d y {\displaystyle dy} ", kas nozīmē "neliela y daļa". Leibnica pierakstu lieto vairāk grāmatās, jo tas ir viegli saprotams, kad vienādojumi kļūst sarežģītāki. Leibnica: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}=f'(x)}

Matemātiķi šo pamatteoriju ir attīstījuši, lai izveidotu vienkāršus algebras noteikumus, kurus var izmantot, lai atrastu gandrīz jebkuras funkcijas atvasinājumu.

Uz līknes diviem dažādiem punktiem ir dažādas slīpumi. Sarkanā un zilā līnija ir līknes pieskares līknei.


Attēls, kas parāda, ko uz līknes nozīmē x un x + h.

Integrālais aprēķins

Integrālais aprēķins ir process, kurā aprēķina laukumu zem funkcijas grafika. Piemēram, aprēķinot automobiļa nobraukto attālumu: ja ir zināms automobiļa ātrums dažādos laika posmos un uzzīmēts šī ātruma grafiks, tad automobiļa nobrauktais attālums būs laukums zem grafika.

To var izdarīt, sadalot grafiku daudzos ļoti mazos gabaliņos un pēc tam zem katra gabaliņa uzzīmējot ļoti plānus taisnstūrus. Taisnstūrīši kļūst arvien plānāki un plānāki, un tie aizvien labāk nosedz laukumu zem grafika. Taisnstūra laukumu ir viegli aprēķināt, tāpēc mēs varam aprēķināt visu taisnstūru kopējo laukumu. Plānākiem taisnstūriem šī kopējā laukuma vērtība tuvojas laukumam zem grafika. Galīgo laukuma vērtību sauc par funkcijas integrāli.

Matemātikā funkcijas f(x) integrāli no a līdz b raksta kā ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Integrēšana ir saistīta ar laukumu atrašanu, ņemot vērā a, b un y = f(x).


Mēs varam aptuveni noteikt laukumu zem līknes, saskaitot daudzu taisnstūru laukumus zem līknes. Jo vairāk taisnstūru izmantosim, jo labāka būs mūsu aproksimācija.

Galvenie aprēķinu principi

Galveno ideju rēķināšanā sauc par rēķināšanas fundamentālo teorēmu. Šī galvenā ideja saka, ka abi kalkulācijas procesi - diferenciālais un integrālais aprēķins - ir pretēji. Tas nozīmē, ka cilvēks var izmantot diferenciālo aprēķinu, lai atceltu integrālā aprēķina procesu. Tāpat persona var izmantot integrālrēķinu, lai atceltu diferenciālrēķina metodi. Tas ir tāpat kā dalīšanu izmantot, lai "atceltu" reizināšanu, vai saskaitīšanu, lai "atceltu" atņemšanu.

Vienā teikumā fundamentālā teorēma ir apmēram šāda: "Funkcijas f integrāļa atvasinājums ir pati funkcija".

Citi aprēķina lietojumi

Kalkulusus izmanto, lai aprakstītu lietas, kas mainās, piemēram, lietas dabā. To visu var izmantot, lai parādītu un apgūtu:

• Kā viļņi pārvietojas. Viļņi ir ļoti svarīgi dabas pasaulē. Piemēram, skaņu un gaismu var uzskatīt par viļņiem.
• Kur siltums pārvietojas, piemēram, mājā. Tas ir noderīgi arhitektūrā (būvējot mājas), lai māju varētu apsildīt pēc iespējas lētāk.
• Kā darbojas tādas ļoti mazas lietas kā atomi.
• Tas, cik ātri kaut kas krīt, zināms arī kā gravitācija.
• Mašīnu darbība, ko dēvē arī par mehāniku.
• Mēness ceļš, tam pārvietojoties ap Zemi. Arī Zemes ceļš, kad tā pārvietojas ap Sauli, un jebkuras planētas vai Mēness ceļš, kad tas pārvietojas ap jebko kosmosā.