Kompleksais skaitlis ir skaitlis, kura raksturošanai nepieciešamas divas daļas: reālā daļa un iedomātā daļa. Tipisks kompleksā skaitļa pieraksts ir a + b i {\displaystyle a+bi} 
(vai a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), kur a ir reālā daļa un b — iedomātā daļa. Šeit i {\displaystyle i}
apzīmē īpašu iedomāto vienību, kuras kvadrāts ir -1: i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Tas ļauj atrisināt vienādojumus un veikt darbības, kas ar tīriem reāliem skaitļiem nebija iespējams.
Pamatīpašības un darbības
Kompleksajiem skaitļiem var piemērot ierastās aritmētiskās darbības: saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu. Tie dodies atbilstošas likumsakarības: komutatīvā, asociatīvā un sadales īpašība darbojas tāpat kā reālo skaitļu gadījumā. Piemēri:
- Saskaitīšana: (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i.
- Reizināšana: (a + b i)(c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i.
- Dalīšana (izmantojot kompleksā konjugātu):
Ja c + d i ≠ 0, tad
(a + b i)/(c + d i) = ((a + b i)(c − d i)) / (c^2 + d^2) = ((ac + bd) + (bc − ad) i) / (c^2 + d^2).
Kompleksā skaitļa z reālo daļu apzīmē ar ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
vai Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
, bet iedomāto daļu ar ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
vai Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
. Tātad, ja z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, tad a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
un b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
.
Geometriskā interpretācija
Kompleksos skaitļus var attēlot kā punktus vai vektorus divdimensiju plaknē (kompleksajā plaknē): x‑ass atbilst reālajai daļai, y‑ass — iedomātajai daļai. Tādējādi skaitlis a + b i {\displaystyle a+bi} atbilst punktam (a, b) — tas ir tas pats, ko var rakstīt kā sakārtotu pāri (a, b). Modulis |z| (attālums līdz sākumpunktam) un arguments arg(z) (leņķis pret reālo asi) ir svarīgas īpašības:
Modulis: |a + b i| = sqrt(a^2 + b^2). Piemērs: z = 3 + 4i → |z| = 5.
Polārā forma un Eulera formula
Komplekso skaitli var izteikt arī polārā formā: z = r (cos φ + i sin φ), kur r = |z| un φ = arg(z). Izmantojot Eulera formulu, tas bieži tiek rakstīts kā z = r e^{iφ}. Šī saikne ir fundamentāla analīzē, signālu apstrādē un fizikā, jo tā savieno eksponenciālas funkcijas ar trigonometriskajām funkcijām.
Kopas un notācija
Visu komplekso skaitļu kopu parasti apzīmē ar C {\displaystyle \mathbb {C} } 
. Katrs reālais skaitlis ir arī komplekss skaitlis ar iedomāto daļu 0, t.i., a = a + 0·i.
Vēsture un pielietojumi
Komplekso skaitļu ideja radās, risinot algebraiskus vienādojumus ar negatīvām vērtībām zem saknes. Lai atrisinātu, piemēram, kvadrātvienādojumu, kur nepieciešama kvadrātsakne no negatīva skaitļa, matemātiķi ieviesa simbolu i {\displaystyle i}. Vēsturiski nozīmīgi bija Džerolāmo Kardano un Rafaēle Bombelli (16. gadsimts), bet Leonhards Eulers popularizēja mūsdienu notāciju i {\displaystyle \mathrm {i}. }
.
Kompleksie skaitļi ir plaši izmantoti daudzās nozarēs: diferenciālvienādojumu risināšanā, signālu un attēlu apstrādē, kvantu fizikā, elektrotehnikā un citur. Elektrotehnikā bieži lieto simbolu j {\displaystyle j}
iedomātajai vienībai, jo elektrotehnikā i {\displaystyle i} parasti apzīmē elektrisko strāvu, un tāpēc, lai izvairītos no pārpratumiem, tiek lietots j.
Piemēri
- Vienādojums x^2 + 1 = 0; risinājumi: x = ±i {\displaystyle i}.
- Multiplikācija: (2 + 3i)(1 − 4i) = 2 − 8i + 3i − 12i^2 = (2 + 12) + (−5)i = 14 − 5i.
- Konjugāts: ja z = 3 + 4i, tad z̄ = 3 − 4i; z·z̄ = 3^2 + 4^2 = 25 = |z|^2.
Komplekso skaitļu apgūšana sniedz noderīgu pamatu tālākai matemātikas, fizikas un inženierzinātņu studijai. Ja vēlaties, varu sagatavot īsu uzdevumu komplektu ar risinājumiem, lai praktiski parādītu darbības ar kompleksajiem skaitļiem.
