Komplekss skaitlis
Kompleksais skaitlis ir skaitlis, taču tas daudzos aspektos atšķiras no parastajiem skaitļiem. Komplekso skaitli veido divi skaitļi, kas apvienoti kopā. Pirmā daļa ir reāls skaitlis. Kompleksā skaitļa otrā daļa ir iedomāts skaitlis. Svarīgākais iedomātais skaitlis ir i {\displaystyle i}
, ko definē kā skaitli, kas kvadrātā ("kvadrātā" nozīmē "reizināts ar sevi") būs -1: i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Visi pārējie iedomātie skaitļi ir i {\displaystyle i}, kas reizināts ar reālu skaitli, tāpat kā visus reālos skaitļus var uzskatīt par 1, kas reizināts ar citu skaitli. Ar kompleksajiem skaitļiem var izmantot tādas aritmētiskās funkcijas kā saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana. Tāpat kā reālajiem skaitļiem, arī tiem piemīt komutatīvās, asociatīvās un sadales īpašības.
Kompleksie skaitļi tika atklāti, mēģinot atrisināt īpašus vienādojumus, kuros ir eksponenti. Tie matemātiķiem sāka radīt reālas problēmas. Salīdzinājumam, izmantojot negatīvus skaitļus, ir iespējams atrast x vienādojumā a + x = b {\displaystyle a+x=b}
visām reālajām a un b vērtībām, bet, ja x ir atļauts izmantot tikai pozitīvus skaitļus, dažkārt nav iespējams atrast pozitīvu x, kā vienādojumā 3 + x = 1.
Ar eksponenciēšanu ir grūtības, kas jāpārvar. Nav tāda reāla skaitļa, kuru kvadrējot iegūst -1. Citiem vārdiem sakot, -1 (vai jebkuram citam negatīvam skaitlim) nav reālas kvadrātsaknes. Piemēram, nav reāla skaitļa x {\displaystyle x}
, kas atrisinātu ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. Lai atrisinātu šo problēmu, matemātiķi ieviesa simbolu i un nosauca to par iedomāto skaitli. Tas ir iedomātais skaitlis, kuru kvadrējot iegūst -1.
Iespējams, ka pirmie matemātiķi, kas to izdomāja, bija Džerolāmo Kardano un Rafaēle Bombelli. Viņi dzīvoja 16. gadsimtā. Iespējams, Leonhards Eulers bija tas, kurš ieviesa rakstīšanu i {\displaystyle \mathrm {i}. }
šim skaitlim.
Visus kompleksos skaitļus var rakstīt kā a + b i {\displaystyle a+bi} 
(vai a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), kur a sauc par skaitļa reālo daļu, bet b - par iedomāto daļu. Mēs rakstām ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
vai Re ( z ) {\displaystyle \operatora nosaukums {Re}. (z)}
kompleksā skaitļa z reālajai daļai {\displaystyle z}
. Tātad, ja z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, rakstām a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatora nosaukums {Re}). (z)}
. Līdzīgi mēs rakstām ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
vai Im ( z ) {\displaystyle \operatora nosaukums {Im}} (z)}
kompleksā skaitļa z iedomātajai daļai {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
Katrs reālais skaitlis ir arī kompleksais skaitlis; tas ir kompleksais skaitlis z ar ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Komplekso skaitli var pierakstīt arī kā sakārtotu pāri (a, b). Gan a, gan b ir reālie skaitļi. Jebkuru reālo skaitli var vienkārši rakstīt kā a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
vai kā pāri (a, 0).
Dažreiz i {\displaystyle j}
vietā raksta j {\displaystyle i} . Elektrotehnikā i {\displaystyle i} nozīmē elektrisko strāvu. Rakstot i {\displaystyle i}, var rasties daudz problēmu, jo daži skaitļi elektrotehnikā ir sarežģīti skaitļi.
Visu komplekso skaitļu kopu parasti raksta kā C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
Darbības ar kompleksajiem skaitļiem
Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, reizināšana, dalīšana, ja vien dalītājs nav nulle, un eksponentizācija (skaitļu palielināšana līdz eksponentiem) ir iespējama ar kompleksajiem skaitļiem. Ar kompleksajiem skaitļiem ir iespējami arī daži citi aprēķini.
Sarežģītu skaitļu saskaitīšanas un atņemšanas likums ir diezgan vienkāršs:
Lai z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
, tad z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, un z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Ar reizināšanu ir nedaudz savādāk:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Vēl viena ievērojama komplekso skaitļu operācija ir konjugācija. Kompleksais konjugāts z z - z {\displaystyle {\displaystyle {\overline {z}}}}
z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} ir a - b i {\displaystyle a-bi}
. Tas ir diezgan vienkārši, bet ir svarīgi aprēķiniem, jo z × z z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
pieder pie reālajiem skaitļiem visiem kompleksajiem z {\displaystyle z}} :
z z i = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}}. 
.
To varam izmantot, lai veiktu dalīšanu:
1 z = z z z z z z = a - b i a 2 + b 2 = a a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}}={\frac {\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Citas komplekso skaitļu aprakstīšanas formas
Kompleksos skaitļus var attēlot tā sauktajā kompleksajā plaknē. Ja jums ir skaitlis z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , jūs varat doties uz punktu uz reālās ass un uz b uz iedomātās ass un uzzīmēt vektoru no ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
uz ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
. Šā vektora garumu var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu un leņķi starp pozitīvo reālo asi un šo vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Vektora garumu skaitlim z {\displaystyle z} sauc par tā moduli (rakstīts kā | z | {\displaystyle |z|}
), un leņķi sauc par tā argumentu ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
Tas noved pie komplekso skaitļu apraksta trigonometriskās formas: saskaņā ar sinusa un kosinusa definīcijām, visiem z {\displaystyle z} apzīmē, ka
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Tas ir cieši saistīts ar De Moivra formulu.
Pastāv vēl cita forma, ko sauc par eksponenciāloformu.
Komplekso skaitli var vizuāli attēlot kā divus skaitļus, kas veido vektoru uz Arganda diagrammas, kura attēlo komplekso plakni.
Secinājums
Līdz ar komplekso skaitļu pievienošanu matemātikai katram polinomam ar kompleksiem koeficientiem ir saknes, kas ir kompleksie skaitļi. Veiksmīga komplekso skaitļu pievienošana matemātikai palīdzēja arī pavērt ceļu uz citu skaitļu veidu radīšanu, kas varētu atrisināt un palīdzēt izskaidrot daudzas dažādas problēmas, piemēram, hiperkompleksi skaitļi, sedenions, hiperreāli skaitļi, sirreāli skaitļi un daudzi citi. Skatiet skaitļu veidus.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir sarežģīts skaitlis?
A: Kompleksais skaitlis ir skaitlis, kas sastāv no divām daļām, no kurām pirmā daļa ir reālais skaitlis un otrā daļa ir iedomāts skaitlis.
J: Kāds ir vissvarīgākais iedomātais skaitlis?
A: Svarīgākais iedomātais skaitlis ir i, ko definē kā skaitli, kas kvadrātā būs -1.
J: Kā ar kompleksajiem skaitļiem izmanto aritmētiskās funkcijas?
A: Ar kompleksajiem skaitļiem var izmantot tādas aritmētiskās funkcijas kā saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana. Arī tām tāpat kā reālajiem skaitļiem ir komutatīvās, asociatīvās un sadales īpašības.
J: Kāds simbols apzīmē komplekso skaitļu kopu?
A: Komplekso skaitļu kopu bieži apzīmē ar simbolu C.
J: Kāpēc tika atklāti kompleksie skaitļi?
A: Kompleksie skaitļi tika atklāti, mēģinot atrisināt īpašus vienādojumus, kuros ir eksponenti, jo tie matemātiķiem radīja reālas problēmas.
J: Kurš ieviesa i rakstību šim skaitļu veidam?
A: Iespējams, Leonhards Eulers bija tas, kurš ieviesa i rakstīšanu šāda veida skaitlim.
J: Kā komplekso skaitli var pierakstīt kā sakārtotu pāri?
A: Komplekso skaitli var rakstīt kā sakārtotu pāri (a, b), kur gan a, gan b ir reāli skaitļi.
