Kompleksais skaitlis — definīcija, reālā un iedomātā daļa
Kompleksais skaitlis ir skaitlis, kura raksturošanai nepieciešamas divas daļas: reālā daļa un iedomātā daļa. Tipisks kompleksā skaitļa pieraksts ir a + b i {\displaystyle a+bi} 
(vai a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), kur a ir reālā daļa un b — iedomātā daļa. Šeit i {\displaystyle i}
apzīmē īpašu iedomāto vienību, kuras kvadrāts ir -1: i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Tas ļauj atrisināt vienādojumus un veikt darbības, kas ar tīriem reāliem skaitļiem nebija iespējams.
Pamatīpašības un darbības
Kompleksajiem skaitļiem var piemērot ierastās aritmētiskās darbības: saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu. Tie dodies atbilstošas likumsakarības: komutatīvā, asociatīvā un sadales īpašība darbojas tāpat kā reālo skaitļu gadījumā. Piemēri:
- Saskaitīšana: (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i.
- Reizināšana: (a + b i)(c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i.
- Dalīšana (izmantojot kompleksā konjugātu):
Ja c + d i ≠ 0, tad
(a + b i)/(c + d i) = ((a + b i)(c − d i)) / (c^2 + d^2) = ((ac + bd) + (bc − ad) i) / (c^2 + d^2).
Kompleksā skaitļa z reālo daļu apzīmē ar ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
vai Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
, bet iedomāto daļu ar ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
vai Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
. Tātad, ja z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, tad a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
un b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
.
Geometriskā interpretācija
Kompleksos skaitļus var attēlot kā punktus vai vektorus divdimensiju plaknē (kompleksajā plaknē): x‑ass atbilst reālajai daļai, y‑ass — iedomātajai daļai. Tādējādi skaitlis a + b i {\displaystyle a+bi} atbilst punktam (a, b) — tas ir tas pats, ko var rakstīt kā sakārtotu pāri (a, b). Modulis |z| (attālums līdz sākumpunktam) un arguments arg(z) (leņķis pret reālo asi) ir svarīgas īpašības:
Modulis: |a + b i| = sqrt(a^2 + b^2). Piemērs: z = 3 + 4i → |z| = 5.
Polārā forma un Eulera formula
Komplekso skaitli var izteikt arī polārā formā: z = r (cos φ + i sin φ), kur r = |z| un φ = arg(z). Izmantojot Eulera formulu, tas bieži tiek rakstīts kā z = r e^{iφ}. Šī saikne ir fundamentāla analīzē, signālu apstrādē un fizikā, jo tā savieno eksponenciālas funkcijas ar trigonometriskajām funkcijām.
Kopas un notācija
Visu komplekso skaitļu kopu parasti apzīmē ar C {\displaystyle \mathbb {C} } 
. Katrs reālais skaitlis ir arī komplekss skaitlis ar iedomāto daļu 0, t.i., a = a + 0·i.
Vēsture un pielietojumi
Komplekso skaitļu ideja radās, risinot algebraiskus vienādojumus ar negatīvām vērtībām zem saknes. Lai atrisinātu, piemēram, kvadrātvienādojumu, kur nepieciešama kvadrātsakne no negatīva skaitļa, matemātiķi ieviesa simbolu i {\displaystyle i}. Vēsturiski nozīmīgi bija Džerolāmo Kardano un Rafaēle Bombelli (16. gadsimts), bet Leonhards Eulers popularizēja mūsdienu notāciju i {\displaystyle \mathrm {i}. }
.
Kompleksie skaitļi ir plaši izmantoti daudzās nozarēs: diferenciālvienādojumu risināšanā, signālu un attēlu apstrādē, kvantu fizikā, elektrotehnikā un citur. Elektrotehnikā bieži lieto simbolu j {\displaystyle j}
iedomātajai vienībai, jo elektrotehnikā i {\displaystyle i} parasti apzīmē elektrisko strāvu, un tāpēc, lai izvairītos no pārpratumiem, tiek lietots j.
Piemēri
- Vienādojums x^2 + 1 = 0; risinājumi: x = ±i {\displaystyle i}.
- Multiplikācija: (2 + 3i)(1 − 4i) = 2 − 8i + 3i − 12i^2 = (2 + 12) + (−5)i = 14 − 5i.
- Konjugāts: ja z = 3 + 4i, tad z̄ = 3 − 4i; z·z̄ = 3^2 + 4^2 = 25 = |z|^2.
Komplekso skaitļu apgūšana sniedz noderīgu pamatu tālākai matemātikas, fizikas un inženierzinātņu studijai. Ja vēlaties, varu sagatavot īsu uzdevumu komplektu ar risinājumiem, lai praktiski parādītu darbības ar kompleksajiem skaitļiem.
Darbības ar kompleksajiem skaitļiem
Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, reizināšana, dalīšana, ja vien dalītājs nav nulle, un eksponentizācija (skaitļu palielināšana līdz eksponentiem) ir iespējama ar kompleksajiem skaitļiem. Ar kompleksajiem skaitļiem ir iespējami arī daži citi aprēķini.
Sarežģītu skaitļu saskaitīšanas un atņemšanas likums ir diezgan vienkāršs:
Lai z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
, tad z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, un z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Ar reizināšanu ir nedaudz savādāk:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Vēl viena ievērojama komplekso skaitļu operācija ir konjugācija. Kompleksais konjugāts z z - z {\displaystyle {\displaystyle {\overline {z}}}}
z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} ir a - b i {\displaystyle a-bi}
. Tas ir diezgan vienkārši, bet ir svarīgi aprēķiniem, jo z × z z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
pieder pie reālajiem skaitļiem visiem kompleksajiem z {\displaystyle z}}
:
z z i = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}}. 
.
To varam izmantot, lai veiktu dalīšanu:
1 z = z z z z z z = a - b i a 2 + b 2 = a a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}}={\frac {\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Citas komplekso skaitļu aprakstīšanas formas
Kompleksos skaitļus var attēlot tā sauktajā kompleksajā plaknē. Ja jums ir skaitlis z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , jūs varat doties uz punktu uz reālās ass un uz b uz iedomātās ass un uzzīmēt vektoru no ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
uz ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
. Šā vektora garumu var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu un leņķi starp pozitīvo reālo asi un šo vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Vektora garumu skaitlim z {\displaystyle z} sauc par tā moduli (rakstīts kā | z | {\displaystyle |z|}
), un leņķi sauc par tā argumentu ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
Tas noved pie komplekso skaitļu apraksta trigonometriskās formas: saskaņā ar sinusa un kosinusa definīcijām, visiem z {\displaystyle z} apzīmē, ka
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Tas ir cieši saistīts ar De Moivra formulu.
Pastāv vēl cita forma, ko sauc par eksponenciāloformu.
Komplekso skaitli var vizuāli attēlot kā divus skaitļus, kas veido vektoru uz Arganda diagrammas, kura attēlo komplekso plakni.
Secinājums
Līdz ar komplekso skaitļu pievienošanu matemātikai katram polinomam ar kompleksiem koeficientiem ir saknes, kas ir kompleksie skaitļi. Veiksmīga komplekso skaitļu pievienošana matemātikai palīdzēja arī pavērt ceļu uz citu skaitļu veidu radīšanu, kas varētu atrisināt un palīdzēt izskaidrot daudzas dažādas problēmas, piemēram, hiperkompleksi skaitļi, sedenions, hiperreāli skaitļi, sirreāli skaitļi un daudzi citi. Skatiet skaitļu veidus.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir sarežģīts skaitlis?
A: Kompleksais skaitlis ir skaitlis, kas sastāv no divām daļām, no kurām pirmā daļa ir reālais skaitlis un otrā daļa ir iedomāts skaitlis.
J: Kāds ir vissvarīgākais iedomātais skaitlis?
A: Svarīgākais iedomātais skaitlis ir i, ko definē kā skaitli, kas kvadrātā būs -1.
J: Kā ar kompleksajiem skaitļiem izmanto aritmētiskās funkcijas?
A: Ar kompleksajiem skaitļiem var izmantot tādas aritmētiskās funkcijas kā saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana. Arī tām tāpat kā reālajiem skaitļiem ir komutatīvās, asociatīvās un sadales īpašības.
J: Kāds simbols apzīmē komplekso skaitļu kopu?
A: Komplekso skaitļu kopu bieži apzīmē ar simbolu C.
J: Kāpēc tika atklāti kompleksie skaitļi?
A: Kompleksie skaitļi tika atklāti, mēģinot atrisināt īpašus vienādojumus, kuros ir eksponenti, jo tie matemātiķiem radīja reālas problēmas.
J: Kurš ieviesa i rakstību šim skaitļu veidam?
A: Iespējams, Leonhards Eulers bija tas, kurš ieviesa i rakstīšanu šāda veida skaitlim.
J: Kā komplekso skaitli var pierakstīt kā sakārtotu pāri?
A: Komplekso skaitli var rakstīt kā sakārtotu pāri (a, b), kur gan a, gan b ir reāli skaitļi.
