Imaginārie skaitļi (i): definīcija, piemēri un pielietojums

Imaginārie skaitļi: skaidra definīcija, saprotami piemēri un praktiski pielietojumi matemātikā, fizikā un inženierzinātnē — uzzini, kā darbojas i un kompleksie skaitļi.

Imagināri skaitļi ir skaitļi, kas rodas, ieviešot īpašu vienību i, kuras definīcija ir i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}. Tātad i ir skaitlis, kura kvadrāts ir -1. Imagināros skaitļus parasti traktē atsevišķi no negatīvajiem reālajiem skaitļiem, jo tie nav reāli — nav tāda reāla skaitļa, kuru reizinot ar sevi varētu iegūt negatīvu vērtību (piemēram, 3*3 = 9 un -3*-3 = 9).

Definīcija un pamati

Imaginārais skaitlis i apmierina vienādojumu i² = -1. No tā izriet, piemēram, ka (ai)·(bi) = -ab jeb reizinot divus tīrus imaginārus skaitļus, iegūst reālu negatīvu skaitli. Tomēr parasti runājam ne tikai par tīriem imagināriem skaitļiem, bet par kompleksajiem skaitļiem z = x + yi, kur x un y ir reāli skaitļi. Šajā izteiksmē x sauc par reālo daļu, bet y — par imagināro daļu.

Aritmētiskās darbības

Galvenās darbības ar imaginārajiem un kompleksajiem skaitļiem:

• Saskaitīšana un atņemšana: skaitļus saskaita komponentu pa komponentai: (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i.
• Reizināšana: izmantojot distributivitāti un i² = −1: (x1 + y1i)(x2 + y2i) = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i.
• Dalīšana: lai dalītu z1 / z2, parasti izmanto z2 kompleksā konjugāta reizinājumu, lai iznīcinātu imagināro daļu apakšā (skat. zemāk par konjugātu).

Geometriskā interpretācija

Kompleksos skaitļus var uzskatīt par punktiem vai vektoriem koordinātu plaknē (kompleksā plakne), kur x ass ir reālā daļa, y ass — imaginārā daļa. Šai plaknei reizēm izmanto nosaukumu Arganda vai Gausa plakne.

Viens viegls vizuāls piemērs ar virzieniem, kas aprakstīts sākotnējā tekstā, ir šāds: pozitīva reālā daļa nozīmē pārvietošanos uz austrumiem, negatīva — uz rietumiem; pozitīva imaginārā daļa (piem., i) nozīmē pārvietošanos uz ziemeļiem, negatīva imaginārā daļa (piem., -i) — uz dienvidiem. Šī interpretācija palīdz saprast, kā darbojas saskaitīšana un reizināšana (reizināšana var ietvert rotāciju plaknē).

Modulis, argumenta un konjugāts

• Modulis: modulis (garums) |z| = sqrt(x² + y²) nosaka attālumu no koordinātu sākuma līdz punktam z = x + yi.
• Arguments (fase): arg(z) ir leņķis, ko vektors aizņem attiecībā pret pozitīvo reālo asi. To parasti izsaka radiānos vai grādos.
• Kompleksa konjugāts: ja z = x + yi, tad z̄ = x − yi. Konjugāts noder dalīšanā un reālo izteiksmes iegūšanā: z·z̄ = x² + y² = |z|².

Polārā forma un Eulera formula

Komplekso skaitļu polārā forma ir z = r(cos θ + i sin θ), kur r = |z| un θ = arg(z). Izmantojot Eulera formulu, to var ierakstīt kā z = r e^{iθ}. Polārā forma padara reizināšanu un dalīšanu vienkāršāku: reizinot, moduļi reizinās un argumenti saskaitās; dalot, moduļi dalās un argumenti atņemās.

Kvadrātsaknes un vienādojumu risināšana

Viens no iemesliem, kāpēc tika ieviesti imaginārie skaitļi, ir kvadrātsakņu apstrāde no negatīviem skaitļiem. Piemēram, sakne no -9 nebija iespējama reālos skaitļos; ar imaginārajiem skaitļiem mēs varam teikt, ka sqrt(-9) = 3i. Kompleksie skaitļi ļauj atrisināt kvadrātvienādojumus, kuru diskriminants ir negatīvs, kā arī plaši izmantot algebraiskās un analītiskās metodes.

Praktiski piemēri

• 2 + 3i: reālā daļa 2, imaginārā daļa 3.
• (1 + 2i)(3 − i) = 3 + 6i − i − 2i² = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i.
• Dalīšana: (1 + i) / (1 − i) = ((1 + i)(1 + i)) / ((1 − i)(1 + i)) = (1 + 2i + i²) / (1 + 1) = (1 + 2i −1)/2 = i.

Pielietojumi zinātnē un inženierijā

Imaginārie un kompleksie skaitļi ir būtiski daudzās jomās:

• Elektrotehnikā un elektronikas projektēšanā kompleksie skaitļi apraksta sinusoīdālu signālu fāzi un amplitūdu; praktiski inženieri biežāk lieto j kā imagināro vienību, lai izvairītos no apjukuma ar strāvas simbolu i.
• Signālu apstrādē un komunikācijās izmanto kompleksās Fourier transformācijas, lai analizētu frekvenču saturu.
• Kontroles sistēmās, elektromagnētismā, kvantu fizikā un augstas enerģijas fizikā kompleksie skaitļi ir neatņemama vienādojumu risināšanā un teoriju formulēšanā — to lieto tikpat bieži kā reālos skaitļus (skat. arī fizikas un kvantu fizikas piemērus).
• Matemātikā kompleksā analīze (funkcijas kompleksās mainīgās) ir spēcīgs instruments gan teorētiskai, gan pielietotai izpētei.

Vēsturisks konteksts un nosaukums

Historiski aritmētiskie paplašinājumi (piem., negatīvie skaitļi, daļskaitļi) radās, lai atrisinātu praktiskas problēmas. Tāpat ilgi šķita neiespējami risināt dažus uzdevumus bez jaunas vienības — tā radās i. Nosaukums imagināraisi ir tikpat "reāls" un noderīgs skaitlis kā 3 vai 145379.

Saprotamā salīdzinājuma iepriekš minētais piemērs ar virzieniem

Analogu parādīto piemēru ar virzieniem var formulēt skaidrāk: negatīvs reāls skaitlis apgriež kustības virzienu par 180°, savukārt reizināšana ar i atbilst rotācijai par +90° (pretēji pulksteņrādītāja kustībai), bet reizināšana ar -i — rotācijai par -90°. Tādējādi reizināšana ar imagināro vienību ir vienkāršs rotācijas operators kompleksajā plaknē.

Kopsavilkums

• Imaginārais skaitlis i nodrošina kvadrātsakni no -1: i² = −1.
• Kompleksie skaitļi z = x + yi apvieno reālo un imagināro daļu un "dzīvo" kompleksajā plaknē.
• Kompleksie skaitļi ir pamats daudziem matemātikas un inženierzinātņu jomas rīkiem, savienojot ģeometriju, algebru un analīzi.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir iedomāts skaitlis?

Q: Ar ko iedomātie skaitļi atšķiras no reālajiem negatīvajiem skaitļiem?

J: Ko tas nozīmē, kad mēs sakām "ej uz austrumiem par -i jūdzi"?

J: Kā saskaitīt divus iedomātus skaitļus?

J: Kas ir saliktie skaitļi?

J: Kādās jomās matemātiķi izmanto iedomātās vienības jēdzienu?

Meklēt pēc burta