Dalīšana ar nulli

Matemātikā skaitli nevar dalīt ar nulli. Ievēro:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Ja B = 0, tad C = 0. Tas ir taisnība. Bet:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(kur B=0, tātad mēs vienkārši dalām ar nulli).

Kas ir tas pats, kas:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Problēma ir tā, ka A {\displaystyle A} $A$ var būt jebkurš skaitlis. Tas darbotos, ja A {\displaystyle A} $A$ būtu 1 vai ja tas būtu 1 000 000 000 000. Šā iemesla dēļ 0/0 tiek dēvēts par "nenoteiktas formas", jo tam nav vienas vērtības. Savukārt skaitļus formā A/0, kur A {\displaystyle A} $A$ nav 0, sauc par "nenoteiktiem" vai "nenoteiktiem". Tas ir tāpēc, ka jebkurš mēģinājums tos definēt novedīs pie vērtības bezgalība, kas pati par sevi ir nenoteikta. Parasti, ja divi skaitļi ir vienādi, tie ir vienādi viens otram. Tas tā nav, ja tas, kam abi skaitļi ir vienādi, ir 0/0. Tas nozīmē, ka parastie matemātikas noteikumi nedarbojas, ja skaitlis tiek dalīts ar nulli.

Nepareizi pierādījumi, kuru pamatā ir dalīšana ar nulli

Dalīšanas ar nulli īpašo gadījumu ir iespējams maskēt ar algebrisku argumentu. Tas var novest pie nederīgiem pierādījumiem, piemēram, 1=2, kā turpmāk:

Ar šādiem pieņēmumiem:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\0\times 2&=0.\end{aligned}}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Šādiem apgalvojumiem jābūt patiesiem:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Dalot ar nulli, iegūstam:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}reiz 1={\frac {0}{0}}}reiz 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Vienkāršojiet:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Kļūda ir pieņēmums, ka dalīšana ar 0 ir likumīga darbība ar 0/0 = 1.

Lielākā daļa cilvēku, iespējams, atzītu, ka iepriekš minētais "pierādījums" ir nepareizs, taču to pašu argumentu var pasniegt tā, ka kļūdu pamanīt ir grūtāk. Piemēram, ja 1 tiek rakstīts kā x, tad 0 var slēpties aiz x-x un 2 aiz x+x. Tad iepriekš minēto pierādījumu var attēlot šādi:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

tāpēc:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Dalot ar x - x, iegūstam:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

un dalot ar x, iegūstam:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Iepriekš minētais "pierādījums" ir nepareizs, jo, dalot ar x-x, tas dalās ar nulli, jo jebkurš skaitlis, no kura atņemts pats sevi, ir nulle.

Aprēķins

Aprēķinos iepriekš minētās "nenoteiktās formas" rodas arī tiešas aizstāšanas rezultātā, novērtējot robežas.

Dalīšana ar nulli datoros

Ja datorprogramma mēģina dalīt veselu skaitli ar nulli, operētājsistēma parasti to konstatē un aptur programmu. Parasti tā izdrukā "kļūdas ziņojumu" vai dod programmētājam padomu, kā uzlabot programmu^[]. Dalīšana ar nulli ir bieži sastopama datorprogrammēšanas kļūda. Dalot skaitļus ar peldošo komatspunktu (decimālskaitļus) ar nulli, parasti tiek iegūta vai nu bezgalība, vai īpaša NaN (nav skaitlis) vērtība atkarībā no tā, kas tiek dalīts ar nulli.

Dalīšana ar nulli ģeometrijā

Ģeometrijā 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Šī bezgalība (projektīvā bezgalība) nav ne pozitīvs, ne negatīvs skaitlis, tāpat kā nulle nav ne pozitīvs, ne negatīvs skaitlis.

Jautājumi un atbildes

J: Kāds ir skaitļa dalīšanas ar nulli rezultāts?

A: Dalot skaitli ar nulli, iegūst "nenoteiktu" vai "nenoteiktu formu", kas nozīmē, ka tam nav vienas vērtības.

J: Ko nozīmē 0/0?

A: 0/0 ir "nenoteiktas formas" skaitlis, jo tam nav vienas vērtības.

J: Kas notiek, ja divi skaitļi ir vienādi, bet tie ir 0/0?

A: Parastie matemātikas likumi nedarbojas, ja skaitlis tiek dalīts ar nulli, tāpēc abi skaitļi nebūs vienādi viens otram.

Vai ir taisnība, ka, mēģinot definēt skaitli formā A/0, tiks iegūta vērtība bezgalība?

A: Jā, jebkurš mēģinājums definēt skaitli formā A/0 (kur A nav 0) radīs vērtību bezgalība, kas pati par sevi nav definēta.

J: Kā noteikt, vai divi skaitļi ir vienādi viens otram?

A: Mēs varam noteikt, vai divi skaitļi ir vienādi viens otram, pārbaudot, vai tie abi ir vienādi vienai un tai pašai lietai. Parasti tas darbojas, tomēr tas nedarbojas, ja abi skaitļi ir vienādi 0/0.

J: Vai ir kāds izņēmums, kad skaitli nevar dalīt ar nulli? A: Jā, matemātikā nav iespējams dalīt skaitli ar nulli.