Matemātikā vārds "dalīšana" nozīmē darbību, kas ir pretēja reizināšanai. Daži dalīšanas simboli var būt slīpsvītra, līnija vai dalīšanas zīme ( ÷ {\displaystyle \div }{\displaystyle \div } ), piemēram:

6 / 3 {\displaystyle 6/3\,} vai{\displaystyle 6/3\,}6 3 {\displaystyle {\frac {6}{3}}} vai {\displaystyle {\frac {6}{3}}}6 ÷ 3. {\displaystyle 6\div 3.} {\displaystyle 6\div 3.}

Katrs no šiem trim skaitļiem nozīmē "6 dalīts ar 3", un atbilde ir 2. Pirmais skaitlis ir dalāmais (dividenze) — šeit 6, bet otrais skaitlis ir dalītājs — šeit 3. Rezultāts (jeb atbilde) ir kvantients. Veseliem skaitļiem jebkuru atlikušo summu sauc par "atlikumu" (piemēram, 14/4 dod 3, bet atlikums ir 2, jo skaitlis 3+2⁄4, tas pats, kas 3+1⁄2 vai 3,5).

Skaitļi var būt ļoti lieli, piemēram, divi simti: 200/5 = 40 vai 7 miljardi: 7 000 000 000 000 / 1000 = 7 000 000 000 (ir 7 miljoni).

Kas ir dalīšana — īsi un saprotami

Dalīšana ir darbība, ar kuru mēs noskaidrojām, cik reizes viens skaitlis (dalītājs) iet citā skaitlī (dalāmais). Ja dalās precīzi bez atlikuma, sakām, ka dalāmais ir dalāms ar dalītāju vai ka dalīšana ir bezatliekuma (piem., 6 ÷ 3 = 2). Ja paliek atlikums, to pieraksta kā veselu daļu un atlikumu vai kā decimāldaļu (piem., 14 ÷ 4 = 3 ar atlikumu 2, tas pats kā 3,5).

Galvenie termini

  • Dalāmais (dividenze) — skaitlis, kuru dalām (piem., 6).
  • Dalītājs — skaitlis, ar kuru dalām (piem., 3).
  • Kvocients — dalīšanas rezultāts (piem., 2).
  • Atlikums — tas, kas paliek pāri, ja dalīšana neatdod precīzu veselu skaitli (piem., 14 ÷ 4 → atlikums 2).

Matemātiskā forma un teorēma

Euclida dalīšanas (Eiklīda dalīšanas) teikums: ja a un b ir veseli skaitļi un b ≠ 0, tad pastāv vienīgi tādi veseli skaitļi q (kvocients) un r (atlikums), ka

a = b · q + r, kur 0 ≤ r < |b|. Tas nozīmē, ka dalīšana ar veseliem skaitļiem dod unikālu kvocientu un atlikumu.

Dažādi dalīšanas veidi un pieraksti

  • Frakcijas: 6/3 vai {@literal \frac{6}{3}}.
  • Dalīšanas zīme: 6 ÷ 3.
  • Decimāldaļas: ja dalīšana nav bez atlikuma, bieži pieraksta rezultātu kā decimāldaļu (piem., 1 ÷ 4 = 0,25).
  • Reizināšanas pretējs: dalīšana ar b ir tas pats, kas reizināšana ar b apgriezto skaitli (reciprokā), t.i., a ÷ b = a × (1/b), ja b ≠ 0.

Svarīgas īpašības un piesardzība

  • Dalīšana nav komutatīva: a ÷ b nav tas pats kas b ÷ a.
  • Dalīšana nav asociatīva: (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c) kopumā.
  • Dalīšana ar nulli nav definēta: a ÷ 0 nav nozīmīgs darbības rezultāts matemātikā.
  • Ja atlikums ir 0, saka, ka dalāmais ir daļāms ar dalītāju (divisible).

Kā aprēķināt dalīšanu

Ir vairākas metodes: galda (galvu) aprēķins, īss dalīšanas veids, garais dalīšanas algoritms skolā, un modernās skaitļošanas metodes datoros. Garā dalīšana rāda pa posmiem, kā no kreisās uz labo iegūt kvocientu un atlikumu.

Piemēri

  • 6 ÷ 3 = 2 — precīza dalīšana, atlikums 0.
  • 14 ÷ 4 = 3 ar atlikumu 2, jo 14 = 4·3 + 2.
  • 1 ÷ 3 = 0,333... — dotais rezultāts ir atkārtojošs decimālskaitlis.
  • 200 ÷ 5 = 40 — piemērs ar lielākiem skaitļiem.
  • 7 miljardi: 7 000 000 000 000 ÷ 1000 = 7 000 000 000 (ir 7 miljoni) — rādījums, ka arī ar ļoti lieliem skaitļiem dalīšana darbojas tāpat.

Dalīšana programmēšanā un skaitļos

Programmēšanā parasti nodala veselu dalījumu (integer division) un realu skaitļu dalījumu: vesels dalījums 14 ÷ 4 bieži dod 3 (atlikums tiek ignorēts vai pieejams atsevišķi), bet reālais dalījums dod 3,5. Dažās valodās ir arī operācijas, kas atgriež atlikumu (modulo operācija).

Praktiskie padomi

  • Lai noteiktu, vai skaitlis ir daļāms ar 2, 5 vai 10, pietiek skatīties pēdējo ciparu; ar 3 vai 9 — summējot ciparus; ar 11 — izmantojot atbilstošu dalāmības testu.
  • Praksē izmanto dalīšanu, lai sadalītu resursus, aprēķinātu vidējos lielumus, konvertētu vienības, strādātu ar procentiem un daudzās citās ikdienas situācijās.

Dalīšana ir pamata aritmētiskā darbība, kas saprotama kā reizināšanas pretējā darbība, ar plašu pielietojumu gan teorētiskā matemātikā (piem., skaitļu teorijā), gan praktiskajās situācijās (finanses, inženierzinātnes, programmēšana u.c.).