Matrica — definīcija, īpašības un piemēri lineārajā algebrā

Horizontālās līnijas matricā sauc par rindām, bet vertikālās līnijas - par kolonnām. Matricu ar m rindām un n kolonnām sauc par m-by-n matricu (vai m×n matricu), un m un n ir tās dimensijas.

Vietas matricā, kur atrodas skaitļi, sauc par ierakstiem. Matricas A ierakstu, kas atrodas rindā ar numuru i un stabiņā ar numuru j, sauc par A ierakstu i,j. To raksta kā A[i,j] vai _ai,j.

Mēs rakstām A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}, lai definētu m × n matricu A, kurā katru ierakstu matricā sauc par _ai,j visiem 1 ≤ i ≤ m un 1 ≤ j ≤ n.

Piemērs

Matrica

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}}}

ir 4×3 matrica. Šai matricai ir m=4 rindas un n=3 kolonnas.

Elements A[2,3] jeb a2,₃ ir 7.

Papildinājums

Divu matricu summa ir matrica, kuras (i,j)-tais ieraksts ir vienāds ar divu matricu (i,j)-to ierakstu summu:

[ 1 3 2 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 7 5 0 2 1 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Abām matricām ir vienādas dimensijas. Šeit A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} ir taisnība.

Divu matricu reizināšana

Divu matricu reizināšana ir nedaudz sarežģītāka:

[ a 1 a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\{bmatrica}}={{\begin{bmatrica}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}}}

Tāpat ir ar Numbers:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\{bmatrix}}}={{\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• divas matricas var savstarpēji reizināt pat tad, ja tām ir dažādas dimensijas, ja vien pirmās matricas kolonnu skaits ir vienāds ar otrās matricas rindu skaitu.
• reizināšanas rezultāts, ko sauc par reizinājumu, ir cita matrica ar tādu pašu rindu skaitu kā pirmā matrica un tādu pašu kolonnu skaitu kā otrā matrica.
• matricu reizināšana nav komutatīva, kas nozīmē, ka A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}.
• matricu reizināšana ir asociatīva, kas nozīmē, ka ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Ir dažas īpašas matricas.

Kvadrātveida matrica

Kvadrātveida matricai ir tikpat rindu, cik kolonnu, tātad m=n.

Kvadrātveida matricas piemērs ir

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}}5&-2&4\0&9&1\-7&6&8\\\\end{bmatrix}}}

Šai matricai ir 3 rindas un 3 kolonnas: m=n=3.

Identitāte

Katrai matricas kvadrātdimensiju kopai ir īpašs ekvivalents, ko sauc par "identitātes matricu". Identitātes matricā ir tikai nulles, izņemot galveno diagonāli, kur ir vieninieki. Piemēram:

[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0\0&0&0&1\\\\end{bmatrix}}}

ir identitātes matrica. Katrai kvadrātdimensiju kopai ir tieši viena identitātes matrica. Identitātes matrica ir īpaša, jo, reizinot jebkuru matricu ar identitātes matricu, rezultāts vienmēr ir sākotnējā matrica bez izmaiņām.

Apvērstā matrica

Inversā matrica ir matrica, kas, reizināta ar citu matricu, ir vienāda ar identitātes matricu. Piemēram:

[ 7 8 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\\{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\-6&7\\{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\0&1\\{bmatrix}}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}} ir apgrieztais [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\end{bmatrix}}}. .

2x2 matricas [ x y y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} apgrieztās vērtības formula ir:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}}}.

Kur d e t {\displaystyle det} ir matricas determinants. 2x2 matricai determinants ir vienāds ar:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Viena slejas matrica

Matricu, kurai ir daudz rindu, bet tikai viens stabiņš, sauc par stabiņu vektoru.

Determinants izmanto kvadrātveida matricu un aprēķina vienkāršu skaitli - skalāru. Lai saprastu, ko šis skaitlis nozīmē, ņem katru matricas sleju un uzzīmē to kā vektoru. Paralelogramam, ko zīmē šie vektori, ir laukums, kas ir determinants. Visām 2x2 matricām formula ir ļoti vienkārša: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\\end{bmatrix}}}\right)=ad-bc}

3x3 matricām formula ir sarežģītāka: Det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Lielāku matricu determinantiem nav vienkāršu formulu, un daudzi programmētāji pēta, kā likt datoriem ātri atrast lielus determinantus.

Determinantu īpašības

Visiem noteicošajiem faktoriem ir trīs noteikumi. Tie ir šādi:

• Identitātes matricas determinants ir 1
• Ja tiek apmainītas divas matricas rindas vai divas kolonnas, tad determinants tiek reizināts ar -1. Matemātiķi to sauc par pārmaiņus.
• Ja visi skaitļi vienā rindā vai kolonnā tiek reizināti ar citu skaitli n, tad determinants tiek reizināts ar n. Arī tad, ja matricai M ir sleja v, kas ir divu sleju matricu v 1 {\displaystyle v_{1}} un v 2 {\displaystyle v_{2}} summa. , tad M determinants ir M ar v 1 {\displaystyle v_{1}} vietā v un M ar v 2 {\displaystyle v_{2}} vietā v determinantu summa. Šos divus nosacījumus sauc par multilinearitāti.

• Lineārā algebra
• Skaitliskā lineārā algebra