Dimensijas ir veids, kā mēs aprakstām, redzam, mēram un izjūtam pasauli. Tās ļauj noteikt virzienus (piem., uz augšu/uz leju, no labās uz kreiso pusi), attālumus, kā arī fizikālas īpašības (karsts–auksts, smagums, garums) un abstraktākus jēdzienus matemātikā un fizikā. Viens no praktiskiem dimensijas skaidrojumiem ir saistīts ar brīvības pakāpēm — t.i., ar veidiem, kā objekts var pārvietoties noteiktā telpā. Termins "dimensija" tiek lietots dažādos kontekstos, un nav vienas universālas definīcijas, kas aptvertu visus šos kontekstus.

Vektoru telpā (vektors var tikt uzskatīts par virzienu vai virziena un garuma kombināciju) dimensija parasti tiek definēta kā vektoru bāzes elementu kardinalitāte — tas ir, minimālais skaits neatkarīgu vektoru, no kuriem var izteikt jebkuru telpas vektoru lineāri. Praktiski tas nozīmē: ja telpai nepieciešami n neatkarīgi virzieni, lai aprakstītu visus iespējamos vektorus, tad tai ir dimensija n. Piemēram, parastā trīsdimensiju telpa, ko matemātiķi sauc par Eiklīda telpu, ir trīsdimensiju, jo pietiek trīs neatkarīgiem virzieniem (garums, platums, dziļums) jeb koordinašu asīm.

Dimensijas kā pozīcijas un koordinates

Dimensijas izmanto arī pozīcijas mērīšanai. Attālumu līdz kādai pozīcijai no izvēlēta sākuma punkta parasti izsaka pa neatkarīgām dimensijām — piemēram, garuma, platuma un augstuma virzienā. Šīs koordinātas (x, y, z) nosaka punktu viennozīmīgi, ja dimensijas ir neatkarīgas. Atkarībā no problēmas var lietot arī citas koordinātu sistēmas (polāras, cilindriskas, sfēriskas), taču dimensiju skaits paliek tas pats.

0D, 1D, 2D, 3D — vienkārši piemēri

  • 0 dimensijas: punkts — nav garuma, platuma vai augstuma.
  • 1 dimensija: līnija vai ceļš — var pārvietoties tikai uz priekšu un atpakaļ (piem., dzelzceļš).
  • 2 dimensijas: plakne — objekti var pārvietoties gar divām neatkarīgām asīm (piem., karte, zīmējums).
  • 3 dimensijas: telpa — mums pazīstamā fiziskā pasaule, kurā objektam ir garums, platums un augstums (piem., kaste vai ķermenis).

Ceturtdimensija un laiks

Dažkārt tiek pievienota ceturtā (4D) dimensija — laiks, lai aprakstītu notikuma atrašanās vietu gan telpā, gan laikā. Fizikā šo pieeju izmanto, veidojot četrdimensiju laika‑telpas modeļus (piem., Minkovska laika‑telpa speciālajā relativitātē), kur katram notikumam piešķir četru koordinātu komplektu (t, x, y, z). Svarīgi atzīmēt, ka laiks fizikā darbojas citādi nekā telpas dimensijas — relatīvistiskajos rāmjos laiks un telpa ir savstarpēji saistīti, un vienlaicīguma jēdziens kļūst atkarīgs no novērotāja kustības.

Dažādas dimensiju definīcijas matemātikā

Matemātikā dimensija var tikt definēta vairākos veidos atkarībā no konteksta:

  • Lineārās algebras dimensija — kā minēts, bāzes elementu skaits vektoru telpā.
  • Topoloģiskā dimensija — saistīta ar atklājošām vāciņu pārklājumu īpašībām; piemēram, plaknei ir topoloģiskā dimensija 2.
  • Manifolda dimensija — lokāli izskatās kā R^n; gluda virsma (piem., sfēra) ir 2‑dimensiju manifolds.
  • Fraktālā vai Hausdorfa dimensija — ļauj aprakstīt "daļēji fraktālas" struktūras ar neveselu dimensiju vērtību (piem., Kokera līknes ir vairāk nekā 1, bet mazāk par 2 dimensiju).

Dimensijas fizikā un citos zinātnes laukos

Fizikā dimensiju jēdziens ietver gan telpas un laika koordinates, gan arī parametrus, kas apraksta sistēmas stāvokli. Piemēram, fāzu telpa apraksta visas iespējamās sistēmas stāvokļus un parasti ir augstākas dimensijas objekts (katram daļiņas koordinātei atbilst ātruma koordināta — kopā ļoti daudzas dimensijas). Mūsdienu teorijās, piemēram, super‑vai stīgu teorijās, tiek pieņemta papildu telpiskā dimensija pastāvēšana (kompaktificētas vai "saspiestas" nelielos mērogos), kas var būt nepieejama tiešai novērošanai.

Praktiskas piezīmes un secinājums

Dimensija ir rīks, kas palīdz strukturēt informāciju par telpiskām, laika vai vispārīgām konfigurācijas īpašībām. Atkarībā no tā, vai strādā ar vektoru telpām, manifoldiem, fraktāliem vai fizikālām sistēmām, jāizvēlas atbilstoša dimensijas definīcija. Tāpēc ir svarīgi saprast kontekstu: matemātikā dimensija bieži ir skaitlis, kas izriet no konkrētas definīcijas (bāzes lielums, topoloģiskā īpašība, Hausdorfa mērījums), savukārt fizikā dimensijas saistās arī ar mērvienībām, metriem un novērojamiem efektiem.