Virpuļveidība - definīcija, formula un nozīme šķidrumu dinamikā
Virpuļveidība: skaidra definīcija, formulas un saikne ar cirkulāciju. Uzzini nozīmi šķidrumu dinamikā, matemātiskos izteiksmes un praktiskos piemērus.
Virpuļošana (virpuļveidība, angļu: vorticity) ir svarīgs matemātisks un fizikāls jēdziens šķidrumu dinamikā. Tā kvantificē lokālo šķidruma elementa rotāciju un saistās ar “cirkulāciju” ap nelielu apgabalu. Virpuļveidība palīdz saprast, kā rodas un attīstās virpuļi, kā veidojas robežslāņi un kā rodas spēki uz ķermeņiem plūsmā.
Definīcija un saikne ar cirkulāciju
Vidējais virpuļveidīgums nelielā plūsmas apgabalā definējas kā cirkulācijas Γ attiecība pret apgabala laukumu A — tas ir, cik liela ir kopējā “rotācija” uz vienu laukuma vienību:
Vidējā vorticity: ω_av = Γ / A
Cirkulācija Γ tiek definēta kā slēgta kontūra līnijas integrālis no ātruma vektora, Γ = ∮_C v · dl, kur integrāla orientāciju nosaka labās rokas noteikums (orientācija saistīta ar normālo virsmai).
Teorētiski punktveida virpuļveidību iegūst kā robežu, kad neliela apgabala laukums tuvinās nulli:
ω = dΓ / dA
Matemātiskā izteiksme
Virpuļveidība punktā ir vektors, kas ir ātruma lauka “rotācija” jeb virziens un lielums, ko definē kā operatora nabla rotāciju:
ω → = ∇ → × v → . {\displaystyle {\vec {\omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}. } 
Trīsdimensionālā plūsmā ω ir trīskomponentu vektors. Divdimensiju plūsmā (piem., ātruma lauks (u,v) plaknē x–y) tiek lietota vienīga vektora komponenta perpendikulāri plaknei: ω_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y. Fizikālā nozīmē skalāra virpuļveidība 2D plūsmā ir saistīta ar lokālo leņķisko ātrumu — vorticity bieži ir divreiz lielāka par rūpīgi definēto vietējo rotācijas ātrumu (ar zīmi, atkarībā no orientācijas).
Fizikālā nozīme un īpašības
- Lokālā rotācija: vorticity apraksta to, cik ātri un kā virzās šķidruma elementi ap savu centru; tas nav vienkārši cirkulācija ap ārējo kontūru, bet lokāla īpašība.
- Vienības: vorticity mēra s−1 (sekundes inversā), tāpat kā leņķiskais ātrums.
- Virpuļu ģenerēšana: virpuļi bieži rodas pie cietām sienām (robežslānī) sakarā ar naviļņojumu un nulle ātruma nosacījumu pie sienas, kā arī strauju spiediena gradientu vai ātruma gradients plūsmā.
- Robežslāņa loma: potenciālās (bezvirpuļošanas) plūsmas pieņēmums nozīmē, ka ω ≈ 0 gandrīz visur, izņemot robežslāni vai brīvo virsmu, kuri tieši robežojas ar robežslāni; praktiski vorticity šajās zonās var būt lielāks un izplūst uz aizmuguri kā virpuļi.
- Konservācija un likumi: ideālai (nespiedošai, neviskozei) barotropai plūsmai darbojas Kelvina cirkulācijas teorema — cirkulācija gar materiālu kontūru saglabājas, kas nozīmē, ka vorticity var pārvietoties un deformēties, bet kopējā cirkulācija paliek konstantā, ja nav ārēju momentu vai viskozitātes.
Praktiskie piemēri un nozīme inženierijā
- Pacēlums uz spārna: Kutta–Joukowski teorema saista liftu ar cirkulāciju: spārna vienības garuma liftu L' var izteikt kā L' = ρ U∞ Γ, kur ρ ir gaisa blīvums, U∞ ir brīvās straumes ātrums, Γ — ap spārnu izveidotā cirkulācija.
- Vēji un meteoroloģija: atmosferiskie virpuļi (piem., tornādo) ir liela mēroga vorticity izpausmes; vorticity analīze palīdz prognozēt ciklonu attīstību.
- Turbulences un sajaukšanās: virpuļi un to ķēdes veidošanās ir centrāls mehānisms, kā notiek enerģijas pāreja starp skalām turbulencē.
- Virsmas plūsmas un aizmugures virpuļi: no cietajiem priekšmetiem plūstoša šķidruma aizmugurē bieži atdalās robežslānis un veido vorteksu virkni, kas ietekmē spiedienu un pretestību.
Mērīšana, modelēšana un piemēri
Vorticity var mērīt eksperimentāli ar PIV (Particle Image Velocimetry) metodi, kur attīstot ātruma lauku tiek skaitliski aprēķinātas gradientiskas izmaiņas. Skaitliski CFD modelēs virpuļveidību aprēķina, izmantojot diskrētas diferenciālvienādojumu metodes, atceroties, ka asāki ātruma gradienti prasa smalkāku tīklu vai virpuļu uzturēšanas modeļus (LES / RANS).
Virpulis kā vorticity koncentrāts
Tā kā virpulis ir lokāli koncentrēta virpuļveidības daļa, to bieži izmanto kā modeļa elementu — piemēram, punktu virpuli vai daļiņu virpuli teorētiskās plūsmās. Šādi modeļi ļauj aprakstīt nenulles virpuļveidību konkrētos apgabalos un izpētīt tās mijiedarbību ar apkārtējo plūsmu un citiem virpuļiem.
Kopsavilkums
Virpuļveidība ir centrāls jēdziens šķidrumu dinamikā: tā sasaista lokālo rotāciju (ātruma gradientus) ar globālo cirkulāciju, nosaka virpuļu veidošanos un attīstību, un ir būtiska gan teorētiskām analīzēm (piem., potenciālajai plūsmai un Kelvina teoremām), gan praktiskai inženiertehniskai lietojumai (spārnu dizains, turbīnas, hidrodinamika un meteoroloģija).
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir vortēlijs?
A: Virpuļveidība ir matemātisks jēdziens, ko izmanto šķidrumu dinamikā un kas attiecas uz "cirkulācijas" vai "rotācijas" (precīzāk, lokālās rotācijas leņķisko ātrumu) daudzumu šķidrumā.
J: Kā aprēķina virpuļveidību?
A: Vidējais virpuļveidīgums nelielā šķidruma plūsmas apgabalā ir vienāds ar cirkulāciju ap nelielā apgabala robežu, kas dalīta ar nelielā apgabala laukumu A. Matemātiski to var definēt arī kā ātruma izliekumu kādā punktā.
Vai ir kāds pamatpieņēmums, kas saistīts ar virpuļveidību?
Jā, viens no potenciālās plūsmas pieņēmuma pamatpieņēmumiem ir tāds, ka virpuļveidība ir nulle gandrīz visur, izņemot robežslānī vai straumes virspusē, kas tieši robežojas ar robežslāni.
J: Kas notiek, ja ir apgabali ar nenulles virpuļveidību?
A: Šos apgabalus var modelēt ar virpuļiem, jo tie ir apgabali ar koncentrētu virpuļveidību.
J: Ko apzīmē Γ?
A: Γ attēlo cirkulāciju ap nelielu apgabalu.
J: Ko apzīmē ω?
A: ω attēlo vidējo virpuļveidību nelielā apgabalā, kā arī ātruma vektoru un izliekumu kādā punktā.
Meklēt