Nevienlīdzība ir tad, ja viens objekts ir:
- mazāks par otru ( a < b {\displaystyle \ a<b} nozīmē,
ka a ir mazāks par b). - lielāks par otru ( a > b {\displaystyle \ a>b} nozīmē,
ka a ir lielāks par b). - nav mazāks par otru ( a ≥ b {\displaystyle a\geq b}
nozīmē, ka a nav mazāks par b, t. i., tas ir vai nu lielāks, vai vienāds ar b). - nav lielāks par otru ( a ≤ b {\displaystyle a\leq b}
nozīmē, ka a nav lielāks par b — tas ir, a ir mazāks vai vienāds ar b).
Dažkārt nevienlīdzību lieto, lai nosauktu apgalvojumu, ka viena izteiksme ir mazāka, lielāka, nav mazāka vai nav lielāka par otru.
Ko nozīmē stingrā un nestingrā nevienādība
Stingrās nevienādības apzīmē ar < un > (piem., a < b nozīmē, ka a ir stingri mazāks par b — tie nekad nav vienādi). Nestingrās (vai iekļaujošās) nevienādības apzīmē ar ≤ un ≥ (piem., a ≤ b nozīmē, ka a var būt mazāks vai vienāds ar b).
Galvenie noteikumi un likumi
- Pievienojot vai atņemot vienādu skaitli no abām pusēm, nevienādība saglabājas. Piem., ja a < b, tad a + c < b + c.
- Reizināšana vai dalīšana ar pozitīvu skaitli saglabā nevienādību: ja a < b un k > 0, tad ka < kb.
- Reizināšana vai dalīšana ar negatīvu skaitli apgriež nevienādību: ja a < b un k < 0, tad ka > kb (jāapgriež < vai > zīme).
- Transitivitāte: ja a < b un b < c, tad a < c.
Kā risina vienkāršas lineāras nevienādošanas
Risināšanas princips ir līdzīgs vienādojumu risināšanai — mērķis ir vienādojumā izolēt mainīgo, taču jāievēro nevienādību noteikumi (īpaši par zīmes apgriešanu, reizinot vai dalot ar negatīvu).
Piemērs 1: 2x + 3 < 7
- Atņem 3 no abām pusēm: 2x < 4
- Dalot ar 2 (pozitīvs): x < 2
- Risinājums intervālā: x ∈ (-∞, 2)
Piemērs 2 (reizināšana ar negatīvu): -2x > 6
- Dalot ar -2 (negatīvs), jāapgriež zīme: x < -3
Grafiska attēlošana uz skaitļu ass
Risinājumus parasti attēlo uz skaitļu ass ar:
- Atvērtu aplīti (vai bultu) — ja nevienādība ir stingra (< vai >).
- Aizvērtu punktu — ja nevienādība ir iekļaujoša (≤ vai ≥).
- Bultas, ja risinājums iet uz bezgalību (piem., x > 2 attēlo open circle pie 2 un bultu pa labi).
Intervālu pieraksts
Risinājumu kopas parasti izsaka ar intervālu pierakstu:
- x < 2 atbilst (-∞, 2)
- x ≤ 5 atbilst (-∞, 5]
- a ≤ x < b atbilst [a, b)
Sistēmas ar vairākām nevienādībām
Ja ir vairākas nevienādības vienā sistēmā, risinājums ir to risinājumu krustpunkts (kopiena). Piemēram, sistēma
1 < x ≤ 4
dotu risinājumu (1, 4].
Piemēri ikdienā
- Budžets: "Izdevumi nedrīkst pārsniegt 500 €" — ja x ir izdevumu summa, tad x ≤ 500.
- Auguma prasība: "Augstums jābūt vismaz 150 cm" — ja h ir augums, tad h ≥ 150.
Biežāk pieļautās kļūdas
- Aizmirst apgriezt nevienādības zīmi, dalot vai reizinot ar negatīvu skaitli.
- Neuzmanība, pārnesot locekļus no vienas puses uz otru (jāpārvērš pareizi ar pretējām darbībām).
Nevienādības ir fundamentāls rīks matemātikā, fizikā, ekonomikā un ikdienas situāciju modelēšanā — tās ļauj ierobežot, salīdzināt un definēt pieļaujamus vērtību diapazonus. Ja nepieciešams, varu pievienot vairāk praktisku uzdevumu ar risinājumiem vai grafiskiem piemēriem.
