Vienādība un ekvivalence: definīcija matemātikā, ģeometrijā un informātikā

Izzinošs raksts par vienādību un ekvivalenci matemātikā, ģeometrijā un informātikā — definīcijas, piemēri, kongruence, līdzība un salīdzināšanas operatori.

Matemātikā — vienādība un ekvivalence

Vienādība matemātikā izsaka, ka divas lietas ir pilnīgi identiskas visos raksturlielumos, un to parasti žīmē ar vienādības zīmi (=). Teikums x = y nozīmē, ka x un y apzīmē to pašu objektu vai to pašu matemātisko vērtību. Vienādība matemātikā ievēro vairākas svarīgas īpašības:

• refleksivitāte: katrs objekts ir vienāds ar sevi (x = x);
• simetrija: ja x = y, tad y = x;
• tranzitivitāte: ja x = y un y = z, tad x = z;
• substitūcijas princips (Leibniza likums): viss, kas ir patiess par x, ir patiess arī par y, ja x = y.

Apgalvojums, kas apgalvo, ka divi izteicieni apzīmē vienādus lielumus, saucas vienādojums. Vienādojumu risināšana meklē tos mainīgo vērtību kopumus, kuri padara vienādojumu par patiesu. Pretstatā ir nevienādības, kas izsaka, ka divi lielumi nav vienādi.

Bez stingras vienādības matemātikā bieži izmanto plašāku jēdzienu — ekvivalenci. Ekvivalence parasti tiek formalizēta kā ekvivalences attiecība uz kādas kopa elementiem: tā ir bināra attiecība, kas ir refleksīva, simetriska un tranzitīva. Ekvivalences attiecība dala kopu ekvivalences klasēs (klasēm), un katra ekvivalences klase satur elementus, kas ir “vienādi” attiecīgā nozīmē (piem., dalāmības pēc skaitļa moduļa). No tā izriet kvocienta kopa vai dalījums pēc ekvivalences.

Ir svarīgi atšķirt:

• vienādību kā absolūtu identitāti (piem., skaitļi 2 un 2);
• ekvivalenci kā relatīvu vienādību attiecīgā kontekstā (piem., skaitļi, kas ir vienādi pēc atlikuma dalot ar 5 — 2 ≡ 7 (mod 5)).

Matemātikā arī pastāv jēdzieni, kas saistīti ar “līdzību” slāņiem: izomorfisms algebriskos objektos, homeomorfisms topoloģijā u. c. — tie nozīmē, ka struktūras ir “ekvivalentas” no attiecīgā skatpunkta, kaut arī nav burtiski identiskas.

Ģeometrijā — kongruence un līdzība

Ģeometrijā bieži lieto terminu kongruence. Divas figūras tiek sauktas par kongruentām, ja tās sakrīt, ja vienu no tām var pārvietot (translācija), pagriezt (rotācija) vai atspoguļot (spoguļtransformācija) tā, ka visi atbilstošie punkti sakrīt. Kongruence ir stingra vienādības forma ģeometrijā — izmēri un forma pilnībā sakrīt.

Ja figūrai ir jāmaina mērogs (palielinot vai samazinot), tā vairs nav kongruenta, bet var būt līdzīga. Līdzīgas figūras saglabā attiecības starp leņķiem un proporcijas starp garumiem, bet nav identiskas izmēros.

Ģeometrijā pastāv arī citas attiecības, piemēram, paralelitāte, ortogonalitāte, un transformāciju grupas (rigid transformācijas, skalāro transformāciju), kuras nosaka, kādiem pārvietojumiem objekti tiek uzskatīti par “vienādiem” attiecīgā kontekstā.

Datorzinātnē — identitāte pret vienādību

Datorzinātnē šie jēdzieni tiek pārņemti no matemātikas, bet praksei ir specifiskas nianses. Programmēšanā parasti atšķir:

• piešķiršana (assignment) — mainīgajam tiek piešķirta vērtība, to parasti raksta ar = vai :=;
• vērtību salīdzināšana (value equality) — vai divi objekti satur vienādas vērtības;
• identitāte (object identity) — vai divi atsauces/rādītāji norāda uz vienu un to pašu objekta instanci atmiņā.

Dažādās programmēšanas valodās šīs operācijas apzīmē ar dažādiem operatoriem: bieži salīdzināšanai izmanto ==, bet piešķiršanai — = vai :=. Tomēr valodu semantika var atšķirties: piemēram, dažas valodas (vai to bibliotēkas) atšķir == (salīdzina vērtību) un === (stingra tipa un vērtības salīdzināšana), bet citiem ir objekta identitātes operators (piem., Python is).

Objektorientētajās valodās un valodās ar rādītājiem ir svarīga atšķirība starp to, ko satur objekts, un atsaucēm uz objektu. Ja divas atsauces norāda uz to pašu objektu, tās ir identiskas; ja norāda uz dažādiem objektiem, tās var būt neidentiskas, pat ja to iekšējās vērtības sakrīt. Tādēļ daudzās valodās eksistē gan identitātes salīdzināšana, gan vēl viens līmenis — metodiska vērtību salīdzināšana. Piemēram, Java valodā tiek lietots equals (vai pārdefināts equals()), kas salīdzina objektu saturu pēc definētām prasībām, savukārt operators == pārbauda, vai atsauces ir vienādas (norāda uz to pašu instanci).

Praktiski piemēri: divas virknes var būt vienādas pēc satura (vērtību), bet atšķirīgas pēc identitātes, ja tās ir divas atsevišķas objekta instances; primitīvi tipa dati (skaitļi, boolean) parasti tiek salīdzināti pēc vērtības.

Sociālajās zinātnēs — sociālā vienādība

Sociālajās zinātnēs vārds “vienlīdzība” attiecas uz cilvēku stāvokļa, iespēju vai tiesību salīdzināmību. Atkarībā no definīcijas var runāt par:

• vienlīdzību pirms likuma — vienas tiesības un pienākumi ikvienam;
• ekonomisko vienlīdzību — ienākumu vai īpašuma sadale;
• iedzimtības vai iespēju vienlība — vienādas iespējas izglītībā, veselībā utt.;
• kultūras vai sociālās atbilstības — cilvēkus var uzskatīt par vienlīdzīgiem, ja viņiem ir līdzvērtīgs statuss, izglītība vai loma sabiedrībā.

Cilvēkus, kuri sociālā kontekstā tiek uzskatīti par līdzvērtīgiem (piem., vecuma vai statuss), dažkārt sauc par vienaudžiem vai par peers (angļu termins). Tomēr sociālajā diskusijā jāizdara skaidrojums, vai runa ir par vienlīdzību formāli (tiesiskā) vai rezultātu līmenī (materiālā), jo tie ir atšķirīgi koncepti ar atšķirīgām politiskām un ētiskām sekām.

Kopsavilkums

• Vienādība nozīmē burtisku identitāti — pilnīgu sakritību visos aspektos (matemātiski: subtitūcijas princips u. tml.).
• Ekvivalence ir plašāks jēdziens: tas ir kontekstuāls “vienlīdzības” veids, formalizēts kā ekvivalences attiecība (refleksīva, simetriska, tranzitīva), kas dala kopu ekvivalences klasēs.
• Attiecīgajās nozarēs (ģeometrijā, datorzinātnē, sociālajās zinātnēs) šie jēdzieni tiek pielāgoti — izmantojot konkrētas operācijas (rigīdās transformācijas, atsauču salīdzināšana, tiesības un iespējas) –, tādēļ svarīgi skaidri definēt, ko tieši saprot ar “vienādu” konkrētajā kontekstā.

Jautājumi un atbildes

J: Ar kādu simbolu matemātikā apzīmē vienlīdzību?

J: Kā divi matemātiski objekti var būt līdzvērtīgi?

J: Ko nozīmē, ja divas izteiksmes apzīmē vienādus lielumus?

J: Kā matemātiķi atšķir vienādojumus un nevienādības?

J: Kāda ir atšķirība starp kongruenci un līdzību ģeometrijā?

J: Kāds operators datorzinātnē salīdzina objektu faktiskās vērtības, nevis to, uz ko norāda mainīgie?

J: Kā cilvēki definē vienlīdzību sociālajās zinātnēs?

Meklēt pēc burta