Intervāls (matemātikā) — definīcija, piemēri un pieraksts

Uzzini, kas ir intervāls matemātikā: skaidra definīcija, ilustrēti piemēri un pareizais pieraksts ([ ], ( )), ar praktiskiem paskaidrojumiem un piemēriem.

Matemātikā intervāls ir skaitļu kopa, kas satur visus skaitļus starp diviem galapunktiem (sākumu un beigas). Ja intervāla galapunkts a ir mazāks par b, tad jebkurš skaitlis x, kas apmierina a<x<b (vai a≤x≤b atkarībā no galapunktu iekļautības), pieder intervālam. Galapunkti var būt iekļauti intervālā (tad izmanto kvadrātiekavas) vai neiekļauti (tad izmanto apaļās iekavas). Intervāls var būt arī bezgalīgs vai degenerēts (viena punkta intervāls).

Notācija

Parastā intervāla pieraksta forma ir: galapunkts, komats, galapunkts, piemēram [a, b], (a, b), [a, b) vai (a, b]. Šeit:

• [a, b] — slēgts intervāls, abi galapunkti iekļauti (a ≤ x ≤ b).
• (a, b) — atvērts intervāls, abi galapunkti neiekļauti (a < x < b).
• [a, b) vai (a, b] — pus‑slēgts (pus‑atvērts), viens galapunkts iekļauts, otrs nav.

Alternatīvi var lietot nevienādību vai kopu aprakstu: piemēram, [a, b] = { x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b }.

Intervālu veidi ar piemēriem

• Slēgts: [-100, 100] satur arī -100 un 100.
• Atvērts: (3, 15) satur skaitļus starp 3 un 15, bet ne 3 un ne 15.
• Pus‑slēgts: [-30, -4) satur -30, bet ne -4.
• Degenerēts: [a, a] satur tikai vienu punktu a.
• Tukšs gadījums: ja a > b, tad parastais intervāls [a, b] ir tukša kopa.

Bezgalīgi intervāli

Var izmantot bezgalību, piemēram:

• (a, ∞) — visi skaitļi lielāki par a (a nav iekļauts).
• [a, ∞) — visi skaitļi lielāki vai vienādi ar a (a iekļauts).
• (-∞, b) vai (-∞, b] — analogi uz leju uz slieksni b.

Jāpiebilst, ka ∞ un −∞ nekad netiek iekļauti intervālos — tie tikai norāda virzienu uz bezgalību.

Garums un īpašības

• Beidzama intervāla garumu (mēru) definē kā b − a, ja a ≤ b. Piemēram, intervāla [3, 15] garums ir 12.
• Intervāls jebkurā brīdī ir savienots (tā nav daudzu atsevišķu gabalu kopa), un reālajā līnijā intervālus izmanto kā pamatelementus kontinuālām domām, piemēram, integrālajā vai analīzē.
• Divu intervālu savienojums (union) var būt atkal intervāls vai intervālu apvienojums; šķērsgriezums (intersection) parasti ir intervāls vai tukša kopa.

Piemēri ar skaitļiem

Piemērs: intervāls no 3,3 līdz 15 (raksturojams kā (3,3, 15) ja galapunkti nav iekļauti, vai [3,3, 15] ja abi iekļauti). Šajā intervālā ir tādi skaitļi kā 4, 8, 9,5, 14 un pat 14,999. Tādi skaitļi kā -4, 2, 3,2, 20 un 15,000001 neietilpst, ja intervāls ir (3,3, 15) (tas neatkarīgi no decimāldaļas pieraksta—Latvijā parasti izmanto komatus kā decimālzīmi).

Praktiskas piezīmes

• Rūpējieties par pierakstu: kvadrātiekavas [ ] nozīmē iekļautu galapunktu, apaļās iekavas ( ) nozīmē neiekļautu.
• Ja izmanto decimālkomatus, lai atdalītu skaitļus intervāla pierakstā, bieži lieto semikolu vai telpu, lai izvairītos no pārpratumiem: piemēram, (4; 9,6) vai (4, 9,6) atkarībā no konteksta.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir intervāls matemātikā?

J: Kā noteikt, kuri skaitļi atrodas intervāla iekšpusē?

Vai intervālā ir jāiekļauj gan sākuma, gan beigu skaitļi?

J: Kā rakstīt intervālu?

J: Vai varat minēt intervālu piemērus?

J: Vai intervālā ir atļauti negatīvi skaitļi?

Meklēt pēc burta