Intervāls (matemātikā) — definīcija, piemēri un pieraksts

Matemātikā intervāls ir skaitļu kopa, kas satur visus skaitļus starp diviem galapunktiem (sākumu un beigas). Ja intervāla galapunkts a ir mazāks par b, tad jebkurš skaitlis x, kas apmierina a<x<b (vai a≤x≤b atkarībā no galapunktu iekļautības), pieder intervālam. Galapunkti var būt iekļauti intervālā (tad izmanto kvadrātiekavas) vai neiekļauti (tad izmanto apaļās iekavas). Intervāls var būt arī bezgalīgs vai degenerēts (viena punkta intervāls).

Notācija

Parastā intervāla pieraksta forma ir: galapunkts, komats, galapunkts, piemēram [a, b], (a, b), [a, b) vai (a, b]. Šeit:

[a, b] — slēgts intervāls, abi galapunkti iekļauti (a ≤ x ≤ b).
(a, b) — atvērts intervāls, abi galapunkti neiekļauti (a < x < b).
[a, b) vai (a, b] — pus‑slēgts (pus‑atvērts), viens galapunkts iekļauts, otrs nav.

Alternatīvi var lietot nevienādību vai kopu aprakstu: piemēram, [a, b] = { x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b }.

Intervālu veidi ar piemēriem

Slēgts: [-100, 100] satur arī -100 un 100.
Atvērts: (3, 15) satur skaitļus starp 3 un 15, bet ne 3 un ne 15.
Pus‑slēgts: [-30, -4) satur -30, bet ne -4.
Degenerēts: [a, a] satur tikai vienu punktu a.
Tukšs gadījums: ja a > b, tad parastais intervāls [a, b] ir tukša kopa.

Bezgalīgi intervāli

Var izmantot bezgalību, piemēram:

(a, ∞) — visi skaitļi lielāki par a (a nav iekļauts).
[a, ∞) — visi skaitļi lielāki vai vienādi ar a (a iekļauts).
(-∞, b) vai (-∞, b] — analogi uz leju uz slieksni b.

Jāpiebilst, ka ∞ un −∞ nekad netiek iekļauti intervālos — tie tikai norāda virzienu uz bezgalību.

Garums un īpašības

Beidzama intervāla garumu (mēru) definē kā b − a, ja a ≤ b. Piemēram, intervāla [3, 15] garums ir 12.
Intervāls jebkurā brīdī ir savienots (tā nav daudzu atsevišķu gabalu kopa), un reālajā līnijā intervālus izmanto kā pamatelementus kontinuālām domām, piemēram, integrālajā vai analīzē.
Divu intervālu savienojums (union) var būt atkal intervāls vai intervālu apvienojums; šķērsgriezums (intersection) parasti ir intervāls vai tukša kopa.

Piemēri ar skaitļiem

Piemērs: intervāls no 3,3 līdz 15 (raksturojams kā (3,3, 15) ja galapunkti nav iekļauti, vai [3,3, 15] ja abi iekļauti). Šajā intervālā ir tādi skaitļi kā 4, 8, 9,5, 14 un pat 14,999. Tādi skaitļi kā -4, 2, 3,2, 20 un 15,000001 neietilpst, ja intervāls ir (3,3, 15) (tas neatkarīgi no decimāldaļas pieraksta—Latvijā parasti izmanto komatus kā decimālzīmi).

Praktiskas piezīmes

Rūpējieties par pierakstu: kvadrātiekavas [ ] nozīmē iekļautu galapunktu, apaļās iekavas ( ) nozīmē neiekļautu.
Ja izmanto decimālkomatus, lai atdalītu skaitļus intervāla pierakstā, bieži lieto semikolu vai telpu, lai izvairītos no pārpratumiem: piemēram, (4; 9,6) vai (4, 9,6) atkarībā no konteksta.

Dažādi intervālu veidi

Intervālus var nošķirt pēc to darbības to galos. Intervāli var būt slēgti, atvērti vai jauktie.

Slēgtie intervāli

Intervālā, kas ir slēgts, ietilpst arī sākums un beigas. Slēgts intervāls, kura sākums ir 3, bet beigas - 5,4, ietver 3, 5,4 un katru skaitli starp 3 un 5,4. Lai ierakstītu slēgtu intervālu, lieto kvadrātiekavas ( [ un ] ). Slēgta intervāla piemērs ir [136, 450].

Atvērtie intervāli

Intervālā, kas ir atvērts, nav ietverts ne sākums, ne beigas. Atvērtā intervālā, kura sākums ir 3, bet beigas - 5, būtu iekļauti visi skaitļi no 3 līdz 5, bet nebūtu iekļauti skaitļi 3 vai 5. Lai ierakstītu atvērtu intervālu, izmanto iekavās ( ( ( un ) ). Atvērtā intervāla piemērs ir (2, 5).

Jauktie intervāli

Jauktais intervāls vienā galā ir atvērts, bet otrā galā - slēgts. Tas nozīmē, ka intervāls var ietvert sākumu, bet ne beigas, vai arī tas var ietvert beigas, bet ne sākumu. Intervālā [9, 23] būtu 9, bet nebūtu 23.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir intervāls matemātikā?

A: Intervāls matemātikā ir skaitļu grupa, kas ietver visus skaitļus starp sākumu un beigām.

J: Kā noteikt, kuri skaitļi atrodas intervāla iekšpusē?

A: Skaitļi, kas ir lielāki par sākuma skaitli un mazāki par beigu skaitli, ir intervāla iekšpusē, bet skaitļi, kas ir mazāki par sākuma skaitli vai lielāki par beigu skaitli, nav intervālā.

Vai intervālā ir jāiekļauj gan sākuma, gan beigu skaitļi?

A: Sākuma skaitlis un beigu skaitlis var būt vai nebūt intervāla iekšpusē.

J: Kā rakstīt intervālu?

A: Lai ierakstītu intervālu, uzraksti kvadrātiekavumu ( [ ) vai iekavas ( ( ), tad iekļauj sākuma skaitli, kam seko komats ( , ), tad iekļauj beigu skaitli, kam seko noslēdzošais kvadrātiekavums ( ] ) vai noslēdzošā iekava ( ).

J: Vai varat minēt intervālu piemērus?

A: Intervālu piemēri ir (4, 9,6), [-100, 100], [-30, -4).

J: Vai intervālā ir atļauti negatīvi skaitļi?

A: Jā, intervālā var iekļaut negatīvus skaitļus.