Ģeometriskā līdzība: definīcija, noteikumi un trijstūru piemēri
Ģeometriskā līdzība: skaidra definīcija, būtiskie noteikumi un trijstūru piemēri ar soli pa solim skaidrojumiem — noderīgs resurss skolēniem un skolotājiem.
Līdzība ir ģeometrijas jēdziens, kas nozīmē — divām figūrām ir vienāda forma, pat ja to izmēri atšķiras. Līdzīgām figūrām nav jābūt vienāda izmēra, bet tām jāatbilst diviem galvenajiem nosacījumiem: atbilstošie leņķiem ir vienādi un atbilstošās malas ir proporcionālas. Dažiem elementiem, piemēram, diviem apļiem, kvadrātiem vai taisnēm, līdzība vienmēr izpildās — tie ir līdzīgi neatkarīgi no izmēriem.
Trijstūriem ir īpaša vieta līdzības teorijā, jo trijstūri var būt līdzīgi arī tad, ja izpildās tikai viens no nosacījumiem: vai nu to leņķi ir vienādi, vai arī malu attiecības ir proporcionālas. Citos daudzstūros parasti jābūt gan vienādiem leņķiem, gan proporcionālām malām.
Līdzība ir līdzīga, bet nav identiska ar sakritību (kongruenci). Saskaņotām (kongruentām) figūrām ir vienādas gan formas, gan izmēri — tātad visas kongruentas figūras ir arī līdzīgas (ar mērogu 1), bet ne visas līdzīgas figūras ir kongruentas.
Galvenie jēdzieni un īpašības
- Atbilstība (korrespondence): lai runātu par līdzību, jāzina, kuras virsotnes un malas viena figūrā atbilst kurām citas figūras elementiem. Piemēram, trijstūri ABC un A'B'C' ir līdzīgi, ja A atbilst A', B atbilst B' un C atbilst C'. Tas parasti pieraksta ar simbolu “~”: ABC ~ A'B'C'.
- Mērogs (skalārs koeficients k): malas attiecība starp līdzīgām figūrām. Ja k = 2, tad katra malas garums otrajā figūrā ir divreiz lielāks. Virzienā apgrieztā gadījumā k var būt mazāks par 1.
- Leņķu saglabāšana: līdzības attēlojums saglabā visus leņķus (tātad atbilstošie leņķi ir vienādi).
- Platības un tilpuma skalēšana: ja lineārais mērogs ir k, tad laukuma mērogs ir k^2, bet trīsdimensiju figūru tilpums mainās pēc k^3.
- Similaritātes trasnsformācijas: ģeometriskā līdzība var tikt panākta ar dilatāciju (homotētiju), ko var papildināt ar rotāciju vai pārvietošanu (traslāciju). Tā saglabā leņķus un proporcijas.
Līdzības kritēriji trijstūriem
Trijstūriem pastāv vairākas viegli pielietojamas pazīmes, kas ļauj noteikt līdzību:
- AA (Angle-Angle): ja diviem trijstūriem ir divi vienādi leņķi, tad arī trešais leņķis būs vienāds un trijstūri ir līdzīgi.
- SSS (Side-Side-Side): ja attiecības starp katras trijstūra malām ir vienādas (visas trīs malas proporcionālas), tad trijstūri ir līdzīgi.
- SAS (Side-Angle-Side): ja divu trijstūru divu malu attiecības ir vienādas un iekļautais leņķis starp šīm malām ir vienāds, tad trijstūri ir līdzīgi.
Piemēri
1) Skaitlisks piemērs ar SSS: trijstūriem ar malām 3, 4, 5 un 6, 8, 10 attiecības starp malām ir 1:2, tāpēc tie ir līdzīgi (k = 2). To laukumi attiecīgi būs 6 un 24 — laukuma attiecība ir k^2 = 4.
2) Līdzība, izmantojot AA: visi vienādmalu (ekvilaterālie) trijstūri ir līdzīgi, jo visi to leņķi ir 60°.
3) Taisnleņķa trijstūri: ja diviem taisnleņķa trijstūriem viens no akūtiem leņķiem sakrīt, tad trijstūri ir līdzīgi (AA). Tas bieži izmantojams, risinot trigonometrijas uzdevumus un izmēru attiecības.
Kā pārbaudīt līdzību praksē
- Noteikt, kuras virsotnes atbilst viena otrai (korrespondence).
- Mērīt vai salīdzināt leņķus; ja atbilstošie leņķi sakrīt, izmanto AA kritēriju.
- Salīdzināt malu attiecības; ja divu vai trīs attiecības sakrīt, piemēro SAS vai SSS kritēriju.
- Aprēķināt mērogu k un tālāk, ja nepieciešams, noteikt laukuma vai tilpuma attiecības kā k^2 vai k^3.
Atšķirība starp līdzību un sakritību
Kā jau minēts, līdzība nozīmē vienādu formu, bet sakritība (kongruence) nozīmē vienādu formu un izmēru. Ja divas figūras ir sakritīgas, to mērogs ir k = 1. Līdzības gadījumā k var būt jebkura pozitīva reāla vērtība.
Īss kopsavilkums
- Līdzīgas figūras saglabā leņķus un malu attiecības.
- Trijstūriem pietiek ar AA, SAS vai SSS, lai noteiktu līdzību.
- Mērogs k nosaka lineāro pārveidi, laukums mainās pēc k^2.
- Līdzība bieži tiek realizēta ar homotētiju kombinācijā ar pārvietošanu vai rotāciju.
Ar vienu un to pašu krāsu attēlotie skaitļi ir līdzīgi
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir līdzība?
A: Līdzība ir ģeometrijas jēdziens, kas nozīmē, ka divi daudzstūri, līniju posmi vai citi skaitļi var kļūt vienādi, mainot izmēru.
J: Kā var zināt, vai divas figūras ir līdzīgas?
A: Divas figūras ir līdzīgas, ja to leņķiem ir vienāds izmērs un to malas ir proporcionālas.
Vai visi daudzstūri ir līdzīgi viens otram?
A: Nē, ne visi daudzstūri ir savstarpēji līdzīgi. Visiem pārējiem daudzstūriem jāatbilst abiem nosacījumiem - tiem ir vienādi leņķi un proporcionālas malas, lai tos varētu uzskatīt par līdzīgiem.
J: Kā līdzība ir salīdzināma ar sakritību?
A: Saskaņu figūrām ir vienādas malas un leņķi, tāpēc divas figūras ir savstarpēji saskanīgas, ja viena var kļūt par otru, tikai pagriežot, atstarojot vai pārvietojot. Visas figūras, kas ir savstarpēji kongruentas, ir arī līdzīgas, bet ne otrādi.
Vai apļi vienmēr ir līdzīgi?
A: Jā, apļi, kvadrāti vai līniju posmi vienmēr ir uzskatāmi par līdzīgiem.
Meklēt