Theorema egregium
Gausa teorēma Egregium (latīņu valodā "Ievērojamā teorēma") ir nozīmīgs diferenciālās ģeometrijas rezultāts, ko pierādīja Kārlis Frīdrihs Gauss. Teorēma ir par virsmu izliekumu. Teorēma apgalvo, ka izliekumu var noteikt, mērot tikai leņķus, attālumus un to likmes uz virsmas. Nav nepieciešams runāt par to, kā konkrēti virsma ir iestrādāta apkārtējā trīsdimensiju Eiklīda telpā. Citiem vārdiem sakot, virsmas Gausa izliekums nemainās, ja virsmu izliek, to neizstiepjot.
Gauss šo teorēmu izklāstīja šādi (tulkojumā no latīņu valodas):
Šī iemesla dēļ iepriekšējā rakstā minētā formula pati par sevi noved pie ievērojamās teorēmas. Ja izliekta virsma tiek attīstīta uz jebkuras citas virsmas, izliekuma mērs katrā punktā paliek nemainīgs.
Teorēma ir "ievērojama", jo Gausa izliekuma sākuma definīcijā ir tieši izmantota virsmas atrašanās vieta telpā. Tāpēc ir diezgan pārsteidzoši, ka rezultāts nav atkarīgs no tās iestrādes, neraugoties uz visām lieces un vērpes deformācijām.
Theorema Egregium sekas ir tādas, ka Zemi nevar attēlot kartē bez izkropļojumiem. Šeit parādītā Merkatora projekcija saglabā leņķus, bet maina laukumu. Piemēram, Antarktīda ir attēlota daudz lielāka, nekā tā ir patiesībā.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Gausa Theorema Egregium?
A: Gausa Egregija teorēma ir nozīmīgs diferenciālās ģeometrijas rezultāts par virsmu izliekumu, ko pierādīja Kārlis Frīdrihs Gauss.
J: Kā saskaņā ar Gausa Egreģiuma teorēmu var noteikt virsmas izliekumu?
Atbilstoši Gausa Egreģija teorēmai izliekuma izliekumu var noteikt, mērot tikai leņķus, attālumus un to likmes uz virsmas.
Vai, lai noteiktu izliekumu, ir jārunā par to, kādā veidā virsma ir iestrādāta apkārtējā trīsdimensiju Eiklīda telpā?
Atbilstoši Gausa Egregija teorēmai (Theorema Egregium), lai noteiktu izliekumu, nav jārunā par to, kādā veidā virsma ir iebūvēta apkārtējā trīsdimensiju Eiklīda telpā.
Jautājums: Vai virsmas Gausa izliekums mainās, ja virsmu izliek, to neizstiepjot?
Atbilstoši Gausa Egreģija teorēmai Gausa virsmas Gausa izliekums nemainās, ja virsmu izliek, to neizstiepjot.
J: Kurš šo teorēmu izklāstīja šādā veidā?
A: Gauss teorēmu izklāstīja šādā veidā.
J: Ar ko šī teorēma ir ievērojama?
A.: Teorēma ir "ievērojama", jo Gausa līkumainības sākuma definīcijā ir tieši izmantots virsmas novietojums telpā. Tāpēc ir diezgan pārsteidzoši, ka rezultāts nav atkarīgs no tās iestrādes, neraugoties uz visām lieces un vērpes deformācijām.
J: Kādā veidā Gauss izklāstīja teorēmu?
A.: Gauss teorēmu izklāstīja tā, ka, ja izliektu virsmu attīstītu uz jebkuras citas virsmas, izliekuma mērs katrā punktā paliktu nemainīgs.
