Viļņu transformācija

Viļņu viļņu transformācija ir signāla laika un frekvences attēlojums. Piemēram, mēs to izmantojam trokšņu samazināšanai, pazīmju iegūšanai vai signāla saspiešanai.

Nepārtraukta signāla viļņu transformācija ir definēta kā

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f}right](a,b)={{\frac {1}{\sqrt {a}}}}int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

kur

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ ir tā sauktais mātes viļņlauzis,
a {\displaystyle a} apzīmē viļņveida dilatāciju,
b {\displaystyle b} $b$ apzīmē viļņojuma laika nobīdi un
∗ {\displaystyle *} $*$ simbols apzīmē komplekso konjugātu.

Ja a = a 0 m {\displaystyle a={{a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ un b = a 0 m k T {\displaystyle b={{a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ kur a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} un m $T>0$ {\displaystyle m} un k {\displaystyle k} ir veselu skaitļu konstantes, viļņu transformāciju sauc par diskrēto viļņu transformāciju (nepārtrauktā signāla).

Gadījumā, ja a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ un b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT}. $b=2^{m}kT$ kur m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , diskrēto viļņveida transformāciju sauc par diadisko. To definē šādi

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={{\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

kur

m {\displaystyle m} ir frekvenču skala,
k {\displaystyle k} ir laika skala un
T {\displaystyle T} $T$ ir konstanta, kas ir atkarīga no mātes viļņveidā.

Diadisko diskrēto viļņveida transformāciju var pārrakstīt kā

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

kur h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ ir nepārtrauktā filtra impulsa raksturojums, kas ir identisks ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ dotajam m {\displaystyle m} .

Analogi, diadiskā viļņveida transformācija ar diskrētu laiku (diskrēta signāla) ir definēta šādi.

Frekvences sadalījuma signāla nepārtrauktā viļņu transformācija. Izmantots simlets ar 5 izzušanas momentiem.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir viļņu transformācija?

A: Viļņu transformācija ir signāla laika un frekvences attēlojums, ko izmanto trokšņu samazināšanai, pazīmju iegūšanai vai signāla saspiešanai.

J: Kā definē nepārtrauktu signālu viļņveida transformāciju?

A: Nepārtrauktu signālu viļņveida transformāciju definē kā integrāli visām funkcijas vērtībām, kas reizinātas ar mātes viļņveida transformāciju, kur parametri "a" un "b" apzīmē attiecīgi dilatāciju un laika nobīdi.

J: Kas ir diadiskās diskrētās viļņveida transformācijas?

A: Diadiskās diskrētās viļņlapu transformācijas ir parasto diskrēto viļņlapu transformāciju diskrētās versijas ar frekvenču skalu "m", laika skalu "k" un konstanti "T". Tās var pārrakstīt kā integrāli visām funkcijas vērtībām, kas reizinātas ar impulsa raksturīgo filtru, kurš ir identisks mātes viļņveida transformācijai dotajam m.

J: Ko šajā kontekstā apzīmē "mātes vālītis"?

A: Šajā kontekstā "mātes viļņskaitļi" attiecas uz funkcijām, ko izmanto kopā ar citām funkcijām, lai veidotu pamatu konkrēta veida transformācijas (šajā gadījumā viļņveida transformācijas) aprēķināšanai.

J: Kā aprēķina diadiskos diskrētos viļņlaužus?

A: Diadiskos diskrētos viļņskaitļus aprēķina, izmantojot integrāli visām funkcijas vērtībām, kas reizinātas ar impulsa raksturīgo filtru, kurš ir identisks mātes viļņskaitlim dotajam m. Turklāt tiem kā parametri ir nepieciešami frekvenču skala m, laika skala k un konstante T.

J: Ko apzīmē "a" un "b", definējot nepārtrauktos viļņlaukus?

A: Definējot nepārtrauktos viļņskaitļus, "a" apzīmē dilatāciju, bet "b" - laika nobīdi.