Viļņveida signāli (wavelet): definīcija, īpašības un pielietojumi

Viļņveida signāls ir matemātiska funkcija, ko izmanto, lai funkciju vai signālu pierakstītu citu funkciju izteiksmē, kuras ir vienkāršāk pētīt. Daudzus signālu apstrādes uzdevumus var aplūkot ar viļņveida transformācijas palīdzību. Neoficiāli runājot, signālu var apskatīt zem lēcas ar palielinājumu, ko nosaka viļņveida pārveidojuma mērogs. Tādējādi mēs varam redzēt tikai to informāciju, ko nosaka izmantotā viļņlasta forma.

Angļu terminu "wavelet" astoņdesmito gadu sākumā ieviesa franču fiziķi Žans Morlē un Alekss Grosmans. Viņi izmantoja franču valodas vārdu "ondelette" (kas nozīmē "mazs vilnis"). Vēlāk šis vārds tika pārņemts angļu valodā, tulkojot "onde" kā "wavelet" un iegūstot vārdu "wavelet".

Viļņveida viļņojums ir (kompleksa) funkcija no Hilberta telpas ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} . Praktiskiem lietojumiem tai jāatbilst šādiem nosacījumiem.

Tam jābūt ar ierobežotu enerģiju.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Tam ir jāatbilst pieņemamības nosacījumam.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{{|{{{hat {\psi }}}(\omega )|^{2}}} {{{\omega}}d\omega <\infty } , kur ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi}}} ir ψ {\displaystyle \psi \,} Furjē transformācija.

No nulles vidējā nosacījums izriet no pieļaujamības nosacījuma.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

Funkciju ψ {\displaystyle \psi \,} sauc par mātes viļņveidolu. Tās translētā (nobīdītā) un dilatētā (mērogotā) normalizētā versija ir definēta šādi.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}}\right)}

Sākotnējā mātes viļņlaukā ir parametri a = 1 {\displaystyle a=1} un b = 0 {\displaystyle b=0} . Translāciju apraksta b {\displaystyle b} parametrs un dilatāciju - a {\displaystyle a} parametrs.

Galvenās īpašības un jēdzieni

• Kvadrātintegrējamība: ψ jābūt funkcionāli pieņemamai L2 telpā, t.i., tai ir ierobežota enerģija (skat. augstāk).
• Pieļaujamības nosacījums un konstante Cψ: pieļaujamības nosacījums nodrošina, ka mātes viļņveidolu var izmantot signāla atjaunošanai. Bieži definē arī konstanti Cψ = ∫_0^∞ |Ĥψ(ω)|^2 / ω dω, kas ir jābūt galīgam, lai inverzā transformācija eksistētu.
• Nulles vidējā (zero mean): ∫ ψ(t) dt = 0 — tas nozīmē, ka viļņveidols neuztver pastāvīgo (DC) komponenti un ir jutīgs pret lokālām izmaiņām signālā.
• Laika un frekvenču lokalizācija: viļņveidoli ir lokalizēti gan laika, gan frekvenču domēnā, kas ļauj analizēt pārejošus fenomenus un īslaicīgas izmaiņas.
• Vazījošo momentu skaits (vanishing moments): ja viļņveidola pirmajiem N momentiem ∫ t^k ψ(t) dt = 0 (k = 0,...,N−1), tas labi atpazīst polinomālas komponentes līdz kārtai N−1 un nodrošina labāku gludumu un atvasinājumu izturību.
• Ortogonalitāte un kompakts atbalsts: daži viļņveidoli (piem., Daubechies) veido ortonormālas bāzes un var būt ar kompakta atbalsta (nulles ārpus ierobežota intervāla), kas ir vērtīgi diskretajās transformācijās un efektīvai skaitļošanai.

Viļņveida transformācijas (pārskats)

Visbiežāk lietotās transformācijas ir:

• Kontinuāla viļņveida transformācija (Continuous Wavelet Transform, CWT): transformē signālu s(t) uz koeficientiem W(a,b) pēc skales (a) un pozīcijas (b). CWT ļauj pētīt signāla saturu dažādos mērogos un laika pozīcijās. CWT izmanto mātes viļņveidolu un tā dilatētās/translētās versijas.
• Diskrētā viļņveida transformācija (Discrete Wavelet Transform, DWT): izmanto diskretizētas mērogus un pozīcijas (bieži dyadic: a = 2^j, b = k·2^j) un nodrošina efektīvu daudzlīmeņu koeficientu aprēķinu, ko var realizēt ar filtrbankām (low-pass / high-pass) un nelielu skaitļošanas sarežģītību.
• Multiresolution Analysis (MRA): teorētiska rāmja daļa, kurā signāls tiek sadalīts dažādos izšķērsošanas līmeņos ar skalēšanas funkciju φ(t) un viļņveidolu ψ(t). MRA sniedz formālu pamatu diskretajai transformācijai un filtrbanku konstrukcijai.

Bieži lietotie viļņveidoli (paraugi)

• Haar: vienkāršs, discontinus viļņveidols ar vienu vanishing momentu; ļoti efektīvs skaitļošanā, lietošanai mācību un ātrai prototipēšanai.
• Daubechies: ģimene ar dažādu garumu filtru un vanishing momentu skaitu; labi balansē kompakto atbalstu un gludumu.
• Morlet: komplekss viļņveidols (gaussiskais log-modulētais vilnis), labs frekvenču lokalizācijai un spektrālai analīzei pārejošos signālos.
• Mexican hat (Ricker): otrās atvasināšanas gaussam; reāls viļņveidols, kas labi atrod lokālas anomālijas un kontūras.

Atjaunošana un rekonstrukcija

Ja mātes viļņveidols apmierina pieļaujamības nosacījumu, signālu s(t) parasti var atjaunot no CWT koeficientiem W(a,b) ar piemērotu integrāli (inverzā transformācija). Diskretajā gadījumā, pie pareizām filtrbankām un ortogonālas bāzes, atjaunošana notiek ar viesmātes un viļņveidolu projekcijām un summācijām atpakaļ līmeņos.

Pielietojumi

Viļņveidolu metodes ir plaši pielietotas dažādās jomās, piemēram:

• Signālu un attēlu saspiešana: piemēram, JPEG2000 attēlu saspiešanā izmanto viļņveida transformācijas, lai efektīvi kodētu dažādas frekvenču sastāvdaļas.
• Noisy signālu attīrīšana (denoising): viļņveidolu priekškopas un thresholding metodes ļauj atdalīt trokšņus no nozīmīgām detaļām.
• Laika-frekvenču analīze: analizēt pārejošus notikumus, vibrācijas, seismiskās parādības, biosignālus (piem., EKG/EEG), kur frekvenču saturs mainās laika gaitā.
• Raksturiezīmju izvilkšana un mašīnmācīšana: viļņveidoli nodrošina lokālus un skalārus koeficientus, kas labi darbojas kā iezīmju vektori klasifikācijai un diagnostikai.
• Attēlu apstrāde un malas detektēšana: viļņveidoli atklāj vietējās izmaiņas intensitātē un kontūras.
• Laikserieu analīze finanšu datos, ģeofizikā un medicīnā: izmantots triecienu, anomāliju un atkārtojošu struktūru atpazīšanai.

Kā izvēlēties viļņveidolu praksē

Izvēle ir atkarīga no uzdevuma:

• ja nepieciešama laba laika lokalizācija un vienkārša interpretācija — Haar;
• ja vēlaties labu frekvenču/gluduma kompromisu un kompakto atbalstu — Daubechies vai Symlets;
• ja analizējat spektrālas īpašības vai nepieciešama kompleksa analīze — Morlet;
• ja meklējat lokālas anomālijas — Mexican hat u.c.

Praktiskie aspekti

Reālās pasaules lietojumos svarīgi ir arī:

• diskrētizācijas izvēle (a, b tīklojums),
• filtru implementācijas stabilitāte un numeriskā precizitāte,
• robustums pret malas efektiem (signāla malu apstrāde, padding),
• skaitļošanas sarežģītība un atmiņas prasības, īpaši lieliem attēliem vai straujām reāllaika prasībām.

Kopsavilkumā — viļņveidoli nodrošina elastīgu un spēcīgu rīku laika-frekvenču analīzei, kas apvieno lokālu laika informāciju ar mērogojamu frekvenču izšķirtspēju. Izvēle starp CWT un DWT, kā arī konkrētā viļņveidola izvēle, ir atkarīga no konkrētā uzdevuma prasībām, trokšņu rakstura un prasītās atjaunošanas precizitātes.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir viļņlapa?

J: Kas ieviesa terminu "viļņlapa"?

K.: Kādam jābūt viļņskaitlim, lai to varētu praktiski izmantot?

J: Ko nozīmē translācija un dilatācija, runājot par viļņlaukiem?

J: Ko nozīmē, ja viļņlaukam ir nulles vidējā vērtība?

J: Kā definē mātes viļņlapu?

Meklēt pēc burta