Viļņveida sign
Viļņveida signāls ir matemātiska funkcija, ko izmanto, lai funkciju vai signālu pierakstītu citu funkciju izteiksmē, kuras ir vienkāršāk pētīt. Daudzus signālu apstrādes uzdevumus var aplūkot ar viļņveida transformācijas palīdzību. Neoficiāli runājot, signālu var apskatīt zem lēcas ar palielinājumu, ko nosaka viļņveida pārveidojuma mērogs. Tādējādi mēs varam redzēt tikai to informāciju, ko nosaka izmantotā viļņlasta forma.
Angļu terminu "wavelet" astoņdesmito gadu sākumā ieviesa franču fiziķi Žans Morlē un Alekss Grosmans. Viņi izmantoja franču valodas vārdu "ondelette" (kas nozīmē "mazs vilnis"). Vēlāk šis vārds tika pārņemts angļu valodā, tulkojot "onde" kā "wavelet" un iegūstot vārdu "wavelet".
Viļņveida viļņojums ir (kompleksa) funkcija no Hilberta telpas ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}
. Praktiskiem lietojumiem tai jāatbilst šādiem nosacījumiem.
Tam jābūt ar ierobežotu enerģiju.
∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } 
Tam ir jāatbilst pieņemamības nosacījumam.
∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{{|{{{hat {\psi }}}(\omega )|^{2}}} {{{\omega}}d\omega <\infty } 
, kur ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi}}}
ir ψ {\displaystyle \psi \,} Furjē transformācija. 
No nulles vidējā nosacījums izriet no pieļaujamības nosacījuma.
∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} 
Funkciju ψ {\displaystyle \psi \,} sauc par mātes viļņveidolu. Tās translētā (nobīdītā) un dilatētā (mērogotā) normalizētā versija ir definēta šādi.
ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}}\right)} 
Sākotnējā mātes viļņlaukā ir parametri a = 1 {\displaystyle a=1}
un b = 0 {\displaystyle b=0}
. Translāciju apraksta b {\displaystyle b}
parametrs un dilatāciju - a {\displaystyle a}
parametrs.
Morleta viļņvate
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir viļņlapa?
A: Vavelets ir matemātiska funkcija, ko izmanto, lai funkciju vai signālu pierakstītu citu funkciju izteiksmē, kuras ir vienkāršāk pētāmas. To var aplūkot caur lēcu ar palielinājumu, ko nosaka viļņlapa mērogs, ļaujot mums redzēt tikai to informāciju, ko nosaka tā forma.
J: Kas ieviesa terminu "viļņlapa"?
A: Angļu terminu "wavelet" pagājušā gadsimta astoņdesmito gadu sākumā ieviesa franču fiziķi Žans Morlē un Alekss Grosmans, kuri izmantoja franču vārdu "ondelette" (kas nozīmē "mazs vilnis"). Vēlāk šis vārds tika pārņemts angļu valodā, tulkojot "onde" kā "wavelet", tādējādi iegūstot vārdu "wavelet".
K.: Kādam jābūt viļņskaitlim, lai to varētu praktiski izmantot?
A: Praktiskiem lietojumiem viļņlaukam jābūt ar galīgu enerģiju un jāatbilst pieļaujamības nosacījumam. Šis pieļaujamības nosacījums nosaka, ka tam jābūt ar nulles vidējo vērtību un jāatbilst arī integrālam pa frekvenci, kas ir mazāks par bezgalību.
J: Ko nozīmē translācija un dilatācija, runājot par viļņlaukiem?
A: Translācija attiecas uz mātes viļņlapu pārvietošanu vai pārvietošanu pa laika asi, bet dilatācija attiecas uz mātes viļņlapu mērogošanu vai izstiepšanu/samazināšanu pa laika asi. Šos divus parametrus (translāciju un dilatāciju) apraksta attiecīgi b un a.
J: Ko nozīmē, ja viļņlaukam ir nulles vidējā vērtība?
A: Nulles vidējais nozīmē, ka, integrējot visas t vērtības no negatīvas bezgalības līdz pozitīvai bezgalībai, summai jābūt vienādai ar 0, t. i., ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Šī prasība izriet no paša pieļaujamības nosacījuma, kā minēts iepriekš.
J: Kā definē mātes viļņlapu?
A: Mātes viļņlapu definē kā sākotnējo mātes viļņlapu tulkotās (nobīdītās) un dilatētās (mērogotās) versijas normalizētas versijas, kuru parametri ir "a" = 1 un "b" = 0 .
