Kas ir Furjē transformācija — definīcija, piemēri un pielietojumi

Uzzini Furjē transformācijas definīciju, skaidrus piemērus un praktiskus pielietojumus signālu apstrādē, fizikā, mašīnmācībā un radioloģijā.

Furjē transformācija ir matemātiska funkcija, ko izmanto, lai noteiktu signāla vai viļņa bāzes frekvences. Piemēram, ja tiek atskaņots akords, šī akorda skaņas vilni var ievadīt Furjē transformācijā, lai atrastu atsevišķās notis, no kurām akords sastāv. Furjē transformācijas izvadi dažkārt sauc par frekvenču spektru vai sadalījumu, jo tā attēlo ievades signāla frekvenču saturu. Šo transformāciju plaši izmanto kriptogrāfijā, okeanogrāfijā, mašīnmācībā, radioloģijā, kvantu fizikā, kā arī skaņas dizainā un vizualizācijā.

Matemātiskā definīcija

Reālā vai kompleksa vērtību funkcijas f ( x ) {\displaystyle f(x)} Furjē transformācija ir dotā integrāļa rezultāts:

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx}

Šeit α {\displaystyle \alpha } apzīmē frekvenci un F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} ir Furjē transformācijas rezultāts — funkcija, kas parāda, cik izplatīta konkrētā frekvence ir sākotnējā signālā. Izteikuma eksponenciālā daļa e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} efektīvi "apvij" vai salīdzina ievades funkciju ar kompleksu sinusoīdu ar frekvenci α.

Inversā Furjē transformācija

Lai atjaunotu sākotnējo funkciju no tās frekvenču spektra, izmanto inverso transformāciju:

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha }d\alpha }

Atcerieties, ka eksistē vairākas normalizācijas konvencijas (piemēram, izmantojot 2π priekšā vai 1/√(2π) faktoros). Nozīmīgākais ir tas, ka Furjē transformācija ir invertējama (pie attiecīgiem nosacījumiem), t.i., no spektra var atgūt laika domēna signālu.

Skaidrojums un vizuāla interpretācija

Furjē transformācija rāda, kā signāls ir uzbūvēts no sinusoidālām komponentēm: katrai frekvencei atbilst amplitūda (un fāze), kas norāda, cik spēcīgi šī frekvence piedalās signālā. Piemēram, aplūkojot skaņas vilni, kurā ir trīs dažādas notis, Furjē spektrā par katru no šīm notīm būs atsevišķs maksimums (pīķis) — tas attēlo frekvences klātbūtni un to intensitāti.

Daudzi signāli īsti sastāv no kosinusiem un sinusiem ar dažādām amplitūdām un frekvencēm. Furjē transformācija parāda šo komponentu amplitūdas un fāzes pret to attiecīgajām frekvencēm.

Prasības, kad transformācija eksistē

Lai kontinuāla Furjē transformācija eksistētu klasiskā formā, funkcijai parasti jābūt integrējamai (piemēram, f ∈ L1) vai kvadrātintegrējamai (f ∈ L2) atbilstoši teorētiskajam kontekstam. Ja šie nosacījumi netiek izpildīti, nepieciešams izmantot vispārīgākas pieejas (piemēram, sadalījumu teoriju — Diraka delta u.c.).

Diskrētā Furjē transformācija un ātrā Furjē transformācija

Reālās pasaules mērījumi parasti ir diskrēti un ierobežoti laika intervālā. Tādēļ izmanto diskrēto Furjē transformāciju (DFT), kas strādā ar virknēm un ir skaitliski aprēķināma. Lai šo DFT aprēķinātu efektīvi, izmanto algoritmu ātrā Furjē transformācija (FFT), kas samazina aprēķinu sarežģītību no O(N²) uz O(N log N). Tāpēc FFT ir plaši izmantots signālu apstrādē un inženierijā.

Būtiskas īpašības

• Linearitāte: transformācija ir lineāra — Furjē no summas ir summu Furjē.
• Pārbīde (shift): laika pārbīde atbilst fāzes modulācijai frekvenču domēnā.
• Skalēšana: laika mērogošana ietekmē frekvenču izvietojumu pretēji (sākotnējā funkcijas paplašināšana sašaurina spektru).
• Parsevala (Plancherel) teorēma: enerģija laika domēnā saglabājas frekvenču domēnā (integrāla/no kvadrāta summa).
• Konvolūcijas teorēma: konvolūcija laika domēnā atbilst reizinājumam frekvenču domēnā, un otrādi — šī īpašība ir pamats filtrēšanai un sistēmu analīzei.

Piemēri un ilustrācijas

Piemēram, signālam, kas svārstās ar 3 Hz, tā Furjē transformācija koncentrēs enerģiju pie 3 Hz. Ja signāls satur vairāk komponentu (piemēram, 3 Hz un 5 Hz), spektrā būs pīķi pie abām frekvencēm.

Pielietojumi praksē

• Audio apstrāde: notju atpazīšana, trokšņu filtrēšana, skaņas efekti un kompresija.
• Attēlu apstrāde: frekvenču filtrēšana, malas pastiprināšana, attēlu kompresija (piem., JPEG izmanto kosinusu transformācijas variantu).
• Telekomunikācijas: spektrālā analīze, modulācija un signālu demodulācija.
• Fizika un inženierija: viļņu analīze, kvantu mehānikā pārejas starp laika un frekvenču attēlojumu.
• Datu analīze un mašīnmācība: laika sēriju analīze, iezīmju iegūšana frekvenču domēnā.

Kopsavilkums

Furjē transformācija ir pamattīkls signālu analīzē: tā pārveido laika (vai telpas) atkarīgu funkciju uz frekvenču domēnu, atklājot, kādas sinusoīdu komponentes to veido. Teorētiski un praktiski tā ir neaizstājama daudzu inženierijas, fizikas un datu apstrādes jomu rīkkopa. Lai strādātu ar diskretiem datiem un lieliem signāliem, izmanto DFT un ātrās FFT metodes, kas padara Furjē analīzi skaitliski efektīvu.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir Furjē transformācija?

J: Kādi ir daži Furjē transformācijas izmantošanas veidi?

J: Kā aprēķina Furjē transformāciju?

J: Kā izskatās Furjē transformācijas izvads?

J: Kā datori aprēķina ātro Furjē transformāciju?

J: Ko mums nerāda signālu aplūkošana attiecībā pret laiku?

Meklēt pēc burta