Furjē transformācija
Furjē transformācija ir matemātiska funkcija, ko var izmantot, lai atrastu signāla vai viļņa bāzes frekvences. Piemēram, ja tiek atskaņots akords, akorda skaņas vilni var ievadīt Furjē transformācijā, lai atrastu notis, no kurām sastāv akords. Furjē transformācijas izvades rezultātu dažkārt sauc par frekvenču spektru vai sadalījumu, jo tas attēlo ievades frekvenču spektru. Šo funkciju plaši izmanto kriptogrāfijā, okeanogrāfijā, mašīnmācībā, radioloģijā, kvantu fizikā, kā arī skaņas dizainā un vizualizācijā.
Funkcijas f ( x ) {\displaystyle f(x)}
Furjē transformācija ir izteikta šādi.
F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx} 
α {\displaystyle \alpha } 
ir frekvence
F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} 
ir Furjē transformācijas funkcija, un tā atgriež vērtību, kas parāda, cik izplatīta frekvence α {\displaystyle \alpha } ir sākotnējā signālā.
e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} 
Atveido ieejas funkcijas f ( x ) {\displaystyle f(x)} apvīšanu ap sākumpunktu kompleksajā plaknē ar kādu frekvenci α {\displaystyle \alpha }
Inversā Furjē transformācija ir izteikta ar
f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha }d\alpha } 
Furjē transformācija parāda, kādas frekvences ir signālā. Piemēram, aplūkojiet skaņas vilni, kurā ir trīs dažādas notis: Veidojot šī skaņas viļņa Furjē transformācijas grafiku (ar frekvenci uz x ass un intensitāti uz y ass), katrā frekvencē būs redzams maksimums, kas atbilst vienai no mūzikas notīm.
Daudzus signālus var izveidot, saskaitot kopā kosīnus un sinusus ar dažādām amplitūdām un frekvencēm. Furjē transformācija attēlo šo kosinusu un sinusu amplitūdas un fāzes pret to attiecīgajām frekvencēm.
Furjē transformācijas ir svarīgas, jo daudziem signāliem ir lielāka jēga, ja to frekvences ir atdalītas. Iepriekš minētajā audio piemērā, aplūkojot signālu attiecībā pret laiku, nav skaidrs, ka signālā ir notis A, B un C. Daudzas sistēmas ar dažādām frekvencēm dara dažādas lietas, tāpēc šāda veida sistēmas var aprakstīt, norādot, ko tās dara ar katru frekvenci. Kā piemēru var minēt filtru, kas bloķē augstās frekvences.
Furjē transformācijas aprēķināšanai nepieciešama izpratne par integrāciju un iedomātajiem skaitļiem. Parasti Furjē transformāciju aprēķināšanai izmanto datorus, lai aprēķinātu tikai visvienkāršākos signālus. Ātrā Furjē transformācija ir metode, ko datori izmanto, lai ātri aprēķinātu Furjē transformāciju.
· 
Sākotnējā funkcija, kas attēlo signālu, kurš svārstās ar frekvenci 3 herci.
· 
Integranta reālā un iedomātā daļa Furjē transformācijai pie 3 herciem
· 
Integranta reālā un iedomātā daļa Furjē transformācijai pie 5 herciem
· 
Furjē transformācija ar 3 un 5 hercu marķējumu.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Furjē transformācija?
A: Furjē transformācija ir matemātiska funkcija, ko var izmantot, lai atrastu viļņa bāzes frekvences. Ar šo metodi iegūst kompleksu vilni un atrod to veidojošās frekvences, kas ļauj noteikt notis, no kurām sastāv akords.
J: Kādi ir daži Furjē transformācijas izmantošanas veidi?
A: Furjē transformācija tiek plaši izmantota kriptogrāfijā, okeanogrāfijā, mašīnmācībā, radioloģijā, kvantu fizikā, kā arī skaņas dizainā un vizualizācijā.
J: Kā aprēķina Furjē transformāciju?
A: Funkcijas f(x) Furjē transformāciju nosaka F(ב) = ∫-∞+∞f(x)e-2נiבxdx, kur ב ir frekvence. Tas atgriež vērtību, kas parāda, cik izplatīta frekvence ב ir sākotnējā signālā. Atkārtotā Furjē transformācija ir f(x) = ∫-∞+∞F(ב)e+2נixבdב.
J: Kā izskatās Furjē transformācijas izvads?
A: Furjē transformācijas rezultātu var saukt par frekvenču spektru vai sadalījumu, jo tas attēlo ievades iespējamo frekvenču sadalījumu.
J: Kā datori aprēķina ātro Furjē transformāciju?
A: Datori izmanto algoritmu, ko sauc par ātro Furjē transformāciju (FFT), lai ātri aprēķinātu jebkuru, izņemot vienkāršāko signālu transformācijas.
J: Ko mums nerāda signālu aplūkošana attiecībā pret laiku?
A: Skatoties uz signāliem attiecībā pret laiku, nav skaidrs, kādas notis tajos ir; daudziem signāliem ir lielāka jēga, ja to frekvences tiek atdalītas un analizētas atsevišķi.
