Young–Laplace (Junga–Laplasa) vienādojums — kapilārā spiediena definīcija
Jaņa–Laplaisa vienādojums: kapilārā spiediena definīcija, saikne ar virsmas spriegumu un pielietojumi fizikā, inženierijā un medicīnā.
Fizikā Jaņa‑Laplaisa vienādojums (angļu: Young–Laplace, izruna /ləˈplɑːs/) ir nelineārs parciāls diferenciālvienādojums, kas apraksta spiediena starpību starp divu statisku šķidrumu (piemēram, ūdens un gaisa) saskarni. Šo spiediena starpību izraisa virsmas spraigums (sienas spraigums) — spēks, kas darbojas šķidruma virsmas garumā un mēģina mazināt virsmas laukumu. Jaņa‑Laplaisa vienādojums sasaista spiediena atšķirību ar virsmas ģeometriju un ir centrāls instruments kapilāro un menisku fenomenu analīzē.
Vienādojuma formulējums
Vienādojumu parasti izsaka kā spiediena atšķirību Δp starp iekšējo un ārējo pusi izliekta interfeisa:
Δp = γ (1/R1 + 1/R2)
Šeit γ ir virsmas spraigums (N/m), bet R1 un R2 — divu galveno (principālo) izliekumu rādiusi interfeisa katrā punktā. Izteiksme 1/R1 + 1/R2 ir divkāršā vidējā izliekuma (angļu: mean curvature, κ1+κ2). Bieži lieto arī formu Δp = 2γH, kur H ir vidējais izliekums.
Piemēri speciālajos gadījumos:
- Idealizētai sfērai (R1 = R2 = R): Δp = 2γ / R.
- Ilgstošai cilindriskai virsmai (R1 = R, R2 = ∞): Δp = γ / R.
Nozīme un piemēri
Jaņa‑Laplaisa vienādojums izskaidro virkni ikdienā un zinātnē svarīgu fenomenu:
- Sēkļu un pilienu forma (kapilārais spiediens nosaka, kāds iekšējais spiediens ir pilienā vai putā).
- Ziepju burbuļu spiediens: burbulī iekšpusē spiediens ir augstāks nekā ārpusē, un tas atbilst Δp = 4γ / (R_outer) ja aplūkota bieza divslāņu membrāna (divas virsmas).
- Bioloģijā: Laplasa likums tiek izmantots, lai aprakstītu spiedienu dobajos orgānos (piemēram, plaušu alveolās) — sfēriskā alveolā P ≈ 2γ / r, kas palīdz skaidrot, kā virsmas spraigums ietekmē alveolu stabilitāti.
- Kapilārā pacelšanās un injekciju procesi, virsmu inženierija, mikrofluidikas ierīces un virsmu apstrādes tehnoloģijas.
Izcelsme un vienādojuma atvasinājuma piezīmes
Vienādojums nosaukts Tomasa Janga vārdā, kurš 1805. gadā sniedza virsmas spraiguma kvalitatīvu skaidrojumu, un Pjēra Simona Laplāsa vārdā, kurš 1806. gadā pabeidza matemātisko aprakstu. Kārlis Frīdrihs Gauss 1830. gadā apvienoja Janga un Laplāsa rezultātus; gan diferenciālvienādojumu, gan robežnosacījumus Gauss varēja iegūt, izmantojot Johana Bernuļa virtuālā darba principus. Tomass Jangs arī formulēja saistību starp kontaktu leņķi un virsmas spriegumiem (Young's equation), kas papildina Jaņa‑Laplaisa vienādojumu situācijās, kad šķidruma saskarne pieskaras cietai virsmai.
Simplificēts atvasinājuma idejas kopsavilkums: aplūko nelielu saskarnes elementu un salīdzina spēkus (vai ģenerēto darbu) no spiediena starpības un virsmas spraiguma — līdzsvars prasa, lai spiediena atšķirība kompensētu spēku, kas rodas no interfeisa izliekuma, kas noved pie attiecīgā vienādojuma.
Nosacījumi un ierobežojumi
- Vienādojums der statiskām (vai quasistatiskiem) robežām, kad plūsma vai inerces efekti ir niecīgi.
- Tiek pieņemts, ka virsmas spraigums γ ir lokāli konstants un izotropisks (nav atkarīgs no virsmas leņķa vai sastāva). Ja γ mainās pa virsmu (piem., surfaktanti), parādās papildu Marangoni spēki, kas maina bilanci.
- Mazām mērogiem var būt nozīme līniju spriegumam vai molekulāriem efektiem; eksternāli lauka efekti (piem., gravitācija) jāņem vērā, ja virsmas izliekumi ir lieli vai zudīs mērogi.
Tehniskas piezīmes
- Vienādojuma fiziskās vienības: Δp (Pascalos, Pa), γ (Newtonos uz metru, N/m), R (metros, m).
- Zīmogs par zīmēm: lai iegūtu pareizu signu, jāievēro normaļa virziens (parasti uz iekšpusi) — tad Δp = p_inside − p_outside = γ (κ1 + κ2).
- Saistība ar kontaktu leņķi: kontaktu robežnosacījumi (Youngova vienādojuma) kopā ar Jaņa‑Laplaisa vienādojumu nosaka menisku profilu pie cietas sienas.
Jaņa‑Laplaisa vienādojums ir fundamentāls rīks, lai saprastu un modelētu virsmas fenomenu ietekmi uz spiedienu un formu gan dabā, gan inženierzinātnēs. Tas savieno ģeometriju (izliekumu) ar mechanisku līdzsvaru un tiek plaši izmantots gan teorētiskos modeļos, gan praktiskos lietojumos.
Optiskie tenziometri izmanto Junga-Laplaisa vienādojumu, lai automātiski noteiktu šķidruma virsmas spraigumu, pamatojoties uz piekarināmā piliena formu.
Jautājumi un atbildes
Jautājums: Kas ir Jaņa-Laplasa vienādojums?
A: Jaņa-Laplasa vienādojums ir nelineārs parciāls diferenciālvienādojums, kas apraksta kapilārā spiediena starpību uz saskarnes starp diviem statiskiem šķidrumiem, piemēram, ūdeni un gaisu.
J: Ar ko tas ir saistīts?
A: Tas attiecas uz spiediena starpību un virsmas vai sienas formu.
J: Kas izstrādāja šo teoriju?
A: Teoriju 1805. gadā izstrādāja Tomass Jangs, un Pjērs Simons Laplāss nākamajā gadā pabeidza tās matemātisko aprakstu. Vēlāk 1830. gadā to unificēja Karls Frīdrihs Gauss.
J: Kā to izmanto fizioloģijā?
A: Fizioloģijā to pazīst kā Laplasa likumu, un to izmanto, lai aprakstītu spiedienu dobajos orgānos.
J: Kādu parādību tas izskaidro?
A: Jaņa un Laplasa vienādojums izskaidro virsmas spraiguma jeb sieniņu spraiguma parādību.
J: Vai sieniņu sasprindzinājums ir piemērojams biezām sieniņām? A: Nē, sienu spriegojumu var izmantot tikai ļoti plānām sienām.
Meklēt