Kombinētais gāzes likums

Kombinētais gāzes likums ir formula par ideālajāmgāzēm. To iegūst, apvienojot trīs dažādus likumus par gāzes spiedienu, tilpumu un temperatūru. Tie izskaidro, kas notiek ar divām šīs gāzes vērtībām, kamēr trešā paliek nemainīga. Šie trīs likumi ir šādi:

Čārlza likums, kas nosaka, ka tilpums un temperatūra ir tieši proporcionāli viens otram, ja vien spiediens nemainās.
Boila likums nosaka, ka spiediens un tilpums ir apgriezti proporcionāli viens otram vienā temperatūrā.
Gajs-Lusaka likums nosaka, ka temperatūra un spiediens ir tieši proporcionāli, ja vien tilpums paliek nemainīgs.

Kombinētais gāzes likums parāda, kā šie trīs mainīgie lielumi ir savstarpēji saistīti. Tajā teikts, ka:

Kombinētā gāzes likuma formula ir šāda:

P V T = k {\displaystyle \qquad {\frac {PV}{T}}}=k} $\qquad {\frac {PV}{T}}=k$

kur:

$P$ ir spiediens

$V$ ir tilpums

$T$ ir temperatūra, ko mēra kelvinos

$k$ ir konstante (ar enerģijas vienībām, dalot ar temperatūru).

Lai salīdzinātu vienu un to pašu gāzi ar diviem no šiem gadījumiem, likumu var rakstīt šādi:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2 {\displaystyle \qquad {\frac {P_{1}V_{1}}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}{T_{2}}}} $\qquad {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}$

Kombinētajam gāzes likumam pievienojot Avogadro likumu, mēs iegūstam tā saukto ideālās gāzes likumu.

Atvasinājums no gāzes likumiem

Boila likums nosaka, ka spiediena un tilpuma reizinājums ir konstants:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)} $PV=k_{1}\qquad (1)$

Čārlza likums rāda, ka tilpums ir proporcionāls absolūtajai temperatūrai:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}}=k_{2}\qquad (2)} ${\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)$

Gajs-Lusaka likums nosaka, ka spiediens ir proporcionāls absolūtajai temperatūrai:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)} $P=k_{3}T\qquad (3)$

kur P ir ideālās gāzes spiediens, V - tilpums un T - absolūtā temperatūra.

Apvienojot (1) un kādu no (2) vai (3), iegūstam jaunu vienādojumu ar P, V un T. Ja vienādojumu (1) dalām ar temperatūru un reizinām (2) ar spiedienu, iegūstam:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}}. ${\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}$

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} ${\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P$ .

Tā kā abu vienādojumu kreisā puse ir vienāda, mēs iegūstam šādu rezultātu

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ${\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P$ ,

kas nozīmē, ka

P V T = konstanta {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {konstanta}}}} ${\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}}$ .

Ievietojot Avogadro likumu, iegūst ideālās gāzes vienādojumu.

Fizikālais atvasinājums

Kombinētā gāzes likuma atvasinājums, izmantojot tikai elementāru algebru, var sagādāt pārsteigumus. Piemēram, izejot no trim empīriskiem likumiem

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! } $P=k_{V}\,T\,\!$ (1) Geja-Lusaka likums, tilpums pieņemts par konstantu

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! } $V=k_{P}T\,\!$ (2) Čārlza likums, spiediens pieņemts par konstantu

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! } $PV=k_{T}\,\!$ (3) Boila likums, temperatūra pieņemta par konstantu

kur kV, kP un kT ir konstantes, var reizināt visas trīs kopā, lai iegūtu.

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! } $PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\!$

Ja abām pusēm ņem kvadrātsakni un dala ar T, iegūst vēlamo rezultātu.

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}},\! } ${\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}\,\!$

Tomēr, ja pirms iepriekšminētās procedūras piemērošanas tikai pārkārto Boila likuma kT = PV locekļus, tad pēc anulēšanas un pārkārtošanas iegūst šādus rezultātus

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\! } ${\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\!$

kas nav īpaši noderīgi, ja ne maldinoši.

Fizikālais atvasinājums, kas ir garāks, bet ticamāks, sākas ar apzināšanos, ka Gejas-Lusaka likumā nemainīgais tilpuma parametrs mainās, mainoties sistēmas tilpumam. Pie nemainīga tilpuma _V1 likums var parādīties P = k1T, bet pie nemainīga tilpuma V2 - P = k2T. Nosaucot šo "mainīgo pastāvīgo tilpumu" ar kV(V), likumu pārraksta šādi

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! } $P=k_{V}(V)\,T\,\!$ (4)

Tas pats apsvērums attiecas uz Čārlza likuma konstanti, ko var pārrakstīt šādi

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! } $V=k_{P}(P)\,T\,\!$ (5)

Meklējot kV(V), nevajadzētu neapdomīgi izslēgt T starp (4) un (5), jo P ir mainīgs pirmajā formulējumā, bet otrajā formulējumā tas tiek pieņemts par konstantu. Drīzāk vispirms būtu jānosaka, kādā nozīmē šie vienādojumi ir savstarpēji savietojami. Lai to saprastu, jāatceras, ka jebkuri divi mainīgie nosaka trešo. Izvēloties, ka P un V ir neatkarīgi, mēs iztēlojamies, ka T vērtības veido virsmu virs PV plaknes. Noteikts V0 un P0 definē T0, punktu uz šīs virsmas. Ievietojot šīs vērtības (4) un (5) un pārkārtojot, iegūstam šādus rezultātus

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) un T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}}{k_{V}(V_{0})}}\kvadrāts un T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}} $T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}$

Tā kā abas apraksta to, kas notiek vienā un tajā pašā virsmas punktā, abas skaitliskās izteiksmes var pielīdzināt un sakārtot.

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}}{V_{0}}}},\! } ${\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}\,\!$ (6)

Ņemiet vērā, ka 1/kV(V0) un 1/kP(P0) ir P asij/V asij paralēlo ortogonālo līniju slīpumi, kas iet caur šo virsmas punktu virs PV plaknes. Šo divu līniju slīpumu attiecība ir atkarīga tikai no P0/V0 vērtības šajā punktā.

Ņemiet vērā, ka (6) funkcionālā forma nav atkarīga no konkrētā izvēlētā punkta. Tāda pati formula būtu iegūta jebkurai citai P un V vērtību kombinācijai. Tāpēc var rakstīt

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}}\kvadrs \forall P,\forall V} ${\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V$ (7)

Tas nozīmē, ka katram virsmas punktam ir savs ortogonālo līniju pāris, kas iet caur to, un to slīpuma attiecība ir atkarīga tikai no šī punkta. Ja (6) ir attiecība starp konkrētām nogāzēm un mainīgo lielumiem, tad (7) ir attiecība starp nogāžu funkcijām un funkcijas mainīgajiem. Tā attiecas uz jebkuru virsmas punktu, t. i., uz jebkuru un visām P un V vērtību kombinācijām. Lai atrisinātu šo vienādojumu funkcijai kV(V), vispirms atdaliet mainīgos lielumus: V pa kreisi un P pa labi.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)} $V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)$

Izvēlieties jebkuru spiedienu P1. Labajā pusē tiek aprēķināta kāda patvaļīga vērtība, nosauciet to par _karb.

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}},\! } $V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\!$ (8)

Šim konkrētajam vienādojumam tagad ir jābūt patiesam ne tikai vienai V vērtībai, bet visām V vērtībām. Vienīgā kV(V) definīcija, kas to garantē visiem V un patvaļīgiem _karb, ir šāda.

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}}{V}}}}} $k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}$ (9)

ko var pārbaudīt, aizstājot (8).

Visbeidzot, aizstājot (9) ar Gejas-Lušaka likumu (4) un pārkārtojot, iegūst kombinēto gāzes likumu

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{{\text{arb}}},\! } ${\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\!$

Ņemiet vērā, ka, lai gan šajā atvasinājumā Boila likums netika izmantots, tas ir viegli izsecināms no rezultāta. Parasti šāda veida atvasinājumos ir nepieciešami tikai divi no trim sākuma likumiem - visi sākuma pāri noved pie viena un tā paša kombinētā gāzes likuma.

Pieteikumi

Kombinēto gāzes likumu var izmantot, lai izskaidrotu mehāniku, kurā ietekmē spiediens, temperatūra un tilpums. Piemēram, gaisa kondicionētāji, ledusskapji un mākoņu veidošanās, kā arī izmanto šķidrumu mehānikā un termodinamikā.

Saistītās lapas

Daltona likums