Uzticamības intervāls

Jēdziena "confidence" nozīme

Līdzīga nozīme ir arī statistikā lietotajam jēdzienam ticamība. Vispārpieņemtajā lietojumā apgalvojums par 95 % ticamību kādam faktam parasti tiek uzskatīts par norādi uz faktisku pārliecību. Statistikā apgalvojums par 95 % ticamību vienkārši nozīmē, ka pētnieks ir redzējis vienu iespējamo intervālu no daudziem iespējamiem, no kuriem deviņpadsmit no divdesmit intervāliem satur patieso parametra vērtību.

Praktisks piemērs

Mašīna piepilda krūzītes ar margarīnu. Piemēram, mašīna ir noregulēta tā, lai tasīšu saturs būtu 250 g margarīna. Tā kā mašīna nevar piepildīt katru krūzīti ar precīzi 250 g, atsevišķās krūzītēs pievienotajam saturam ir zināmas variācijas, un to uzskata par nejaušu mainīgo X. Pieņem, ka šīs variācijas ir normāli sadalītas ap vēlamo vidējo vērtību 250 g ar 2,5 g standartnovirzi. Lai noteiktu, vai iekārta ir atbilstoši kalibrēta, nejauši izvēlas n = 25 margarīna krūzes, un tās nosver. Margarīna svars ir X1, ..., X25, izlases paraugs no X.

Lai gūtu priekšstatu par sagaidāmo μ, ir pietiekami sniegt aplēsi. Piemērotais aplēse ir izlases vidējais lielums:

μ ^ = X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i . {\displaystyle {\hat {\mu }}}={\bar {X}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}. }

Paraugā ir parādīti faktiskie svari x1, ...,x25 ar vidējo vērtību:

x ¯ = 1 25 ∑ i = 1 25 x i = 250,2 grami . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{25}}}sum _{i=1}^{25}x_{i}=250,2\,{\text{grams}}. }

Ja mēs ņemtu vēl vienu 25 tasīšu paraugu, mēs varētu viegli sagaidīt, ka atradīsim 250,4 vai 251,1 gramu. Tomēr parauga vidējā vērtība 280 g būtu ļoti reta, ja tasīšu vidējais saturs patiesībā ir tuvu 250 g. Ap novēroto izlases vidējo vērtību 250,2 ir vesels intervāls, kurā, ja visas populācijas vidējā vērtība patiešām ir šajā intervālā, novērotie dati netiktu uzskatīti par īpaši neparastiem. Šādu intervālu sauc par parametra μ ticamības intervālu. Kā mēs aprēķinām šādu intervālu? Intervāla galējie punkti jāaprēķina no izlases, tāpēc tie ir statistikas dati, izlases X1, ..., X25 funkcijas un līdz ar to arī nejauši lielumi.

Mūsu gadījumā mēs varam noteikt galīgos punktus, uzskatot, ka izlases vidējais X no normāli sadalītas izlases arī ir normāli sadalīts ar tādu pašu sagaidāmo μ, bet ar standartkļūdu σ/√n = 0,5 (grami). Standartizējot, mēs iegūstam nejaušo mainīgo

Z = X¯ - μ σ / n = X¯ - μ 0,5 {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{0,5}}}}

atkarīgs no novērtējamā parametra μ, bet ar standarta normālu sadalījumu, kas nav atkarīgs no parametra μ. Tādējādi ir iespējams atrast no μ neatkarīgus skaitļus -z un z, kur Z atrodas starp tiem ar varbūtību 1 - α, kas ir mērs tam, cik pārliecināti mēs vēlamies būt. Mēs pieņemam 1 - α = 0,95. Tātad mums ir:

P ( - z ≤ Z ≤ z ) = 1 - α = 0,95. {\displaystyle P(-z\leq Z\leq z)=1-\alpha =0,95.\,}

Skaitlis z izriet no kumulatīvās sadalījuma funkcijas:

Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = 1 - α 2 = 0,975 , z = Φ - 1 ( Φ ( z ) ) = Φ - 1 ( 0,975 ) = 1.96 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (z)&=P(Z\leq z)=1-{\tfrac {\alpha }{2}}}=0,975,\\[6pt]z&=\Phi ^{-1}(\Phi (z))=\Phi ^{-1}(0,975)=1,96,\end{aligned}}}}}

un mēs iegūstam:

0,95 = 1 - α = P ( - z ≤ Z ≤ z ) = P ( - 1,96 ≤ X¯ - μ σ / n ≤ 1,96 ) = P ( X¯ - 1,96 σ n ≤ μ ≤ X¯ + 1.96 σ n ) = P ( X - 1,96 × 0,5 ≤ μ ≤ ≤ X + 1,96 × 0,5 ) = P ( X - 0,98 ≤ μ ≤ ≤ X + 0,98 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}0,95&=1-\alpha =P(-z\leq Z\leq z)=P\left(-1,96\leq {\frac {{\bar {X}}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq 1.96\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96{\frac {\sigma }{\skqrt {n}}}}pareizi)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}}-1,96\times 0,5\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96\reiz 0,5\pa labi)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-0,98\leq \mu \leq {\bar {X}}+0,98\pa labi).\end{aligned}}}}

To var interpretēt šādi: ar varbūtību 0,95 mēs atradīsim ticamības intervālu, kurā starp stohastiskajiem galapunktiem būs parametrs μ.

X - 0 . 98 {\displaystyle {\bar {X}}-0{.}98\,}

un

X ¯ + 0.98. {\displaystyle {\bar {X}}+0,98.\,}

Tas nenozīmē, ka pastāv 0,95 % varbūtība, ka parametrs μ tiks sasniegts aprēķinātajā intervālā. Katru reizi atkārtojot mērījumus, tiks iegūta cita izlases vidējā X vērtība. 95 % gadījumu μ atradīsies starp beigu punktiem, kas aprēķināti no šī vidējā lieluma, bet 5 % gadījumu tas tā nebūs. Faktisko ticamības intervālu aprēķina, formulā ievadot izmērītos lielumus. Mūsu 0,95 ticamības intervāls ir šāds:

( x - 0,98 ; x - + 0,98 ) = ( 250,2 - 0,98 ; 250,2 + 0,98 ) = ( 249,22 ; 251,18 ) . {\displaystyle ({\bar {x}}-0.98;{\bar {x}}+0.98)=(250.2-0.98;250.2+0.98)=(249.22;251.18).\,}

Tā kā vēlamā μ vērtība 250 ir iegūtā ticamības intervāla robežās, nav iemesla uzskatīt, ka iekārta ir nepareizi kalibrēta.

Aprēķinātajam intervālam ir fiksēti galapunkti, starp kuriem μ var atrasties (vai arī ne). Tādējādi šim notikumam ir varbūtība 0 vai 1. Mēs nevaram teikt: "ar varbūtību (1 - α) parametrs μ atrodas ticamības intervālā". Mēs tikai zinām, ka atkārtojot 100(1 - α) % gadījumu μ atradīsies aprēķinātajā intervālā. Tomēr 100α % gadījumu tas tā nav. Un diemžēl mēs nezinām, kuros gadījumos tas notiek. Tāpēc mēs sakām: "ar ticamības līmeni 100(1 - α) % μ atrodas ticamības intervālā. "

Attēlā pa labi ir parādītas 50 ticamības intervāla realizācijas dotai populācijas vidējai vērtībai μ. Ja mēs nejauši izvēlamies vienu realizāciju, ir 95 % varbūtība, ka mēs esam izvēlējušies intervālu, kas satur parametru; tomēr mums var nepaveikties un mēs varam būt izvēlējušies nepareizo intervālu. Mēs to nekad neuzzināsim; mēs esam pieķērušies savam intervālam.

Vertikālie līniju segmenti ir 50 μ ticamības intervāla realizācijas.