Standartnovirze: definīcija, aprēķins un nozīme statistikā

Aplūkojiet grupu, kurā ir šādi astoņi skaitļi:

2 , , 44, 4, , 5, , 5, 7{\displaystyle9 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9}

Šo astoņu skaitļu vidējā vērtība (vidējais) ir 5:

2 + +4 + + 4+ 4+ + 5+ + 5+ 7= 98{\displaystyle5 {\frac {2+4+4+4+4+5+5+7+9}{8}}}=5}

Lai aprēķinātu populācijas standartnovirzi, vispirms nosakiet katra saraksta skaitļa starpību no vidējā. Pēc tam katras starpības rezultātu kvadrātā:

( 2-5 ) =2 ( - 3) =2 ( 95- 5) =2 = = 02( 04-5 ) =2 ( - 1) = (15 - ) =2 ( - 5) =2 = 02( 04-5 ) =2 ( - 1) =2 (17 - 5) = 222( 44-5 ) = ( - ) = 2( -1 ) = 2( 19- 5) = = 2= 42{\displaystyle16 {\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16\\\end{array}}}

Pēc tam atrodiet šo vērtību vidējo vērtību (summu daliet ar skaitļu skaitu). Visbeidzot, iegūstiet kvadrātsakni:

( +9 +1 + +1 +1 + + 0+ 0+ 4) 16= 8{\displaystyle2 {\sqrt {\frac {(9+1+1+1+1+1+0+0+0+4+16)}{8}}}}=2}

Atbilde ir populācijas standartnovirze. Formula ir pareiza tikai tad, ja astoņi skaitļi, ar kuriem mēs sākām, ir visa grupa. Ja tie ir tikai nejauši izvēlēta grupas daļa, tad priekšpēdējā soļa apakšā (saucējā) jāizmanto 7 (kas ir n - 1), nevis 8 (kas ir n). Tad atbilde ir izlases standartnovirze. To sauc par Besela korekciju.

Nedaudz sarežģītāks piemērs no reālās dzīves: Vidējais pieaugušu vīriešu augums ASV ir 70 cm, ar 3 cm standartnovirzi. Standartnovirze 3 collas nozīmē, ka lielākajai daļai vīriešu (aptuveni 68 %, pieņemot, ka sadalījums ir normāls) ir 3 collas lielāks līdz 3 collas mazāks augums nekā vidējais (67 - 73 collas) - viena standartnovirze. Gandrīz visu vīriešu (aptuveni 95 %) augums ir no 6" augstāks līdz 6" zemāks par vidējo (64"-76") - divas standartnovirzes. Trīs standartnovirzes ietver visus skaitļus 99,7 % no pētāmās izlases populācijas. Tas ir taisnība, ja sadalījums ir normāls (zvanveida).

Ja standartnovirze būtu nulle, tad visi vīrieši būtu precīzi 70" augumā. Ja standartnovirze būtu 20", tad daži vīrieši būtu daudz augstāki vai daudz zemāki par vidējo rādītāju, un tipiskais diapazons būtu aptuveni 50-90".

Vēl viens piemērs: katrai no trim grupām {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} un {6, 6, 8, 8} ir vidējais (vidējais) skaitlis 7. Bet to standartnovirzes ir 7, 5 un 1. Trešajai grupai ir daudz mazāka standartnovirze nekā pārējām divām, jo tās skaitļi ir tuvi 7. Pamatideja ir tāda, ka standartnovirze norāda, cik tālu no vidējā rādītāja mēdz būt pārējie skaitļi. Tai būs tādas pašas vienības kā pašiem skaitļiem. Ja, piemēram, grupa {0, 6, 8, 14} ir četru brāļu grupas vecums gados, tad vidējais ir 7 gadi un standartnovirze ir 5 gadi.

Standartnovirze var kalpot kā nenoteiktības mērs. Piemēram, zinātnē atkārtotu mērījumu grupas standartnovirze palīdz zinātniekiem noteikt, cik pārliecināti viņi ir par vidējo skaitli. Lemjot par to, vai eksperimenta mērījumi atbilst prognozēm, šo mērījumu standartnovirze ir ļoti svarīga. Ja eksperimentos iegūtais vidējais skaitlis ir pārāk tālu no prognozētā skaitļa (attālumu mēra standartnovirzēs), tad pārbaudāmā teorija var nebūt pareiza. Sk. prognozes intervālu.

Piemērošanas piemēri

Izpratne par vērtību kopuma standartnovirzi ir noderīga, lai zinātu, cik liela atšķirība no "vidējā" (vidējā) ir sagaidāma.

Laikapstākļi

Kā vienkāršu piemēru aplūkojiet divu pilsētu vidējo diennakts augstāko temperatūru - vienas pilsētas iekšzemē un otras - okeāna tuvumā. Ir lietderīgi saprast, ka pilsētām okeāna tuvumā diennakts augstās temperatūras amplitūda ir mazāka nekā pilsētām iekšzemē. Šajās divās pilsētās var būt vienāda vidējā dienas augstā temperatūra. Tomēr piekrastes pilsētas diennakts augstās temperatūras standartnovirze būs mazāka nekā iekšzemes pilsētā.

Sports

Vēl viens veids, kā to aplūkot, ir aplūkot sporta komandas. Jebkurā sporta veidā būs komandas, kas ir labas dažās jomās, bet citās - ne. Komandas, kas ierindojas augstākajās vietās, neuzrādīs lielas atšķirības spējās. Tām labi veicas lielākajā daļā kategoriju. Jo zemāka ir to spēju standartnovirze katrā kategorijā, jo līdzsvarotākas un saskaņotākas tās ir. Savukārt komandas ar lielāku standartnovirzi būs mazāk paredzamas. Komandai, kas parasti ir slikta lielākajā daļā kategoriju, būs zema standartnovirze. Komandai, kas parasti ir laba lielākajā daļā kategoriju, arī būs zema standartnovirze. Tomēr komanda ar augstu standartnovirzi var būt tāda komanda, kas gūst daudz punktu (spēcīgs uzbrukums), bet arī ļauj otrai komandai gūt daudz punktu (vāja aizsardzība).

Mēģinot iepriekš noskaidrot, kuras komandas uzvarēs, var apskatīt dažādu komandu "statistikas" standartnovirzes. Skaitļi, kas atšķiras no paredzamajiem, var salīdzināt stiprās un vājās puses, lai parādītu, kādi iemesli var būt vissvarīgākie, lai uzzinātu, kura komanda uzvarēs.

Sacīkstēs tiek mērīts laiks, kas braucējam nepieciešams, lai veiktu katru apli trasē. Braucējs ar mazu apļa laika standartnovirzi ir stabilāks nekā braucējs ar lielāku standartnovirzi. Šo informāciju var izmantot, lai saprastu, kā autovadītājs var samazināt laiku, kas vajadzīgs, lai pabeigtu apli.

Nauda

Naudā standartnovirze var nozīmēt risku, ka cena pieaugs vai samazināsies (akcijas, obligācijas, īpašums utt.). Tā var nozīmēt arī risku, ka cenu grupa palielināsies vai samazināsies (aktīvi pārvaldīti kopieguldījumu fondi, indeksu kopieguldījumu fondi vai ETF). Risks ir viens no iemesliem, kāpēc jāpieņem lēmums par to, ko iegādāties. Risks ir skaitlis, ko cilvēki var izmantot, lai uzzinātu, cik daudz naudas viņi var nopelnīt vai zaudēt. Riskam kļūstot lielākam, ieguldījuma ienesīgums var būt lielāks, nekā gaidīts ("plus" standartnovirze). Tomēr ieguldījums var arī zaudēt vairāk naudas, nekā gaidīts ("mīnus" standartnovirze).

Piemēram, personai bija jāizvēlas starp divām akcijām. Pēdējo 20 gadu laikā akcijas A vidējā peļņa bija 10 %, bet standarta novirze - 20 procentu punkti (pp). Akcijas B vidējā peļņa pēdējo 20 gadu laikā bija 12 %, bet standartnovirze bija lielāka - 30 procentu punkti. Pārdomājot risku, persona var izlemt, ka akcija A ir drošāka izvēle. Lai gan viņi, iespējams, neiegūs tik daudz naudas, viņi, visticamāk, arī daudz nezaudēs. Persona var uzskatīt, ka B akcijai par 2 procentpunktiem augstāks vidējais rādītājs nav vērts papildu 10 pp standarta novirzes (lielāks risks vai gaidāmās peļņas nenoteiktība).

Noteikumi par normāli sadalītiem skaitļiem

Lielākajā daļā matemātisko vienādojumu standartnovirzei tiek pieņemts, ka skaitļi ir sadalīti normāli. Tas nozīmē, ka skaitļi ir sadalīti noteiktā veidā abās vidējās vērtības pusēs. Normālo sadalījumu sauc arī par Gausa sadalījumu, jo to atklāja Karls Frīdrihs Gauss. To bieži sauc par zvanu līkni, jo skaitļi sadalās tā, ka grafikā iegūst zvanu formu.

Skaitļi nav normāli sadalīti, ja tie ir sagrupēti vienā vai otrā vidējās vērtības pusē. Skaitļi var būt izkliedēti, un tie joprojām ir normāli sadalīti. Standartnovirze norāda, cik plaši skaitļi ir izkliedēti.

Datu kopas vidējo (vidējo) vērtību un standartnovirzi parasti raksta kopā. Tad cilvēks var saprast, kāds ir vidējais skaitlis un cik plaši ir izkliedēti citi skaitļi grupā.

To, kā sadalās skaitļu grupa, var noteikt arī ar variācijas koeficientu, kas ir standartnovirze, dalīta ar vidējo. Tas ir bezdimensiju skaitlis. Variāciju koeficientu bieži reizina ar 100 % un izsaka procentos.

Terminu standartnovirze pirmo reizi rakstiski lietoja Karls Pīrsons 1894. gadā pēc tam, kad viņš to lietoja lekcijās. Ar to tika aizstāti agrākie nosaukumi, kas apzīmēja to pašu ideju: piemēram, Gauss lietoja vidējo kļūdu.

• Precizitāte un precizitāte
• Parauga lielums