Elipse — definīcija, īpašības, vienādojums un piemēri

Elipse: skaidra definīcija, īpašības, kanoniska vienādojuma izskaidrojums un praktiski piemēri (fokusi, parametri, planētu orbītas) — saprotami un ilustrēti.

Elipse ir slēgta līkne, kas izskatās kā ovāls vai saplacināts aplis. Ģeometrijā elipse parasti tiek definēta kā plaknes līkne, kas rodas, kad konuss krustojas ar plakni tā, ka veidojas slēgta līkne. Vēl viena ekvivalenta definīcija: elipse ir visu to plaknes punktu atrašanās vieta, kuru attālumu summa līdz diviem fiksētiem punktiem (fokusiem) ir konstanta.

Galvenie elementi un termini

- Elipsei ir divi fokusi (foci).
- Elipses centrs ir punkts, kas atrodas tieši starp abiem fokusiem; ja fokusus atrod uz x‑ass, centra koordinātas būs (h,k).
- Garākā elipses šķautne saucas galvenā ass (major axis) un tās garums ir 2a; puse no tā (a) ir semimajor (pusass).
- Īsākā šķautne saucas sekundārā ass (minor axis) un tās garums ir 2b; puse no tā (b) ir semiminor.
- Fokusa attālumu no centra apzīmē ar c; ja a ≥ b, tad c = sqrt(a^2 − b^2).

Vienādojums plaknē

Standarta elipses vienādojums ar centru (h,k) un asīm, kas paralēlas koordinātu asīm, ir

((x − h)^2) / a^2 + ((y − k)^2) / b^2 = 1

Ja centrālais punkts ir (0,0), vienādojums vienkāršojas līdz x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Parasti pieņem, ka a ≥ b, tad a apzīmē semimajor asi (pusass), bet b semiminor asi.

Svarīgas īpašības

• Fokusu īpašība (summa): jebkuram elipses punktam A un fiksētiem fokusiem F1, F2 ir spēkā |AF1| + |AF2| = 2a — tā definē elipsi.
• Fokusa attālums: c^2 = a^2 − b^2 (ja a ir semimajor). Tātad fokusu koordinātas elipsei, kur centra vieta ir (h,k) un galvenā ass gar horizontāli, būs (h ± c, k).
• Ekscentritāte: e = c / a, kur 0 ≤ e < 1. Ja e = 0 (t.i., c = 0, a = b), elipse pārvēršas par apli.
• Atstarošanas īpašība: starp diviem fokusiem esošais gaismas stars, kas krīt uz elipses malas, atstarojas tā, ka spoguļa likums nodrošina ceļu no viena fokusa uz otru — tas izmanto to, ka ceļš F1 → punkts → F2 ir minimāls.
• Parametriskā forma: x = h + a cos t, y = k + b sin t, kur t ∈ [0, 2π).
• Laukums: S = π a b.
• Perimetrs: nav elementāras formulas ar elementārajām funkcijām — precīzi izmanto elliptisko integrāli. Praktiska tuvinājuma formula (Ramanujan) ir: P ≈ π [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))].

Ģeometriskā konstrukcija

Vienkārša praktiska elipses zīmēšanas metode ir tā dēvētā “adatas un auklas” konstrukcija: piestiprina divus tapas (fokusus) kartona plāksnē, apkārt abiem aptin auklu, ieliek zīmuli cilpā un stiepjas, turot au jaunu spriegumu — zīmulis, pārvietojoties, uztur attālumu summu līdz abiem tapas punktiem konstantu un izveido elipsi.

Piemēri

1) Elipse ar centru (0,0), a = 5 un b = 3: vienādojums x^2/25 + y^2/9 = 1. Fokusi atrodas punktos (±4,0), jo c = √(25 − 9) = 4. Galvenās un sekundārās ass gali ir (±5,0) un (0,±3). Laukums S = 15π.

2) Ja a = b = R, tad x^2/R^2 + y^2/R^2 = 1 → x^2 + y^2 = R^2 — tas ir aplis, tātad aplis ir elipses īpašs gadījums.

Astronomisks piemērs

Keplera pirmais likums nosaka, ka planētu orbītas ir elipses, kuras centrālās masas (piemēram, Saule) atrodas vienā no fokusiem. Tāpēc planētas kustība ap Sauli notiek elipses paņēmienā, nevis pa perfektu apli.

Piezīmes par vispārīgāku vienādojumu

Vispārīgi kvadrātiskā līnija koniskas šķērsgriezuma gadījumā var tikt aprakstīta ar vispārējo kvadrātisko vienādojumu Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. Lai tā būtu elipse (un ne rotēta vai pārvietota), jāizpildās noteiktiem nosacījumiem (piem., diskriminants B^2 − 4AC < 0 u.c.).

Šis raksts sniedz pārskatu par elipses definīciju, īpašībām, vienādojumiem un praktiskiem piemēriem. Ja vēlaties, varu pievienot zīmēšanas piemērus ar soļiem vai demonstrēt, kā iegūt parametru c un ekscentritāti konkrētiem skaitļiem.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir elipse?

J: Kā var izveidot elipsi?

J: Kas ir apļi?

J: Cik fokusu ir elipsei?

J: Kāds vienādojums apraksta elipsi?

J: Kur mēs redzam eliptisku orbītu piemērus?

Meklēt pēc burta