Gausa izslēgšanas metode

Matemātikā Gausa eliminācija (saukta arī par rindu reducēšanu) ir metode, ko izmanto lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai. Tā ir nosaukta slavenā vācu matemātiķa Kārļa Frīdriha Gausa vārdā, kurš rakstīja par šo metodi, bet neizgudroja to.

Lai veiktu Gausa izslēgšanu, lineāro vienādojumu sistēmas locekļu koeficienti tiek izmantoti, lai izveidotu matricas veidu, ko sauc par papildinātu matricu. Tad matricas vienkāršošanai izmanto elementāras rindas operācijas. Izmanto šādus trīs rindu operāciju veidus:

1. tips: vienas rindas pārslēgšana ar citu rindu.

2. tips: rindas reizināšana ar skaitli, kas nav nulle.

3. tips: rindas pievienošana vai atņemšana no citas rindas.

Gausa eliminācijas mērķis ir iegūt matricu rindu-ekelonu formā. Ja matrica ir rindas-ekelona formā, tas nozīmē, ka, lasot no kreisās uz labo, katra rinda sākas ar vismaz vienu nulles locekli vairāk nekā rinda virs tās. Dažās Gausa eliminācijas definīcijās teikts, ka matricas rezultātam jābūt reducētā rindu-ekelona formā. Tas nozīmē, ka matrica ir rindas-ekelona formā un vienīgais nenulles loceklis katrā rindā ir 1. Gausa elimināciju, kas rada reducētas rindas-ekelona matricas rezultātu, dažreiz sauc par Gausa-Jordana elimināciju.

Piemērs

Pieņemsim, ka mērķis ir atrast atbildes uz šo lineāro vienādojumu sistēmu.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Vispirms sistēma jāpārvērš par papildinātu matricu. Paplašinātajā matricā katrs lineārais vienādojums kļūst par rindu. Paplašinātās matricas vienā pusē katra lineārā vienādojuma locekļa koeficienti kļūst par skaitļiem matricā. Paplašinātās matricas otrā pusē ir konstantie locekļi, kuriem ir vienāds katrs lineārais vienādojums. Šai sistēmai paplašinātā matrica ir šāda:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Pēc tam ar papildināto matricu var veikt rindu operācijas, lai to vienkāršotu. Tabulā ir parādīts rindu reducēšanas process vienādojumu sistēmai un papildinātajai matricai.

Vienādojumu sistēma	Rindu darbības	Paplašinātā matrica
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&&\;=\;&&8&&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&&y&&&\;-&&&\;z&&&\;=\;&&8&\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1/2&1\0&2&1&5\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&&y\;&&-&&&\;z\;&&=\;&&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1/2&1\0&0&1&1&1\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Matrica tagad ir rindu-ekelonu formā. To sauc arī par trīsstūrveida formu.

Vienādojumu sistēma	Rindu darbības	Paplašinātā matrica
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\&&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}}R_{3}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 1 0 7 0 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1/2&0&3/2\0&0&0&1&1\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 1 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&0&7\0&1&0&3\0&0&0&1&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&&\;&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}R_{1}\rightarrow R_{1}}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 0 2 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&0&2\0&1&0&3\0&0&0&1&1&-1\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Matrica tagad ir reducētā rindu-ekelonu formā. Lasot šo matricu, mēs redzam, ka šīs vienādojumu sistēmas risinājumi ir tad, kad x = 2, y = 3 un z = -1.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir Gausa eliminācija?

A: Gausa eliminācija ir metode, ko izmanto matemātikā, lai atrisinātu lineāru vienādojumu sistēmas.

J: Kura vārdā tā ir nosaukta?

A: Tā ir nosaukta slavenā vācu matemātiķa Kārļa Frīdriha Gausa vārdā, kurš rakstīja par šo metodi, bet neizgudroja to.

J: Kā tiek veikta Gausa eliminācija?

A: Gausa elimināciju veic, izmantojot lineāro vienādojumu sistēmas locekļu koeficientus, lai izveidotu papildinātu matricu. Tad matricas vienkāršošanai izmanto elementāras rindas operācijas.

Kādi ir trīs rindu operāciju veidi, ko izmanto Gausa eliminācijā?

A: Gausa eliminācijā izmanto šādus trīs rindu operāciju veidus: Vienas rindas aizstāšana ar citu rindu, rindas reizināšana ar nenulles skaitli un rindas pievienošana vai atņemšana no citas rindas.

K: Kāds ir Gausa eliminācijas mērķis?

A: Gausa eliminācijas mērķis ir iegūt matricu rindas-ekelona formā.

J: Kas ir rindas un ešelona forma?

A: Ja matrica ir rindas-ekelona formā, tas nozīmē, ka, lasot no kreisās uz labo, katra rinda sākas ar vismaz vienu nulles locekli vairāk nekā rinda virs tās.

J: Kas ir reducētā rindu-ekelona forma?

A: Reducēta rindu-ekelona forma nozīmē, ka matrica ir rindu-ekelona formā un vienīgais nenulles loceklis katrā rindā ir 1. Gausa elimināciju, kas rada reducētas rindu-ekelona matricas rezultātu, dažreiz sauc par Gausa-Jordana elimināciju.