Ģeometriskais vidējais: definīcija, formula un piemēri

Uzzini ģeometriskais vidējais — definīcija, formula un skaidri piemēri soli pa solim, noderīgi finanšu un statistikas uzdevumiem.

Vidējais ģeometriskais ir skaitlis, ko izmanto, lai raksturotu skaitļu kopu, ja interesē to kopējā proporcionālā vai reizināšanas rakstura uzvedība. To definē kā šo skaitļu reizinājuma n-to sakni. Salīdzinājumā ar biežāk lietoto vidējo aritmētisko, ģeometriskais vidējais parasti ir mazāks vai vienāds ar to; īpaši tas ir noderīgs, ja dati attēlo procentu izmaiņas, atdevi vai pieauguma faktorus (finansēs un statistikā).

Definīcija un formula

Ja ir n pozitīvi skaitļi x1, x2, ..., xn, tad ģeometriskais vidējais (GM) tiek aprēķināts kā:

GM = (x1 * x2 * ... * xn)^(1/n)

Izteikts, izmantojot reizinājuma zīmi: GM = (∏ x_i)^(1/n). Alternatīvi, var izmantot logaritmus, kas ir īpaši ērti, ja skaitļi ir lieli vai to skaits ir liels:

GM = exp((1/n) * ∑ ln x_i)

Kā aprēķināt — soļi

• Ja skaitļi ir proporcionālie (piem., pieauguma faktori 1.10, 0.95 utt.), pārliecinieties, ka tie ir izjūtami kā pozitīvi reizināšanas faktori.
• Reiziniet visus skaitļus kopā (vai summējiet to ln vērtības).
• Paceliet reizinājumu n-tajā saknē (vai izvadiet eksponentu no logaritmu vidējā).

Piemēri

1) Trīs skaitļi: 2, 8 un 4

GM = (2 * 8 * 4)^(1/3) = (64)^(1/3) = 4.

To var pārbaudīt ar logaritmiem: ln GM = (ln 2 + ln 8 + ln 4)/3 ≈ (0.6931 + 2.0794 + 1.3863)/3 = 1.3863 → GM = e^1.3863 = 4.

2) Finanšu piemērs (CAGR — vidējais gada pieauguma temps)

Saknes kapitāla vērtība: sākotnēji 100, pēc 2 gadu perioda 150. Augšanas faktori: 150/100 = 1.5 var uzskatīt par kopējo 2 periodu faktoru; gada ģeometriskais vidējais (CAGR) = (1.5)^(1/2) ≈ 1.2247 → ~22.47% gadā. Ja dati ir pa periodiem (piem., 1.2 un 1.25), GM = sqrt(1.2 * 1.25) ≈ 1.2247.

Īpašības un ierobežojumi

• Prasība pēc pozitīviem skaitļiem: klasiskā definīcija pieprasa x_i > 0, jo ln(x) definēts tikai pozitīviem reāliem skaitļiem. Ja kāds elements ir 0, reizinājums ir 0 un ģeometriskais vidējais būs 0, taču šāds rezultāts parasti nav informatīvs, ja interesē relatīvais pieaugums.
• Negatīvie skaitļi: ja reizinājums ir negatīvs, tad n-tās saknes reāls rezultāts pastāv tikai tad, ja n ir nepāra; tomēr praksē ģeometrisko vidējo negatīviem skaitļiem reti lieto, jo interpretācija kļūst neskaidra. Ar kompleksiem skaitļiem situācija vēl sarežģītāka — saknēm var būt vairāki rezultāti.
• AM–GM nevienādība: ģeometriskais vidējais vienmēr ir mazāks vai vienāds par aritmētisko vidējo: GM ≤ AM, un vienādība rodas tikai tad, ja visi skaitļi ir vienādi.
• Robustums pret ekstrēmiem lielumiem: ģeometriskais vidējais mazāk ietekmē izteikti lieli atsevišķi novērojumi nekā aritmētiskais vidējais (jo darbojas reizināšana un sakne).

Svari un variācijas

Ir definējama arī svarīta ģeometriskais vidējais: ja katram x_i piešķir svaru w_i (w_i ≥ 0 un ∑ w_i = 1), tad

GM_w = ∏ x_i^{w_i} = exp(∑ w_i ln x_i)

Tas lietojams, ja vēlaties ņemt vērā dažādu novērojumu relatīvo nozīmīgumu.

Lietošanas jomas

• Finansēs: vidējā atdeve, CAGR, riska un atdeves modeli.
• Statistikā: dažādu ģeometrisku proporciju mērījumi, ģeometriskie vidējie rādītāji veselības, bioloģijas vai zinātniskos datos.
• Inženierijā un fizikā, ja procesi ir multiplikatīvi (piem., mērogošana, relatīvie efekti).

Praktiski padomi

• Ja dati satur procentu izmaiņas, pārveido tās uz faktoriem (piem., +10% → 1.10, −5% → 0.95) un tad aprēķina ģeometrisko vidējo.
• Lielu skaitu datu gadījumā lietojiet logaritmu metodi, lai izvairītos no skaitliskām problēmām (pārplūdes/underflow).
• Ja dati satur nulles vai negatīvus skaitļus, padomājiet, vai ģeometriskais vidējais ir piemērots; bieži labāk izvēlēties citu mēru vai preprocesēt datus (piem., pārbīde, lai kļūtu visi skaitļi pozitīvi), bet jāpievērš uzmanība interpretācijai pēc pārbīdes.

Ģeometriskais vidējais ir spēcīgs rīks, kad interesē vidējā proporcija vai tipiska reizināšanas uzvedība. Izpratne par tā prasībām (pozitīvi skaitļi, interpretācija) un praktiska lietošana ar logaritmiem nodrošina pareizus un stabilus rezultātus.

Jautājumi un atbildes

Jautājums: Kas ir ģeometriskais vidējais?

J: Kā aprēķina ģeometrisko vidējo?

J: Par ko parasti runā, kad runā par "vidējo" vai "vidējo"?

Vai ģeometriskais vidējais vienmēr ir mazāks par vidējo aritmētisko?

Vai var aprēķināt ģeometrisko vidējo, ja viens no tā skaitļiem ir nulle?

Vai ir jēga aprēķināt ģeometrisko vidējo, ja viens no skaitļiem ir negatīvs?

J: Vai šo metodi var izmantot kompleksiem skaitļiem?

Meklēt pēc burta