Gēdela nepilnības teorēmas
Gēdela nepilnības teorēmas ir nosaukums divām teorēmām (patiesiem matemātiskiem apgalvojumiem), ko 1931. gadā pierādīja Kurts Gēdels. Tās ir teorēmas matemātiskajā loģikā.
Matemātiķi savulaik uzskatīja, ka visam, kas ir patiess, ir matemātisks pierādījums. Sistēmu, kurai piemīt šī īpašība, sauc par pilnīgu; sistēmu, kurai tā nepiemīt, sauc par nepilnīgu. Arī matemātiskām idejām nevajadzētu būt pretrunām. Tas nozīmē, ka tām nevajadzētu būt vienlaicīgi patiesām un nepatiesām. Sistēmu, kurā nav pretrunu, sauc par konsekventu. Šo sistēmu pamatā ir aksiomu kopumi. Aksiomas ir apgalvojumi, kas tiek uzskatīti par patiesiem, un tiem nav nepieciešami pierādījumi.
Gēdelis teica, ka katra netriviāla (interesanta) formāla sistēma ir vai nu nepilnīga, vai nekonsekventa:
- Vienmēr būs jautājumi, uz kuriem nevarēs atbildēt, izmantojot noteiktu aksiomu kopumu;
- Jūs nevarat pierādīt, ka aksiomu sistēma ir konsekventa, ja vien neizmantojat citu aksiomu kopumu.
Šīs teorēmas ir svarīgas matemātiķiem, jo tās pierāda, ka nav iespējams izveidot aksiomu kopumu, kas izskaidro visu matemātikā.
Dažas saistītas tēmas
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Gēdela nepilnības teorēmas?
A: Gēdela nepilnības teorēmas ir divi patiesi matemātiski apgalvojumi, kurus Kurts Gēdelis pierādīja 1931. gadā matemātiskās loģikas jomā.
J: Kas ir pilnīga sistēma matemātikā?
A: Pilnīga sistēma matemātikā ir sistēma, kurai piemīt īpašība, ka visam, kas ir patiess, ir matemātisks pierādījums.
J: Kas ir nepilnīga sistēma matemātikā?
A: Nepilnīga sistēma matemātikā ir sistēma, kurai nepiemīt īpašība, ka visam, kas ir patiess, ir matemātisks pierādījums.
J: Kas ir konsekventa sistēma matemātikā?
A: Konsekventa sistēma matemātikā ir sistēma, kurā nav pretrunu, t. i., matemātiskas idejas nedrīkst būt vienlaicīgi patiesas un nepatiesas.
J: Kas ir aksiomas matemātikā?
A: Aksiomas matemātikā ir apgalvojumi, kas tiek uzskatīti par patiesiem un kam nav nepieciešami pierādījumi.
J: Ko Gēdelis apgalvoja par katru netriviālu formālu sistēmu?
A: Gēdelis apgalvoja, ka katra netriviāla formāla sistēma ir vai nu nepilnīga, vai nekonsekventa.
J: Kāpēc Gēdela nepilnības teorēmas ir svarīgas matemātiķiem?
A: Gēdela nepilnības teorēmas ir svarīgas matemātiķiem, jo tās pierāda, ka nav iespējams izveidot aksiomu kopumu, kas izskaidro visu matemātikā.
