Teorēma
Teorēma ir pierādīta ideja matemātikā. Teorēmas tiek pierādītas, izmantojot loģiku un citas jau pierādītas teorēmas. Teorēmu, kas kādam ir jāpierāda, lai viņš/viņa varētu pierādīt citu teorēmu, sauc par lemu. Teorēmas sastāv no divām daļām - hipotēzēm un secinājumiem.
Atšķirībā no teorijām, kas ir empīriskas, teorijās tiek izmantota dedukcija.
Daži apgalvojumi ir triviāli, tie tieši izriet no apgalvojumiem. Citas teorēmas sauc par "dziļām", to pierādīšana ir gara un sarežģīta. Dažreiz šādi pierādījumi ietver citas matemātikas jomas vai parāda sakarības starp dažādām jomām. Teorēma var būt vienkārši formulējama, un tomēr tā var būt dziļa. Lielisks piemērs ir Fermata pēdējā teorēma, un ir arī daudzi citi piemēri par vienkāršām, bet dziļām teorēmām skaitļu teorijā un kombinatorikā, kā arī citās jomās.
Ir arī citas teorēmas, kuru pierādījums ir zināms, taču to nav viegli pierakstīt. Labākie piemēri ir četru krāsu teorēma un Keplera hipotēze. Abas šīs teorēmas ir zināmas kā patiesas tikai tad, ja tās tiek reducētas uz skaitlisku meklēšanu, kas pēc tam tiek pārbaudīta ar datorprogrammu. Sākotnēji daudzi matemātiķi nepieņēma šādu pierādīšanas veidu, taču pēdējos gados tas ir kļuvis arvien plašāk atzīts. Matemātiķis Dorons Zeilbergers (Doron Zeilberger) pat ir nonācis tik tālu, ka apgalvo, ka šie, iespējams, ir vienīgie netriviālie rezultāti, kurus matemātiķi jebkad ir pierādījuši. Daudzas matemātiskās teorēmas var reducēt uz vienkāršākiem aprēķiniem, tostarp polinomu identitātes, trigonometriskās identitātes un hiperģeometriskās identitātes.
Pitagora teorēmai ir zināmi vismaz 370 pierādījumi.
Grāmatas
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, skatīts 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). Cilvēks, kurš mīlēja tikai skaitļus: Paul Erdős: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion, Ņujorka.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Ārējā saite
|title=(help)CS1 maint: multiple names: author list (link)
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir teorēma?
A: Teorēma ir doma, kuras patiesums ir pierādīts matemātikā, izmantojot loģiku un citas jau pierādītas teorēmas.
J: Kas ir lema?
A: Lemma ir mazsvarīgs apgalvojums, kas jāpierāda, lai pierādītu galveno apgalvojumu.
J: Kā tiek izdomātas teorēmas?
A: Teorēmas sastāv no divām daļām - hipotēzēm un secinājumiem - un tajās izmanto dedukciju, nevis empīriskās teorijas.
J: Vai visas teorēmas ir grūti pierādāmas?
A: Nē, dažas teorēmas ir triviālas, jo tās tieši izriet no propozīcijām, bet citām ir vajadzīgi gari un sarežģīti pierādījumi, kuros ir iesaistītas citas matemātikas jomas vai kuri parāda saistību starp dažādām jomām.
J: Vai teorēma var būt vienkārša, bet dziļa?
A: Jā, kā piemēru var minēt Fermata pēdējo teorēmu, kas ir vienkārši formulējama, bet tās pierādījums ir garš un sarežģīts.
J: Vai ir teorēmas, kuru pierādījums ir zināms, bet nav viegli uzrakstāms?
A: Jā, piemēram, četru krāsu teorēma un Keplera hipotēze, kuras var pārbaudīt, tikai izmantojot datorprogrammas.
J: Vai matemātiskās teorēmas dažkārt var reducēt uz vienkāršākiem aprēķiniem?
A: Jā, dažkārt matemātiskās teorēmas var reducēt uz vienkāršākiem aprēķiniem, piemēram, polinomu identitātēm, trigonometriskām identitātēm vai hiperģeometriskām identitātēm.
