Teorēma: definīcija, pierādījumi un slavenie piemēri matemātikā

Teorēma ir matemātisks apgalvojums, kuram ir sniegts stingrs pierādījums. Pierādījums balstās uz noteiktām pieņēmumu sistēmām — aksiomām un definīcijām — un izmanto loģiku un jau pierādītus rezultātus. Bieži vien, lai pierādītu kādu lielāku rezultātu, tiek vienlaikus pierādītas sīkākas īpašības, ko sauc par lemu vai palīdzības propozīcijām. Teorēmas formulējumā parasti skaidri norāda hipotēzes (nosacījumus) un no tām izrietošos secinājumus.

Teorēmas un teorijas — dedukcija pret empīrismu

Atšķirībā no plašākām zinātniskām teorijām, kas bieži ir empīriskas, matemātikas darbā dominē dedukcija: no skaidriem aksiomātiskiem pieņēmumiem loģiski izriet jauni apgalvojumi. Matemātikā nozīme nav tikai tajā, ka apgalvojums atbilst novērojumiem, bet gan tajā, ka tam ir nepārprotams, atkārtojami pārbaudāms pierādījums.

Pierādījumu veidi un paņēmieni

Pierādījumi var būt ļoti dažādi gan pēc stila, gan sarežģītības. Starp biežākajiem paņēmieniem ir:

• tiešs pierādījums (argumentācija no hipotēzēm uz secinājumu),
• pierādījums no pretrunām (redukcija līdz absurum),
• pierādījums ar kontrapozitīvu,
• matemātiskā indukcija (īpaši svarīga skaitļu teorijā un kombinatorikā),
• konstruējoši pierādījumi (parāda, kā iegūt piemēru vai objektu),
• analītiski, ģeometriski, kombinatoriski vai probabilistiski paņēmieni.

Dažreiz pierādījums izmanto instrumentus no citu jomu teorijām — piemēram, algebras, analīzes vai topoloģijas — un tādēļ atklāj saiknes starp dažādām matemātikas jomām.

Triviāls versus dziļš

Daži apgalvojumi ir triviāli — tie izriet tieši no definīcijām vai citām zināmām patiesībām. Citi ir "dziļi": to formulējums var būt vienkāršs un saprotams ikvienam, bet pierādījums ļoti sarežģīts un tehnisks. Lielisks piemērs ir Fermata pēdējā teorēma, — formulējums ir elementārs, bet pierādījums prasīja vairāk nekā 350 gadu un tehnisku instrumentāriju, kas izmantoja modernas algebriskās ģeometrijas metodes. Ir arī daudz citu vienkāršu, bet dziļu rezultātu skaitļu teorijā un kombinatorikā, kā arī citās jomās.

Datora pierādījumi, formālās pārbaudes un matemātiskā uzticamība

Dažām teorēmām pierādījums ir tik apjomīgs, ka to prasības ietver daudzu gadījumu pārbaudi, ko izpilda datorprogrammas. Pazīstami piemēri ir četru krāsu teorēma un Keplera hipotēze. Sākotnēji daļa matemātiķu šādu datorizētu pierādījumu negribēja pilnībā pieņemt, jo tie nebija viegli pārbaudāmi "cilvēka prātam". Taču laika gaitā datorsistēmu loma ir pieaugusi, un ir attīstījušās metodes, kā šos pierādījumus formāli pārbaudīt un verificēt.

Piemēram, četru krāsu teorēma ir saņēmusi pilnīgu formālu pierādījumu datorā, un Keplera hipotēzes pierādījuma precizitāte tika apstiprināta ar projektu Flyspeck — tādējādi abi rezultāti ir kļuvuši par akceptētiem un ticamiem, ne tikai uz uzticības pamata. Matemātiķis Dorons Zeilbergers (Doron Zeilberger) ir izteicis provokatīvu viedokli, ka daudzi netriviālie rezultāti mūsdienās reducējas uz sarežģītiem, bet beidzot skaitliskiem aprēķiniem; tomēr plašākā matemātiskā kopiena šo uzskatu neuztver kā vienīgo paradigmu.

Turklāt aug kopiena, kas izmanto formālās pierādīšanas asistentus (piemēram, Coq, Lean u. c.), lai pārbaudītu un arhivētu rezultātus — tas palielina pierādījumu uzticamību un palīdz atrast kļūdas cilvēku darinātos pierādījumos.

Struktūra un nomenklatūra

Matemātikā blakus teorēmām bieži parādās arī citi termini:

• Lemma — palīdzības rezultāts, kas atvieglo lielāka apgalvojuma pierādīšanu;
• Propozīcija — mazāks vai tehniskāks rezultāts;
• Korelāts — sekojošs secinājums, kas viegli iegūstams no teorēmas;
• Hipotēze vai konjektūra — apgalvojums, kas vēl nav pierādīts vai atrunāts.

Tāpat jāņem vērā, ka teorēmas patiesums ir atkarīgs no pieņemtajām aksiomām; dažas problēmas var izrādīties neatrisināmas (neatkarīgas) dotajā aksiomātiskajā sistēmā — šo faktu ilustrē piemēram Gēdeles nepilnības teoremas un neatkarības rezultāti par dažām matemātikas problēmām.

Slaveni piemēri

Kā piemērus var minēt vairākas fundamentālas un pazīstamas teorēmas, kas ir veidojušas matemātikas vēsturi un praksi: Pitagora teorēma, algebraiskās struktūras pamatprincipi, Riemana heuritikas rezultāti, Galvenā teorema par aritmētiku (priekš skaitļu teorijas), Galvenā teorema algebrā (par polinomu saknēm), Fermata pēdējā teorēma, kā arī sarežģītāki pavērsieni — četru krāsu teorēma un Keplera hipotēze.

Kāpēc teorēmas ir svarīgas

Teorēmas strukturē matemātiku: tās apkopo zināšanas, atklāj jaunas sakarības, dod pamatu citiem rezultātiem un bieži vien rosinās jaunas teorijas un tehnikas. Darbs pie teorēmu pierādīšanas attīsta loģisko domāšanu un rada instrumentus, kas vēlāk var atrast pielietojumu gan matemātikas iekšienē, gan ārpus tās — fizikā, datorzinātnē, ekonomikā un inženierijā.

Ja vēlaties, varu pievienot īsus piemēru pierādījumus (piem., Pitagora teoremai vai vienkāršai indukcijas problēmai) vai izklāstīt kāda no minētajām teorēmām pierādījuma ideju vienkāršā valodā.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir teorēma?

J: Kas ir lema?

J: Kā tiek izdomātas teorēmas?

J: Vai visas teorēmas ir grūti pierādāmas?

J: Vai teorēma var būt vienkārša, bet dziļa?

J: Vai ir teorēmas, kuru pierādījums ir zināms, bet nav viegli uzrakstāms?

J: Vai matemātiskās teorēmas dažkārt var reducēt uz vienkāršākiem aprēķiniem?

Meklēt pēc burta