Fermāta pēdējā teorēma definīcija, vēsture un 1995 pierādījums

Fermata pēdējā teorēma ir viena no slavenākajām problēmām matemātikā. Tā formulē sekojoši:

Ja n ir vesels skaitlis, kas ir lielāks par 2 (piemēram, 3, 4, 5, 6 ...), tad vienādojums

x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}} $x^{n}+y^{n}=z^{n}$

nav risinājumu, ja x, y un z ir naturālie skaitļi (pozitīvi veseli skaitļi 1, 2, 3 ...). Tas nozīmē, ka nav tādu dabisku skaitļu x, y un z, kuriem šis vienādojums būtu patiess, ja n ir vesels skaitlis lielāks par 2.

Īss vēsturisks pārskats

Pjērs de Fermats šo apgalvojumu ierakstīja 1637. gada eksemplārā no Diophanta grāmatas Arithmetica, piezīmēdams: "Man ir šīs teorēmas pierādījums, bet šajā lappusē nav pietiekami daudz vietas." Fermata piezīme kļuva par izslavētu mīklu: viņš piedāvāja apgalvojumu, bet nepublicēja pilnu pierādījumu.

Daudzus gadsimtus matemātiķi pierādīja teorēmu atsevišķiem eksponentiem vai grupām. Īsi galvenie pavērsieni:

Fermats pats pierādīja gadījumu n = 4 izmantojot bezgalīgās dešentāžas metodi, tādējādi pietiekami izslēdzot visus pāra eksponentus.
Leonhards Eilers (Leonhard Euler) apliecināja gadījumu n = 3 18. gadsimtā.
Gada gaitā dažādi matemātiķi pierādīja gadījumus n = 5, 7, ...; Sophie Germain izstrādāja metodi, kas deva plašus rezultātus pirmu skaitļu gadījumā, bet nepārklāja visus gadījumus.
19. gadsimtā Ernst Kummer izstrādāja idejas par ideālu aritmētiku un pierādīja teorēmu daudzām 'regulārām' pirmajām. Tomēr pilnīgs vispārīgs pierādījums nebija izdarīts.

Līdz 20. gadsimtam tika pārbaudītas daudzas atsevišķas iespējas (daļēji datoru palīdzību), taču vispārēja pieeja izrādījās sarežģīta un prasīja jaunas teorijas.

Ceļš uz pilnu pierādījumu (20. gadsimta beigas)

1980. gadu sākumā ikonisks pavērsiens radās, sasaistot Fermata problēmu ar teoriju par eliptiskajām līknēm un modulārajiem formu (Taniyama–Shimura–Weil hipotēze, tagad saukta par modularitātes teorēmu). Gerards Frejs (Gerhard Frey) novēroja, ka hipotētiskais pretpiemērs Fermata vienādojumam var tikt izmantots, lai izveidotu īpašu eliptisku līkni (tagad sauktu par Frey līkni) ar neparastām īpašībām. Jean-Pierre Serre izvirzīja ar šo saistītu paredzējumu, un Ken Ribet 1986. gadā pierādīja, ka, ja Taniyama–Shimura hipotēze būtu patiesa vismaz semistabilajām eliptiskajām līknēm, tad Fermata pēdējā teorēma sekotu — citiem vārdiem, hipotētisks pretpiemērs dotu pretrunu ar modularitātes apgalvojumu.

Andrew Wiles 1993. gadā paziņoja, ka viņš ir pierādījis modularitāti pietiekamā pakāpē (precīzāk — modularitātes apgalvojumu semistabilo eliptisko līkņu gadījumā), kas pēc Ribeta rezultāta tieši nozīmētu Fermata pēdējās teorēmas patiesību. Pirmajā prezentācijā tika atklāta tehniska nepilnība, ko kopā ar Richard Taylor Wiles novērsa. Gala, pārskatītā pierādījuma versija tika publicēta 1995. gadā (divi raksti: viens no Wiles un viens kopā ar Taylor — abi 1995. gadā Annals of Mathematics).

Kas īsti tika pierādīts un kādas metodes izmantotas

Wiles pierādījums neizskatās kā "klasiskā" Fermata piezīmē paredzētā īsā argumenta versija. Tā vietā tas izmantoja mūsdienu algebraiskās skaitļu teorijas un modulāro formu teorijas instrumentus, galvenokārt:

eliptiskās līknes un to Galoa reprezentācijas,
modulārie formas un Hecke operatori,
deformāciju teorija Galoa reprezentācijām,
smalkas algebriskas un aritmētiskas konstrukcijas, kas ļauj salīdzināt reprezentācijas no eliptiskajām līknēm ar tām, kas nāk no modulārām formām.

Galvenā ideja: ja pastāvētu naturālu skaitļu x,y,z un n>2, kas apmierina Fermata vienādojumu, tad ar Frey konstrukciju varētu uzbūvēt eliptisku līkni, kurai pēc Ribeta rezultāta būtu jābūt nemodulai. Wiles (un Taylor–Wiles metode) pierādīja pietiekamu modularitātes daļu, lai šāda nemodula līkne nevarētu eksistēt, tādējādi izslēdzot pretpiemērus un pabeidzot Fermata pēdējās teorēmas pierādījumu.

Nozīme un secinājums

Fermata pēdējā teorēma, kaut arī vienkārši formulējama, savā pierādījumā sasaistīja vairākas dziļas matemātikas jomas un atbalsoja jaunu attīstību algebriskajā skaitļu teorijā, teorijā par eliptiskajām līknēm un modulārajām formām. Wiles darbu uzskata par vienu no izcilākajiem sasniegumiem mūsdienu matemātikā. Lielākā daļa matemātiķu piekrīt viedam, ka Fermatam pašam visdrīzāk nebija vispārīga derīga pierādījuma (vēlams, viņš atrada tikai īpašus gadījumus vai kļūdaino argumentu), jo Wiles pierādījums izmanto rīkus, kas Fermata laikos nebija pieejami.

Sašķirot īsi: Fermata pēdējā teorēma apgalvo, ka nav pozitīvu veselu risinājumu vienādojumam x^n + y^n = z^n, ja n > 2; tas tika pierādīts beidzot 1994–1995 ar darbu, kura galvenais autors bija Andrew Wiles (ar papildinājumu kopā ar Richard Taylor), izmantojot modularitātes idejas un Galoa reprezentāciju deformāciju teoriju.

Pjērs de Fermā

Saistība ar citām matemātikām

Fermata pēdējā teorēma ir vispārīgāka vienādojuma forma: a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . (Tas izriet no Pitagora teorēmas). Īpašs gadījums ir tad, ja a, b un c ir veseli skaitļi. Tad tos sauc par "Pitagora trijnieku". Piemēram: 3, 4 un 5 dod 3^2 + 4^2 = 5^2, jo 9+16=25, vai 5, 12 un 13 dod 25+144=169. To ir bezgalīgi daudz (tie turpinās mūžīgi). Fermata pēdējā teorēma runā par to, kas notiek, kad 2 mainās uz lielāku veselo skaitli. Tajā teikts, ka tad trīskārši skaitļi nav, ja a, b un c ir veseli skaitļi, kas lielāki par vai vienādi ar vienu (tas nozīmē, ka, ja n ir lielāks par divi, a, b un c nevar būt naturālie skaitļi).

Pierādījums

Pierādījums tika veikts dažām n vērtībām (piemēram, n=3, n=4, n=5 un n=7). To izdarīja Fermats, Eulers, Sofija Žermēna un citi cilvēki.

Tomēr pilnīgam pierādījumam ir jāparāda, ka vienādojumam nav atrisinājuma visām n vērtībām (ja n ir vesels skaitlis, kas lielāks par 2). Pierādījumu bija ļoti grūti atrast, un Fermata pēdējās teorēmas atrisināšanai bija nepieciešams daudz laika.

Angļu matemātiķis Endrjū Vailzs (Andrew Wiles) atrada risinājumu 1995. gadā, 358 gadus pēc tam, kad par to rakstīja Fermā. Risinājumu viņam palīdzēja atrast Ričards Teilors ^[]. Pierādījums prasīja astoņus gadus ilgu pētniecību. Viņš pierādīja teorēmu, vispirms pierādot modularitātes teorēmu, ko toreiz sauca par Taniyama-Shimura hipotēzi. Izmantojot Ribē teorēmu, viņš varēja sniegt Fermata pēdējās teorēmas pierādījumu. 1997. gada jūnijā viņš saņēma Getingenes akadēmijas Volfskela balvu: tā bija aptuveni 50 000 ASV dolāru.

Pēc pāris gadu ilgām debatēm cilvēki vienojās, ka Endrjū Vailzs ir atrisinājis šo problēmu. Endrjū Vailzs izmantoja daudz mūsdienīgas matemātikas un pat radīja jaunu matemātiku, meklējot risinājumu. Šī matemātika nebija zināma, kad Fermā rakstīja savu slaveno piezīmi, tāpēc Fermā to nevarēja izmantot. Tas liek domāt, ka Fermātam patiesībā nebija pilnīga problēmas risinājuma.

Britu matemātiķis Endrjū Vailzs

Jautājumi un atbildes

Jautājums: Kas ir Fermata pēdējā teorēma?

A: Fermata pēdējā teorēma (FLT) nosaka, ka, ja n ir vesels skaitlis, kas lielāks par 2, tad vienādojumam x^n + y^n = z^n nav risinājumu, ja x, y un z ir naturālie skaitļi. Citiem vārdiem sakot, nav iespējams veselos skaitļos izteikt divus kubus, kas, saskaitot kopā, ir vienādi ar trešo kubu vai jebko lielāku par kvadrātiem.

J: Kad tika uzrakstīts FLT?

A: Pjērs de Fermats par FLT rakstīja 1637. gadā savā grāmatas Arithmetica eksemplārā.

J: Ko Fermāts teica par teorēmu?

A: Viņš teica: "Man ir šīs teorēmas pierādījums, bet šajā lappusē nav pietiekami daudz vietas".

Jautājums: Cik ilgā laikā FLT tika pierādīts?

A: Pagāja 357 gadi, līdz FLT tika pareizi pierādīta; beidzot tas tika izdarīts 1995. gadā.

J: Vai matemātiķi uzskata, ka Fermātam bija faktisks teorēmas pierādījums?

A.: Lielākā daļa matemātiķu neuzskata, ka Fermātam patiešām bija šīs teorēmas pierādījums.

J: Ko nosaka sākotnējā problēma?

A: Sākotnējā problēma apgalvo, ka nav iespējams sadalīt cubum autem (kubu) divos kubos vai quadratoquadratum (kvadrātkvadrātu) divos kvadrātkvadrātos, un vispār neko ārpus kvadrātiem nevar sadalīt divos tāda paša nosaukuma kvadrātos, demonstrējot, ka tas ir ievērojams, bet pārāk liels, lai to varētu sadalīt.