Algebriskais risinājums: definīcija, piemēri un Ābela-Rufīni teorēma
Algebriskais risinājums: definīcija, skaidri piemēri un Ābela-Rufīni teorēmas ietekme uz kvadrāt-, kubik- un kvintētiskajiem vienādojumiem — saprotami un kodolīgi.
Algebriskais risinājums ir algebriska izteiksme, kas ir algebriskā vienādojuma risinājums mainīgo koeficientu izteiksmē. To atrod tikai ar saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas un sakņu (kvadrātsakņu, kubisko sakņu utt.) iegūšanas palīdzību.
Vienkāršāk sakot, algebriskais risinājums ir izteiksme, kas sastāv no koeficientiem (piemēram, a, b, c) un ierastajiem aritmētiskajiem paņēmieniem, papildināta ar sakņu operācijām (nereti sauktām par radikāļiem) — t.i., no divu skaitļu summas, reizinājuma, dalījuma un beigu posmā iegūtām saknēm (kvadrātsaknes, kubiskās saknes utt.). Formāli to sauc arī par risinājumu, izteiktu ar radikāļiem.
Piemēri
Vispazīstamākais piemērs ir vispārējā kvadrātvienādojuma atrisinājums.
x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\}}}{2a}},},} 
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} 
(kur a ≠ 0).
Šī formula ir klasisks piemērs — risinājums tiek izteikts ar aritmētiskām darbībām un kvadrātsakni. Vairāku pakāpju vienādojumiem ir līdzīgas, bet sarežģītākas formulas: vispārīgajam kubiskajam vienādojumam pastāv Cardano formula, bet vispārīgajam kvartiskajam vienādojumam ir Ferrari metode.
Ābela–Rufīni teorēma un tās nozīme
Īpaši svarīga ir Ābela–Rufīni teorēma, kas nosaka, ka vispārējam kvintētiskajam (5. pakāpes) polinomu vienādojumam nav algebriska risinājuma, t.i., to nevar izteikt tikai ar saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu un sakņu izteiksmēm. Vairāk formulējot: ja polinoma pakāpe n ≥ 5, tad "vispārīgais" polinoms (ar nezāmiem koeficientiem) nav atrisināms ar radikāļiem. Tas nozīmē, ka eksistē polinomi, kuru saknes nevar izteikt kā finišu kombināciju no koeficientiem, aritmētiskajām darbībām un galīgā skaita sakņu operatoriem.
Tomēr šī teorēma nenozīmē, ka nekādi piecu vai augstāku pakāpju vienādojumi nav atrisināmi ar radikāļiem — daudzi konkrēti kvintetiskie vienādojumi (un augstākas pakāpes polinomi) ir atrisināmi. Ābela–Rufīni saka, ka nav vienotas formulas, kas derētu visiem kvintetiskajiem polinomiem. Kritērijs, vai konkrēts polinoms ir atrisināms ar radikāļiem, ir saistīts ar tā Galoa grupu: polinoms ir atrisināms ar radikāļiem tieši tad, ja tā Galoa grupa ir solvable (risināma grupa).
Īsi par sakņu iegūšanu praktiski
- Kad algebriski risinājumi pastāv: īpašu tipu vienādojumi (piem., x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a}
) risināmi ļoti vienkārši kā radikāļu izteiksme, šajā gadījumā x = a 1 / 10 . {\displaystyle x=a^{1/10}. } 
- Specializētas formulas: kubiskajiem un kvartiskajiem vienādojumiem ir slēgtas formulas (Cardano, Ferrari), taču tās var būt ļoti sarežģītas un ietvert vairākkārtīgas saknes un kompleksus skaitļus.
- Kad algebriskie izteicieni nepalīdz: ja polinoma Galoa grupa nav risināma, tad nav iespējams izteikt saknes ar ierobežoto darbību kopumu. Tad praktiski izmanto skaitliskās metodes (Newtona metode u.c.) vai simboliskās aprēķinu programmas, kas var nodrošināt aptuvenu vai formalizētu risinājumu.
Piezīmes un saistītās tēmas
Algebriskie skaitļi — skaitlis, kas ir sakne kāda polinoma ar racionāliem koeficientiem, tiek saukts par algebrisku skaitli. Ne visi algebriskie skaitļi ir izteicami ar vienkāršiem radikāļiem; dažus var izteikt tikai izmantojot vairākas sakņu paplašināšanas (radikāļu izteiksmes, kas ir ligzdotas).
Galoa teorija sniedz vispārīgu un dziļu kritēriju par to, kuri polinomi ir atrisināmi ar radikāļiem — tas saista polinoma simetrijas (Galoa grupu) ar iespēju izteikt saknes algebriskos izteicienos. Šis rezultāts ir pamats, lai saprastu, kāpēc vispārīgajam kvintetiskajam vienādojumam nav slēgtas formulas.
Praktiskai lietošanai mūsdienās bieži pietiek ar skaitliskām metodēm vai datoralgebras sistēmām, kas spēj izmēģināt algorītmus īpašiem polinomiem un reizēm atrast algebriskus izteicienus, ja tie pastāv.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir algebriskais risinājums?
A: Algebriskais atrisinājums ir algebriska izteiksme, kas ir algebriskā vienādojuma atrisinājums mainīgo koeficientu izteiksmē. To var atrast, izmantojot saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu un sakņu iegūšanu (kvadrātsaknes, kubiskās saknes utt.).
J: Kāds ir labi zināms algebras atrisinājuma piemērs?
A: Vispazīstamākais piemērs ir vispārējā kvadrātvienādojuma atrisinājums.
J: Vai ir sarežģītāks risinājums augstākas pakāpes vienādojumiem?
A: Jā, ir sarežģītāks risinājums vispārējam kubiskajam vienādojumam un kvadrātvienādojumam.
Vai katram polinoma vienādojumam ir algebrisks risinājums?
A: Nē, saskaņā ar Abela-Rufīni teorēmu vispārējam kvintētiskajam vienādojumam nav algebriska atrisinājuma. Tas nozīmē, ka n pakāpes vispārējo polinoma vienādojumu, ja n ≥ 5, nevar atrisināt, izmantojot tikai algebru.
Vai ir kādi nosacījumi, ar kādiem mēs varam iegūt algebriskus risinājumus augstākas pakāpes vienādojumiem?
A: Jā, ar zināmiem nosacījumiem mēs varam iegūt algebriskus risinājumus; piemēram, vienādojumu x^10 = a var atrisināt kā x = a^(1/10).
J: Kā atrisināt kvadrātvienādojumu?
A: Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, ir jāizmanto saskaitīšana, atņemšana reizināšana un dalīšana, kā arī kvadrātsakņu vai cita veida sakņu iegūšana.
Meklēt