Algebriskais vienādojums
Matemātikā algebriskais vienādojums, saukts arī par polinomu vienādojumu noteiktā laukā, ir vienādojums formā
P = Q {\displaystyle P=Q} 
kur P un Q ir polinomi pār šo lauku, un tiem ir viens (viendimensiju) vai vairāki (daudzdimensiju) mainīgie. Piemēram:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}} 
ir algebrisks vienādojums par racionālajiem skaitļiem.
Divus vienādojumus sauc par ekvivalentiem, ja tiem ir vienāds atrisinājumu kopums. Tas nozīmē, ka visiem otrā vienādojuma risinājumiem jābūt arī pirmā vienādojuma risinājumiem un otrādi. Vienādojums P = Q {\displaystyle P=Q} ir ekvivalents P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Tātad algebrisko vienādojumu pētīšana ir līdzvērtīga polinomu pētīšanai.
Ja algebriskais vienādojums attiecas uz racionāliem skaitļiem, to vienmēr var pārvērst par ekvivalentu, kurā visi koeficienti ir veseli skaitļi. Piemēram, iepriekš dotajā vienādojumā reizinām ar 42 = 2-3-7 un grupējam locekļus pirmajā loceklī. Vienādojumu pārveido uz
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Vienādojuma risinājumi ir mainīgo lielumu vērtības, kurām vienādojums ir patiess. Bet algebriskiem vienādojumiem ir arī saknes. Risinot vienādojumu, mums ir jāpasaka, kurā kopā risinājumi ir pieļaujami. Piemēram, vienādojumam pār racionāliem var atrast atrisinājumus veselos skaitļos. Tad vienādojums ir diofantiskais vienādojums. Risinājumus var meklēt arī komplekso skaitļu laukā. Risinājumus var meklēt arī reālajos skaitļos.
Senie matemātiķi gribēja iegūt vienādojumu (t. i., vienādojumu ar vienu mainīgo) risinājumus radikālisku izteiksmju formā, piemēram, x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\qrt {5}}}{2}}}
pozitīvajam risinājumam x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}}
. Šādi risināt 2. pakāpes vienādojumus (t.i., vienādojumus, kuros mainīgā lielākais lielums ir 2) prata jau senie ēģiptieši. Renesanses laikā Džerolamo Kardano atrisināja 3. pakāpes vienādojumu un Lodoviko Ferrari atrisināja 4. pakāpes vienādojumu. 1824. gadā Nilss Henriks Ābels pierādīja, ka 5. pakāpes vienādojumu un augstākas pakāpes vienādojumus ne vienmēr var atrisināt, izmantojot radikāļus. Lai noteiktu kritērijus, vai vienādojums ir atrisināms, izmantojot radikāļus, tika ieviesta Galuā teorija, kas nosaukta Evarista Galuā vārdā.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir algebriskais vienādojums?
A: Algebriskais vienādojums ir vienādojums formā P = Q, kur P un Q ir polinomi noteiktā laukā ar vienu vai vairākiem mainīgajiem.
J: Kā divi vienādojumi var būt ekvivalenti?
A: Divus vienādojumus uzskata par ekvivalentiem, ja tiem ir vienāds atrisinājumu kopums, t. i., visiem viena vienādojuma atrisinājumiem jābūt arī otra vienādojuma atrisinājumiem un otrādi.
J: Ko nozīmē atrisināt vienādojumu?
A: Vienādojuma atrisināšana nozīmē atrast mainīgo lielumu vērtības, kas vienādojumu padara patiesu. Šīs vērtības sauc par saknēm.
Vai algebriskos vienādojumus ar racionāliem skaitļiem vienmēr var pārvērst vienādojumos ar veseliem koeficientiem?
Jā, reizinot abas malas ar skaitli, piemēram, 42 = 2-3-7, un sagrupējot pirmā locekļa locekļus, jebkuru algebrisko vienādojumu ar racionāliem skaitļiem var pārvērst vienādojumā ar veseliem koeficientiem.
Jautājums: Kad senie matemātiķi vēlējās radikāļu izteiksmes vienādojumu vienādojumiem?
A: Renesanses laikmetā senie matemātiķi vēlējās radikāļu izteiksmes (piemēram, x=1+√5/2) vienādojumiem (vienādojumiem ar vienu mainīgo).
J: Kas šajā laikā risināja 3. un 4. pakāpes vienādojumus?
A: Šajā laikā Džerolamo Kardano atrisināja 3. pakāpes vienādojumus un Lodoviko Ferrari atrisināja 4. pakāpes vienādojumus.
J: Kas pierādīja, ka augstākas pakāpes vienādojumus ne vienmēr var atrisināt, izmantojot radikāļus?
A: Nilss Henriks Ābels 1824. gadā pierādīja, ka augstākas pakāpes vienādojumus ne vienmēr var atrisināt, izmantojot radikāļus.
