Algebriskie (polinomu) vienādojumi: definīcija, piemēri un risināšana

Algebriskie (polinomu) vienādojumi — skaidra definīcija, ilustrēti piemēri un soli pa solim risināšanas metodes racionāliem, reāliem, kompleksiem un diofantiskiem gadījumiem.

Matemātikā algebriskais vienādojums, saukts arī par polinomu vienādojumu noteiktā laukā, ir vienādojums formā

P = Q {\displaystyle P=Q}

kur P un Q ir polinomi pār šo lauku, un tiem ir viens (viendimensiju) vai vairāki (daudzdimensiju) mainīgie. Piemēram:

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}

ir algebrisks vienādojums par racionālajiem skaitļiem.

Divus vienādojumus sauc par ekvivalentiem, ja tiem ir vienāds atrisinājumu kopums. Tas nozīmē, ka visiem otrā vienādojuma risinājumiem jābūt arī pirmā vienādojuma risinājumiem un otrādi. Vienādojums P = Q {\displaystyle P=Q} ir ekvivalents P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0} . Tātad algebrisko vienādojumu pētīšana ir līdzvērtīga polinomu pētīšanai.

Ja algebriskais vienādojums attiecas uz racionāliem skaitļiem, to vienmēr var pārvērst par ekvivalentu, kurā visi koeficienti ir veseli skaitļi. Piemēram, iepriekš dotajā vienādojumā reizinām ar 42 = 2-3-7 un grupējam locekļus pirmajā loceklī. Vienādojumu pārveido uz

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Vienādojuma risinājumi ir mainīgo lielumu vērtības, kurām vienādojums ir patiess. Bet algebriskiem vienādojumiem ir arī saknes. Risinot vienādojumu, mums ir jāpasaka, kurā kopā risinājumi ir pieļaujami. Piemēram, vienādojumam pār racionāliem var atrast atrisinājumus veselos skaitļos. Tad vienādojums ir diofantiskais vienādojums. Risinājumus var meklēt arī komplekso skaitļu laukā. Risinājumus var meklēt arī reālajos skaitļos.

Senie matemātiķi gribēja iegūt vienādojumu (t. i., vienādojumu ar vienu mainīgo) risinājumus radikālisku izteiksmju formā, piemēram, x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\qrt {5}}}{2}}} pozitīvajam risinājumam x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}} . Šādi risināt 2. pakāpes vienādojumus (t.i., vienādojumus, kuros mainīgā lielākais lielums ir 2) prata jau senie ēģiptieši. Renesanses laikā Džerolamo Kardano atrisināja 3. pakāpes vienādojumu un Lodoviko Ferrari atrisināja 4. pakāpes vienādojumu. 1824. gadā Nilss Henriks Ābels pierādīja, ka 5. pakāpes vienādojumu un augstākas pakāpes vienādojumus ne vienmēr var atrisināt, izmantojot radikāļus. Lai noteiktu kritērijus, vai vienādojums ir atrisināms, izmantojot radikāļus, tika ieviesta Galuā teorija, kas nosaukta Evarista Galuā vārdā.

Pamatjēdzieni un īpašības

Polinoms ir izteiksme formā a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0, kur koeficienti a_i pieder noteiktajam laukam (piem., reālie, racionālie, kompleksie skaitļi). Pakāpe (degree) ir lielākais indekss n ar nenulles koeficientu. Vienādojuma sakne (root) ir tāda mainīgā vērtība, kas padara polinomu 0.

Sakņu skaits. Pēc algebras pamatteorijas, ja polinoma koeficienti pieder kompleksajiem skaitļiem, tad n-tās pakāpes polinomam ir tieši n saknes, skaitot ar daudzumu (multiplicity) — to sauc par Algebras pamatteoriju (Fundamental Theorem of Algebra).

Sakņu daudzums un multiplicity. Ja polinoms (x − r)^m dalās faktorizācijā, tad r ir sakne ar daudzumu m. Multiplicity var noteikt ar polinoma un tā atvasinājuma GCD: ja GCD(P, P') ≠ 1, tad sakne ir vairākas reizes.

Vienādojumu veidi un risināšanas stratēģijas

• Lineārie vienādojumi (pakāpe 1): risināšana ir tieša — izsakām mainīgo.
• Kvadrātiskie vienādojumi (pakāpe 2): var izmantot kvadrātsaknes vai kvadrātfunkcijas formulu. Discriminants D = b^2 − 4ac nosaka reālās saknes skaitu: ja D>0 — divas dažādas reālas saknes; D=0 — viena reāla sakne (dubultā); D<0 — divas kompleksas saknes. Vieta formulu (Vieta’s relations) var izmantot sakņu summas un reizinājuma attiecību noteikšanai.
• Augstākas pakāpes (3. un 4. pakāpe): eksistē slēgtas formulas (Kardano, Ferrari), taču tās ir sarežģītas. Praksē bieži izmanto skaitliskās metodes vai faktorizāciju.
• 5. pakāpe un augstākas: pēc Ābela–Galois teoremas nav kopējas rezolventas formulas ar radikāliem visiem polinomiem, tāpēc jāizmanto faktorizācija vai skaitliskās metodes; Galuā teorija nosaka, kuri polinomi ir atrisināmi radikāļos.
• Daudzmainīgo vienādojumi: metodes ietver elimināciju (resultants), Gröbner bāzes, parametrizāciju, vai skaitliskās metodes. Sistēmas bieži pārveido uz vienu polinomu (resultants) vai tiek risinātas kopā ar lineāro algebru.

Īsas risināšanas metodes un paņēmieni

• Faktorizācija: ja polinoms sadalās paraugu produktā, saknes iegūst no lineāriem faktoriem (x − r). Faktoringu var veikt ar grupēšanu, speciālām identitātēm vai polinomu dalīšanu.
• Dalīšana (synthetic division/remainder theorem): ja r ir sakne, tad (x − r) ir dalāmais; dalīšana palīdz iegūt pārējo faktoru. Remainder theorem: P(r) = 0 tad un tikai tad (x − r) dala P(x).
• Racionālās saknes kritērijs: racionālam polinomam ar veseliem koeficientiem iespējamās racionālās saknes p/q (p dalās ar konstantu termiņu, q — ar augstākā koeficientu) — palīdz atrast iespējamos racionālos kandidātus.
• Atvasinājums un daudzums: vairākas saknes atpazīst, pārbaudot kopīgus faktorus ar P'(x).
• Skaitliskās metodes: Newton–Raphson, bisection, Durand–Kerner u.c. lieto, ja slēgta forma nav praktiska vai polinoms ir augstākas pakāpes.
• Symbolic CAS rīki: datoralgoritmi (SageMath, Mathematica, PARI/GP, Maple) bieži atvieglo faktorizāciju un sakņu meklēšanu.

Svarīgi praktiski padomi

• Ja vienādojumu manipulācijās reizina vai dalām ar izteiksmi, kas var kļūt par nulli (piem., mainīgā izteiksme), jānosaka, vai jaunie jeb pazudušie risinājumi nav ievadīti vai izslēgti — jānosaka definīcijas kopums un jāpārbauda ārkārtas gadījumi.
• Polinoma koeficientus bieži pārnes uz veseliem skaitļiem, reizinaot ar kopēju saucēju (kā oriģinālajā piemērā ar 42). Šī darbība saglabā ekvivalenci tikai, ja reizina ar skaitli, kas nav 0; ja reizina ar izteiksmi, kas var būt 0, jābūt uzmanīgam.
• Grafiskā interpretācija (poliņu grafs y = P(x)) palīdz atrast tuvumus reālām saknēm un to daudzumu intervālā.

Demonstratīvi piemēri

Kvadrātiskā vienādojuma piemērs: x^2 + x − 1 = 0. Šī vienādojuma risinājums pēc kvadrātiskās formulas: x = (−1 ± √5) / 2. Tātad pozitīvā sakne ir x = (−1 + √5) / 2 ≈ 0.618. (Piezīme: daži avoti apgriež zīmes vai formulēšanu; rūpīgi pārbaudiet izteiksmes.)

Racionālo sakņu pārbaude: ja ir polinoms ar veseliem koeficientiem, iespējamos racionālos sakņu kandidātus var pārbaudīt pēc racionālā sakņu kritērija. Piem., ja konstante ir 6 un galvenais koeficients 2, iespējami kandidāti ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2 u.c.

Algebraiskā un vēsturiskā perspektīva

Vēsturiski cilvēki centās izteikt saknes ar radikāliem (kvadrātsaknes, kubsaknes u.c.). 16. gadsimtā Džerolamo Kardano atrisināja kubisko vienādojumu, bet vēlāk Lodoviko Ferrari — kvartisko. Savukārt 19. gadsimtā Nilss Ābels un pēc tam Évariste Galois izstrādāja teorētisku rāmi, kas izskaidro, kuri polinomi ir atrisināmi radikāļos un kā grupa simetriju (Galoā grupa) nosaka risināmību.

Lietojumi

• Ģeometrija un analīze — polinomi apraksta līknes, interpolāciju.
• Skaitļošana un kriptogrāfija — polinomi pār lauku GF(p) lieto kodēšanā, polinomu lauki veido pamatu Galois laukiem.
• Fizika un inženierija — stabilitātes analīze, rezonanses aprēķini, raksturvērtību noteikšana lineārajiem operatoriem.

Kopsavilkums

Algebriskie (polinomu) vienādojumi ir plaša un pamatīga matemātikas tēma. Tie var tikt risināti simboliski (faktorizācija, slēgtas formulas), skaitliski (Newton, Durand–Kerner), vai ar modernas algebriskas teorijas palīdzību (Galoā teorija, rezultanti, Gröbner bāzes). Praktiskā pieeja parasti sākas ar vienkāršām manipulācijām: faktorizāciju, kandidātu pārbaudi, dalīšanu un grafisku apskati; ja nepieciešams, izmanto skaitliskos algoritmus vai datoralgebru.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir algebriskais vienādojums?

J: Kā divi vienādojumi var būt ekvivalenti?

J: Ko nozīmē atrisināt vienādojumu?

Vai algebriskos vienādojumus ar racionāliem skaitļiem vienmēr var pārvērst vienādojumos ar veseliem koeficientiem?

Jautājums: Kad senie matemātiķi vēlējās radikāļu izteiksmes vienādojumu vienādojumiem?

J: Kas šajā laikā risināja 3. un 4. pakāpes vienādojumus?

J: Kas pierādīja, ka augstākas pakāpes vienādojumus ne vienmēr var atrisināt, izmantojot radikāļus?

Meklēt pēc burta